第3章刚体的定轴转动

0 第三章 刚体的定轴转动 3 1 1 铁饼离手时的角速度为 rad s 250125 Rv 2 铁饼的角加速度为 rad s839 25122 25 2 2 22 3 铁饼在手中加速的时间为 s 6280 25 251222 t 3 2 1 初角速度为 rad s 920602002 0 末角速度为 rad s 3146030002 角加速度为 rad s941 07 920314 20 t 2 转过的角度为 186 rad101717 2 314920 2 30 圈 t 3 切向加速度为 m s38820941 2 t Ra 法向加速度为 m s1097120314 2422 n Ra 总加速度为 m s10971 10971 378 242422 n 2 t aaa 总加速度与切向的夹角为 9589 378 101 97 arctanarctan 4 t n a a 3 3 1 对轴 I 的转动惯量 2222 1 9 cos602 cos60 cos60 2maaamaaamJ 1 对轴 II 的转动惯量 22 2 3 sin60 4maamJ 2 对垂轴的转动惯量 2222 3 12 2 cos30 222maamammaJ 3 4 1 设垂直纸面向里的方向为正 反之为负 则该系统对 O 点的力矩为 mgllmglmglmglmgM 4 3 8 1 4 1 4 1 8 3 4 3 4 3 0 2 系统对 O 点的总转动惯量等于各部分对 O 点的转动惯之和 即 2 2222 43210 48 37 4 3 4 3 4 3 3 1 4 4 3 1 4 ml l m lmlml m JJJJJ 3 由转动定律 可得 JM l g ml mgl J M 37 36 48 37 4 3 2 0 0 3 5 1 摩擦力矩恒定 则转轮作匀角加速度运动 故角加速度为 00 01 201 0 8 t 第二秒末的角速度为 00002 60220 t 2 设摩擦力矩与角速度的比例系数为 据题设可知 r M t JMr d d 即 t J t J t 0 0 lnd d 0 据题设时 故可得比例系数s 1 t 01 80 80ln J 由此时 转轮的角速度为s2 t 2 ln0 82ln 0 2 2 00 2 2 64080 3 6 设飞轮与闸瓦间的压力为 N 如图示 则二者间摩擦力 此摩擦力Nfr 形成阻力矩 由转动定律Rfr JRfr 其中飞轮的转动惯量 角加速度 故得 2 mRJ n t5 2 0 14 N 3 0 25 1000 60 60 5 2 5 2 mnRfr 见图所示 由制动杆的平衡条件可得 0 121 lNllF r f NN 得制动力 N 314 0 75 0 540 50314 21 1 ll lf F r 3 7 如图所示 由牛顿第二定律 对 11111 amgmTm 对 22222 amTgmm 对整个轮 由转动定律 2 22 2 111122 2 1 2 1 RMRMRTRT 又由运动学关系 2211 RR 联立解以上诸式 即可得 2 222 2 111 1122 2 2 RmMRmM gRmRm 习题 3 6 图 习题 3 7 图 3 3 8 设米尺的总量为 m 则直尺对悬点的转动惯量为 m093 0 m 15 4 1 6 0m 5 2 3 1 4 0m 5 2 3 1 3 1 3 1 22 2 22 2 11 lmlmI mg1 0 2 1 5 2 mg 5 2 2 1 5 3 mg 5 3 M 又 m 15 4 1 IIM rads 5 10 m4 1 15mg1 0 2 I M 从水平位置摆到竖直位置的过程中机械能守恒 以水平位置为 O 势能点 2 2 1 Jmghc 即 2 5 1 4 1 2 1 1 0 mmg 21 3 9 m 视为质点 M 视为刚体 匀质圆盘 作受力分析 如图所示 2 2 1 MRJ Ra JRT maTmg 1 由方程组可解得 gg Mm m a 2 1 2 物体作匀加速运动 gtatvv 2 1 0 2 物体下落的距离为 习题 3 9 图 1 a b 4 2 2 0 4 1 2 1 gt attvx 当 t 4 时 m 2 3944 4 1 2 ggx 3 绳中张力由方程组解得 mg 2 1 T 解法 2 以 t 0 时物体所处位置为坐标原点 O 以向下为 x 正方向 1 由机械能守恒 RV mRJ mgxmVJ 2 22 2 2 1 2 1 2 1 两边就 t 求导得gxV 2 gtv tg v tg vgv t v v tv 2 1 2 d d 2 d d d d 2 00 2 2 00 4 1 d 2 1 d d 2 