专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总 常用知识点 常用知识点 一 常见函数的定义域总结如下 一 常见函数的定义域总结如下 1 一般形式的定义域 x R cbxaxy bkxy 2 2 分式形式的定义域 x 0 x k y 3 根式的形式定义域 x 0 xy 4 对数形式的定义域 x 0 xy a log 二 函数的性质二 函数的性质 1 函数的单调性 当时 恒有 在所在的区间上是增加的 21 xx 21 xfxf xf 21 xx 当时 恒有 在所在的区间上是减少的 21 xx 21 xfxf xf 21 xx 2 函数的奇偶性 定义 设函数的定义区间关于坐标原点对称 即若 则有 xfy DDx Dx 1 偶函数 恒有 xfDx xfxf 2 奇函数 恒有 xfDx xfxf 三 基本初等函数三 基本初等函数 1 常数函数 定义域是 图形是一条平行于轴的直线 cy x 2 幂函数 是常数 它的定义域随着的不同而不同 图形过原点 u xy uu 3 指数函数 定义 是常数且 图形过 0 1 点 x axfy a0 a1 a 4 对数函数 定义 是常数且 图形过 1 0 点 xxfy a log a0 a1 a 5 三角函数 1 正弦函数 xysin 2 T fD 1 1 Df 2 余弦函数 xycos 2 T fD 1 1 Df 3 正切函数 xytan T 2 12 ZR kkxxxfD Df 4 余切函数 xycot T ZR kkxxxfD Df 5 反三角函数 1 反正弦函数 xysinarc 1 1 fD 2 2 Df 2 反余弦函数 xyarccos 1 1 fD 0 Df 3 反正切函数 xyarctan fD 2 2 Df 4 反余切函数 xyarccot fD 0 Df 极限极限 一 求极限的方法一 求极限的方法 1 代入法 代入法主要是利用了 初等函数在某点的极限 等于该点的函数值 因此遇到大部分 简单题目的时候 可以直接代入进行极限的求解 2 传统求极限的方法 1 利用极限的四则运算法则求极限 2 利用等价无穷小量代换求极限 3 利用两个重要极限求极限 4 利用罗比达法则就极限 二 函数极限的四则运算法则二 函数极限的四则运算法则 设 则Au x limBv x lim 1 BAvuvu xxx limlim lim 2 ABvuvu xxx limlim lim 推论 a 为常数 vCvC xx lim limC b n x n x uu lim lim 3 B A v u v u x x x lim lim lim0 B 4 设为多项式 则 xP n nn axaxaxP 1 10 lim 0 0 xPxP xx 5 设均为多项式 且 则 xQxP0 xQ lim 0 0 0 xQ xP xQ xP xx 三 等价无穷小三 等价无穷小 常用的等价无穷小量代换有 当时 0 xxx sinxx tanxx arctan xx arcsinxx 1ln xe x 1 2 2 1 cos1xx 对这些等价无穷小量的代换 应该更深一层地理解为 当时 其余类0 sin 似 四 两个重要极限四 两个重要极限 重要极限 I 1 sin lim 0 x x x 它可以用下面更直观的结构式表示 1 sin lim 0 重要极限 II e x x x 1 1lim 其结构可以表示为 e 1 1lim 八 洛必达八 洛必达 L Hospital 法则法则 型和 型不定式 存在有 或 0 0 A xg xf xg xf axax lim lim 一元函数微分学一元函数微分学 一 导数的定义一 导数的定义 设函数在点的某一邻域内有定义 当自变量在处取得增量 点 xfy 0 xx 0 x x 仍在该邻域内 时 相应地函数取得增量 如果当xx 0 y 00 xfxxfy 时 函数的增量与自变量的增量之比的极限0 xy x 注意两个符号和在题目中可能换成其 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf 00 0 x f x 0 x 他的符号表示 二 求导公式二 求导公式 1 基本初等函数的导数公式 1 为常数 0 CC 2 为任意常数 1 xx 3 特殊情况 aaa xx ln 1 0 aa xx ee 4 ax e x x aa ln 1 log 1 log 1 0 0 aax x x 1 ln 5 xxcos sin 6 xxsin cos 7 x x 2 cos 1 tan 8 x x 2 sin 1 cot 9 2 1 1 arcsin x x 11 x 10 11 1 1 arccos 2 x x x 11 2 1 1 arctan x x 12 2 1 1 cot x xarc 2 导数的四则运算公式 1 xvxuxvxu 2 xvxuxvxuxvxu 3 为常数 ukku k 4 2 xv xvxuxvxu xv xu 3 复合函数求导公式 设 且及都可导 则复合函数 ufy xu uf x 的导数为 xfy xuf dx du du dy dx dy 三 