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完美版圆锥曲线知识点总结 圆锥曲线的方程与性质1.椭圆(1)椭圆概念2a(大于|FF2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数椭圆2c叫椭圆的焦距。的焦点,两焦点的距离M为椭圆上任意一点,则有|MF|MFz|2a0)(焦点在x轴上)+0)(焦点在椭圆的标准方程为a2 b2注:以上方程中ab的大小ab0,其中b2在21和y21两个方程中都有0的条件,要分清焦点的位置,只要X轴上的椭园:当母的大小。例如椭圆(m0,nmn)当mn时表示焦点在my轴上的椭表示焦点在(2)椭圆的性质b所成的知范围:由标准方程a2b21知|x1a,y1b,说明椭圆位于直线x形里对称性:在曲线方程里,若以y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点X代替所以曲线关于x轴对称,同理,以X代替X方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以替y方程也不变,则曲线关于原点对称。所以,椭圆关于X轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭园的对称中心叫椭圆的中心;顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与X轴、y轴的交点坐标。在椭园的标准方程中,令x0,得yb,则B1(0,b),B(0b)是椭圆与y轴的两个交点,同理令y0得xa,即A(a,0)A(a,0)是椭圆与x轴的两个交点所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点同时,线段AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为:在OB2 L b JOF2 L-C B2 F2 L-a且|oF2P2+B2F22-|OB2P,即c2=a2-b2:离心率:椭园的焦距与长轴的比e=-叫椭圆的离心率ac0,00时交点在x轴当0判做抛物线的标准方程注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(0),它的准线方程是x=(2)抛物线的性质一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y2=2px,x2=2py,x2=2py这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如y2-2 pxy2-2 px标准方程2=2pyx2-2 py(p0)(p0(p0)(p0)图形p焦点坐标p准线方程范围00对称性顶点(00)(0.0)0)离心率说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程fxy)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解:(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程:这条曲线叫做方程的曲线点与曲线的关系:若曲线C的方程是fxy)=0,则点 Po(x o, y o)在曲线c上x。y00:点P(xyo)不在曲线c上fxay)0两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f(xy)=0fxxy)=0.则点 Pox a,y o)是C,Ca的交点f1(x0,yo)0方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点:方程组没有实数解,曲线就没f2(x0,y0)0有交点。1、定义:点集(M|OM|=),其中定点O为圆心,定长r为半径2、方程:(1)标淮方程:圆心在cat),半径为r的圆方程是(xa)+yb则心在坐标原点,半径为(2)一般方程:当D2+E24F0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做园的一般方程,圆心为2+Dx+Ey+F=0化E是D2E24F。配方,将方程为(x+)2+(y+2=D2E24F2当D2+E24F=0时,方程表示一个点0时,方程不表示任何图形一半径为r,点M的坐标(3)点与圆的位置关系已知圆心cap).McrMdi= ar (o-b)2.(4)直线和圆的位置关系:直线和圆有相交、榫切、相离三种位置关系:直线与圆交有两个公共点线与圆相切有一个公共点:直线与园相直线和圆的位置民关系的判定:判别式法:间用圈心C(a)到直线A+By+c=0的距离d与半径r的大小关系来判定三、圆锥曲线平面内的动点P不y到一个定点Fco)的距离与到不通过个定点一条定直线1的距离之比是十个常数e(0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点(c0)称为焦点,定直线1称为准纠,正常数e称为离心率。当1时,轨迹为双曲线双曲线抛物线1.到两定点FF的距离之1.到两定点F,Fz的距离之差的和为定值2a(2aFFlD)的点的轨迹绝对值为定值2a(02a图形标准X+y21(ab0)1(a0b0)方程参数Jx=a cos方程y=b sine参数离心角0(参数为离角)a为参数)原点O一原点O(0(0.0)(a,0)轴顶点(a,0)轴,对称轴虚F(0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,焦点F.C, O), Fx-c0)F(c,0).F0)的焦点坐标是(Po),淮线方程x=2px(p0)的焦点2标是(Po),准线方程x=P,开口向左:抛物线23的焦点坐标是0.P),淮线方程yp口向上),准线方程y=P,开口向下抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标是(2)抛物线y2=2pxp0)上的点Mxo,yo)与焦点F的距离MF2px(p0)上的点M(x0,y与焦点F的距离MFPp(3)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设Ax1,y1(4)已知过抛物线y2=2pxp0)焦点的直线交抛物线于B(x2, y2)则弦长AB=x1x2+p或AB2p(a为直线AB的倾斜角),y1y2p(叫做焦半径)五、坐标的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换)叫做坐标变换实坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做华标轴的平移,简称移轴(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