1 d 2 1 d d d d 2 1 gtx tgtx tgtx gt t x t x v gtv tx 则 3 匀加速运动 由以及知m gtV 2 1 0 0 V 习题 3 9 图 2 5 mgT maTmg ga 2 1 2 1 又由 3 10 如图所示 唱片上一面元面积为 质量为 此rrsddd ddd 2 Rrmrm 面元受转盘的摩擦力矩为 ddddd 22 kk RrrmgmgrfrM 各质元所受力矩方向相同 所以整个唱片受的磨擦力矩为 MMd mgR rr R mg k R k 3 2 dd 2 00 2 2 唱片在此力矩作用下做匀加速转动 角速度从 0 增加到 需要时间为 g R mRM a t k 2 4 3 2 1 唱机驱动力矩做的功为 22 2 1 mRtMMA 唱片获得的动能为 22222 k 4 1 2 1 2 1 2 1 mRmRJE 3 11 对整个系统用机械能守恒定律 0 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 Jvmkhghm 以代入上式 可解得rvmrJ 2 1 2 m s48 1 05 0 08 0 5 025 08 908 0 2 2 2 2 1 2 1 mm khghm v 3 12 1 丁字杆对垂直轴 O 的转动惯量为 222 0 3 2 2 12 1 3 1 mllmmlJJJ OABOC 习题 3 10 图 6 对轴 O 的力矩 故由可得释手瞬间丁字杆的角加速度mglM 2 1 0 JM l g ml mgl J M 4 3 2 3 2 1 2 0 0 2 转过角后 知矩 由机械能守恒知 900 0 则M 0 2 0 2 1 2J mgl J l mg 此时角动量 glmlmglJJL 3 2 00 转动动能为 mglJEk 2 1 2 1 2 0 3 13 1 利用填补法 将小碎片填入缺口 此时为均匀圆盘对 O 轴的转动惯 量 挖去小碎片 相应减少 故剩余部分对 O 的转动惯量 2 00 2 1 RmJ 2 1 mRJ 为 22 0100 2 1 mRRmJJJ 2 碎片飞离前后 其角动量守恒 1 1 2 1 22 0 2 0 2 1 2 1 mRmRRmRm 故剩余部分的角速度与原来的角速度相等 3 14 由于转台和人系统未受到沿轴方向外力矩 所以系统的角动量守恒 即 2 2 1 MrJJ 由此可得转台后来的角速度为 rad s 496 0 10 2 2801200 1200 2 1 2 2 MrJ J 3 15 慧星在有心力场中运动 角动量守恒 设其质量为 M 近日点速率为 V1 与太阳之距 r1 远日点速率为 V2 与太阳之距 r2 则有 2211 rMVrMV m 1026 5 1075 8 1008 9 1046 5 1210 2 4 1 2 1 2 r V V r 7 3 16 1 由于grv 2 m s 95 4 5 28 9 grv 2 由飞船和宇航员系统角动量守恒可得 03 JmvR 由此得飞船角速度为 rad s 1067 8 103 5 295 4 7033 3 5 J mvR 3 飞船转过用的时间 宇航员对飞船的角速度为 在 30 6 tRv 时间 t 内跑过的圈数为 19 5 21067 8 95 4 1 12 1 1 12 1 2 3 圈 R v tRvn 3 17 太阳自转周期按 25d 计算 太阳的自转角动量为 smkg 101 1 8640025 2 1096 6 1099 1 5 2 5 2 242 2830 2 S mRJ 此角动量占太阳系总角动量的百分数为 3 3 10 2 311 0 1011 0 43 43 3 18 1 由于外力沿转动中心 O 故外力矩恒为零 质点的角动量守恒 即 2 211 2211 mrrmV rmVrmV 故小球作半径 r2的圆周运动的角速度为 1 2 2 1 V r r 2 拉力 F 做功为 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 22 1 2 1 dV r rm mVmVsFA 3 19 1 222 3 4 3 1 mlmlml JJJ 球杆 8 2 在转动过程中无耗散力 系统机械能守恒 设初始时刻重力势能为零 有 cos cos 2 2 1 0 2 lmg l mgJ 解得 cos 2 3 l g 3 20 1 子弹射入木棒中为完全非弹性碰撞 角动量守恒 2 2 3 1 4 3 4 3 Mllmlmv 解得 srad 9 4 0 9 4 200108 4 0 9 4 108 4 3 200108 9 4 4 3 1 3 3 3 lMm mv 2