导数的应用三 导数的应用 1 函数的单调性 则在内严格单调增加 0 xf xf ba 则在内严格单调减少 0 xf xf ba 2 函数的极值 的点 函数的驻点 设为0 xf xf 0 x 1 若时 时 则为的极大值点 0 xx 0 xf 0 xx 0 xf 0 xf xf 2 若时 时 则为的极小值点 0 xx 0 xf 0 xx 0 xf 0 xf xf 3 如果在的两侧的符号相同 那么不是极值点 xf 0 x 0 xf 3 曲线的凹凸性 则曲线在内是凹的 0 xf xfy ba 则曲线在内是凸的 0 xf xfy ba 4 曲线的拐点 1 当在的左 右两侧异号时 点为曲线的拐点 此时 xf 0 x 00 xfx xfy 0 0 xf 2 当在的左 右两侧同号时 点不为曲线的拐点 xf 0 x 00 xfx xfy 5 函数的最大值与最小值 极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值 四 微分公式四 微分公式 求微分就是求导数 dxxfdy 一元函数积分学一元函数积分学 一 不定积分一 不定积分 1 定义 不定积分是求导的逆运算 最后的结果是函数 C 的表达形式 公式可以用求导 公式来记忆 2 不定积分的性质 1 或 xfdxxf dxxfdxxfd 2 或CxFdxxF CxFxdF 3 dxxxdxxfdxxxxf 4 为常数且 dxxfkdxxkf k0 k 2 基本积分公式 要求熟练记忆 1 Cdx0 2 1 1 1 1 aCx a dxx aa 3 Cxdx x ln 1 4 Ca a dxa xx ln 1 1 0 aa 5 Cedxe xx 6 Cxxdxcossin 7 Cxxdxsincos 8 Cxdx x tan cos 1 2 9 Cxdx x cot sin 1 2 10 Cxdx x arcsin 1 1 2 11 Cxdx x arctan 1 1 2 3 第一类换元积分法 第一类换元积分法 对不定微分 将被积表达式凑成dxxg dxxg 这是关键的一步 xdxfdxxxfdxxg 常用的凑微分的公式有 1 1 baxdbaxf a dxbaxf 2 1 1 baxdbaxf ka dxxbaxf kkkk 3 xdxfdx x xf2 1 4 x d x fdx xx f 1 1 1 1 2 5 xxxx edefdxeef 6 ln ln 1 lnxdxfdx x xf 7 sin sincos sinxdxfxdxxf 8 cos cossin cosxdxfxdxxf 9 tan tan cos 1 tan 2 xdxfdx x xf 10 cot cot sin 1 cot 2 xdxfdx x xf 11 arcsin arcsin 1 1 arcsin 2 xdxfdx x xf 12 arccos arccos 1 1 arccos 2 xdxfdx x xf 13 arctan arctan 1 1 arctan 2 xdxfdx x xf 14 ln xddx x x 0 x 4 分部积分法 vduuvudv 二 定积分公式二 定积分公式 1 牛顿 牛顿 莱布尼茨公式 莱布尼茨公式 如果如果是连续函数是连续函数在区间在区间上的任意一个原函数 上的任意一个原函数 xF xf ba 则有则有 aFbFdxxf b a 2 计算平面图形的面积 如果某平面图形是由两条连续曲线 及两条直线和所 21 xfyxgy ax 1 bx 2 围成的 其中是下面的曲线 是上面的曲线 1 y 2 y 则其面积可由下式求出 dxxgxfS b a 3 计算旋转体的体积 设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平 0 xfxfy babxax x 面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体 如图所示 则该旋x 转体的体积可由下式求出 V 22 dxxfdxxfV b a b a x 多元函数微分学多元函数微分学 1 偏导数 对某个变量求导 把其他变量看做常数 xfy xgy y a o b x o a x x dx b x y xfy 2 全微分公式 yBxAyxdfdz 3 复合函数的偏导数 利用函数结构图 如果 在点处存在连续的偏导数 yxu yxv yx x u y u x v 且在对应于的点处 函数存在连续的偏导数 则 y v yx vu vufz u z v z 复合函数在点处存在对及的连续偏导数 且 yxyxfz yxxy x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 4 隐函数的导数 对于方程所确定的隐函数 可以由下列公式求出对的导数 0 yxF xfy yx y yxF yxF y y x 2 隐函数的偏导数 对于由方程所确定的隐函数 可用下列公式求偏导数 0 zyxF yxfz zyxF zyxF x z z x zyxF zyxF y z z y 5 二元函数的极值 