(xy),在新坐标系xoy坐标是中的坐标是(Xy)设新坐标系的原点或叫做平移(或移辅)公式的圆锥曲线方程见(4)中心或顶点在(hk称椭园(X-h)-k)=1(c+hk)双曲线y-k)-(x-h)=1(h,c+h)pp(y-k)2=2p(x-h)2ppy-k)2=2p(x-h)2抛物线p(x-h) =2ply-k)(n2xh(x-h)”=-2p(y-k)y-2六、椭圆的常用结论点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角2.PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的园,除去长轴的两个端点3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切x0x+如0Y=1在椭圆上,则过0的椭圆的切线方程是若P0(x0,y)在椭1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P2,则切点弦PP2的直线方程是7.椭圆x2+y21(ab0)的左右焦点分别为F点P为椭圆上任意一点F则椭园的焦点角形的面积为S5PF=ban一8.椭圆x2+y2=1ab0)的焦半径公式I MF, F a exo, I MF2 Fa-exo(Fitc. 0), F2(c, 0)M(Xo, yo).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连AP和AQ分别交相应于焦点F的椭园准线于M、N两点,则MFNFAP和AQ交于点M,AP和AQ10.过椭园一个焦点F的直线与椭园交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点交于点N,则MFNFy21的不平行于对称Mxo,yo)为11AB是椭圆koM kABbao所平分白12.若P(x,y在椭园【推论】:yb(abo)的两个顶点为a, 0), Az是y212、过椭圆x21(a0,b0)上任任意作两条斜角互补的线BC有定向且kcb2x(常数)a23、若P为椭圆x21(ab0)上长轴端点的任1(ab0)的两个焦4、设椭圆长轴端点)为椭圆上任意F1 F2PF1 PF25、若椭圆X21(ab0)的左、右点分别为a2求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项1(ab0)上任6、P为椭圆二焦点,A为椭园内一2aAF2|PA|+|PF1F2a+AF1当且仅当AF2,P三点共线时,等号成立7、椭圆(xX)2+(y=y)2=1与直线Ax+By+C有公共点的充要条件是A2a 2+B2 b22( AXo+Byo +C )28、已知椭圆X21(a椭圆上两I OP F29、过椭圆1(ab0)的则PF0,b0)的左右焦点分别7、双曲线F2,点P为双曲线上任意一点线的焦点角形的面积为S FPF2b2 co t1(a0,bo)的焦半径公式:8、双曲线y2F(c0)a:当M(xo,yoI MF1a, MF2ex支上时, I MFlF作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上9、设过双曲线焦点焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MFNF10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点和AQ交于点N,则MFNF1(a0b0)的不平行AB是双曲线2M(x0,yo)为AB的中点,即KABXo12、若 Po X(o, yo)在双曲线13、若P0(X0,y)在双曲线【推论】1、双曲线1(a0b0)的两个顶点为AP,与AP2交点的轨迹方程是2、过双曲线1(a0b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互则直线BC有定向且kBc3若P为线x2-0)右PF2F1,则c4、设双曲线X2土(a8b0)的两个焦点为a2 b2PF F5、若双曲线X2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离6、P为双曲线X21(a0b0)上任一点FtF:为二焦点,A为双曲线内+-a2I AF2 IPF1|.当且仅当AF2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等7、双曲线X21(a0b0)与直线 Ax By C8、已知双曲线1(ba0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点(1)(2)|oPJOP 12JOQ F29、过双曲线X21(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于x轴于P,则|PF点P(x10、已知双曲线2-21(a0b0)A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与b、设P点是1(a0b0)上异于实轴端点的任三点F、F为其焦点记(1)|PF1PF22b2(2)12、设A、B是双曲线x2P是双曲线上的1(a0b0)的长轴两端点C、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有I a2 coco s2e13、已知双曲线X2=+=)的右准线与轴相充于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线X轴,则直线AC经过线段EF的中交于A、B两点,点C在右准线上,且BC14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直距声16、双曲线焦三角形中为常(注:在双曲线焦三角形中17、双曲线焦三角形中18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项八、抛物线的常用结论点(b0通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的2)(t为参数)y22px(或x22py)的参数方程为或图形焦点pF0.p)222yXO.VRrYerYoX轴y轴顶点=-+|(40)|-+焦点P22F2圆锥曲线的性质对比圆锥曲线双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(yb)=1ab0(x/a)(y/b)=1a0b0y=2pxp0范围xaaybbx(,-aUa+)yRx0,+)yR对称性关于x轴y轴,原点对称关于x轴y轴,原点对称关于x轴对称顶点(a0),(aO),(0b)(0,-b)(a,0)(a0)焦点(Gc0)c0(C, O),(C, 0)tp2,0)