设函数在点的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数 且 00 yxfz 00 yx 又设 0 00 yxfx0 00 yxfyAyxfxx 00 Byxfxy 00 Cyxfyy 00 则 1 当时 函数在点处取得极值 且当0 2 ACB yxf 00 yx0 A 时有极大值 当时有极小值 0 A 2 当时 函数在点处无极值 0 2 ACB yxf 00 yx 3 当时 函数在点处是否有极值不能确定 要用其它方0 2 ACB yxf 00 yx 法另作讨论 平面与直线平面与直线 1 平面方程 1 平面的点法式方程 在空间直角坐标系中 过点 以为 0000 zyxM CBAn 法向量的平面方程为 称之为平面的点法式方程0 000 zzCyyBxxA 2 平面的一般式方程 称之为平面的一般式方程0 DCzByAx 2 特殊的平面方程 表示过原点的平面方程0 CzByAx 表示平行于轴的平面方程0 DByAxOz 表示过轴的平面方程0 ByAxOz 表示平行于坐标平面的平面方程0 DCzxOy 3 两个平面间的关系 设有平面 0 11111 DzCyBxA 0 22222 DzCyBxA 平面和互相垂直的充分必要条件是 1 2 0 212121 CCBBAA 平面和平行的充分必要条件是 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 平面和重合的充分必要条件是 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 4 直线的方程 1 直线的标准式方程 过点且平行于向量的直线方程 0000 zyxM pnms 称之为直线的标准式方程 又称点向式方程 对称式方程 p zz n yy m xx 000 常称为所给直线的方向向量 pnms 2 直线的一般式方程 称之为直线的一般式方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 5 两直线间关系 设直线 的方程为 1 l 2 l 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx l 2 2 2 2 2 2 1 p zz n yy m xx l 直线 平行的充分必要条件为 1 l 2 l 2 1 2 1 n n m m 直线 互相垂直的充分必要条件为 1 l 2 l0 212121 ppnnmm 6 直线 与平面间的关系l 设直线 与平面的方程为l p zz n yy m xx l 000 0 000 zzCyyBxxA 直线 与平面垂直的充分必要条件为 l p C n B m A 直线 与平面平行的充分必要条件为 l 0 0 00 DCpBnAm CpBnAm o 直线 落在平面上的充分必要条件为l 0 0 00 DCpBnAm CpBnAm o 将初等函数展开成幂级数将初等函数展开成幂级数 1 定理 设在内具有任意阶导数 且 xf 0 xU 则在内0 lim xRn n 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 xU n n n xx n xf xf 0 0 0 称上式为在点的泰勒级数 或称上式为将展开为的幂级数 xf 0 x xf 0 xx 2 几个常用的标准展开式 n n x x 0 1 1 nn n x x 1 1 1 0 0n x e n n x 12 1 sin 12 0 n x x n n n 2 1 cos 2 0 n x x n n n n x x n n n 1 1ln 0 n x x n n 0 1ln 常微分方程常微分方程 1 一阶微分方程 1 可分离变量的微分方程 若一阶微分方程通过变形后可写成 或 0 y yxFdxxfdyyg 则称方程为可分离变量的微分方程 ygxfy 0 y yxF 2 可分离变量微分方程的解 方程必存在隐式通解 其中 dxxfdyyg CxFyG dyygyG dxxfxF 即两边取积分 2 一阶线性微分方程 1 定义 方程 称为一阶线性微分方程 xQyxPy 1 非齐次方程 0 xQ 2 齐次方程 0 yxPy 2 求解一阶线性微分方程 1 先求齐次方程的通解 其中为任意常数 0 yxPy dxxP Cey C 2 将齐次通解的换成 即 C xu dxxP exuy 3 代入非齐次方程 得 xQyxPy Cdxexqey dxxPdxxP 2 二阶线性常系数微分方程 1 可降阶的二阶微分方程 1 型的微分方程 xfy 例 3 求方程的通解 分析 xey x sin 2 1 2 1 2 cos 4 1 Cxedxyy x 21 2 sin 8 1 CxCxedxyy x 2 型的微分方程 yxfy 解法 1 令 方程化为 yp pxfp 2 解此方程得通解 1 Cxp 3 再解方程 得原方程的通解 1 Cxy 21 CdxCxy 3 型的微分方程 yyfy 解法 1 令 并视为的函数 那么 yp py dy dp p dx dy dy dp dx dp y 2 代入原方程 得