经济中的数学函数及模型

一 常用的经济函数一 常用的经济函数 1 总成本函数 总收入函数 总利润函数 总成本函数 总收入函数 总利润函数 总成本函数总成本函数是指在一定时期内 生产产品时所消耗的生产费用之总和 常用表示 C 可以看作是产量的函数 记作x CC x 总成本包括固定成本和可变成本两部分 其中固定成本指在一定时期内不随产量变F 动而支出的费用 如厂房 设备的固定费用和管理费用等 可变成本是指随产品产量变V 动而变动的支出费用 如税收 原材料 电力燃料等 固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的 在短期生产中 固定成本是不变的 可变成本是产量的函数 所以 在长期生产中 支出都是可变成本 x C xFV x 此时 实际应用中 产量为正数 所以总成本函数是产量的单调增加函数 常0F xx 用以下初等函数来表示 1 线性函数 其中为常数 Cabx 0b 2 二次函数 其中为常数 2 Cabxcx 0 0cb 3 指数函数 其中为常数 ax Cbe 0a b 平均成本 每个单位产品的成本 即 C x C x 总收益函数总收益函数是指生产者出售一定产品数量 所得到的全部收入 常用表示 即xR RR x 其中为销售量 显然 即未出售商品时 总收益为 x 0 0 0 Q RR 若已知需求函数 则总收益的为 QQ p 1 RR QP QQpQ 平均收益 若单位产品的销售价格为 则 且 R x R x pRp x Rp 总利润函数总利润函数是指生产中获得的纯收入 为总收益与总成本之差 常用表示 即L L xR xC x 例 某工厂生产某产品 每日最多生产 100 个单位 日固定成本为 130 元 生产每一 个单位产品的可变成本为 6 元 求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数 解 设每日的总成本函数为及平均单位成本函数为 因为总成本为固定成本与可CC 变成本之和 据题意有 1306 0100 130 6 0100 CC xxx CC xx x 例 设某商店以每件元的价格出售商品 若顾客一次购买 50 件以上 则超出部分每a 件优惠 10 试将一次成交的销售收入表示为销售量的函数 Rx 解 由题意 一次售出 50 件以内的收入为元 而售出 50 件以上是 收入为Rax 50 50 10 Raxa 所以一次成交的销售收入是销售量的分段函数Rx 050 500 9 50 50 axx R aa xx 2 需求函数与供给函数需求函数与供给函数 需求量需求量指的是在一定时间内 消费者对某商品愿意而且有支付能力购买的商品数量 经济活动的主要目的是在于满足人们的需求 经济理论的主要任务之一就是分析消费及 由此产生的需求 但需求量不等于实际购买量 消费者对商品的需求受多种因素影响 例 如 季节 收入 人口分布 价格 等等 其中影响的主要因素是商品的价格 所以 我 们经常将需求量看作价格的函数 记为 d Qp dd QQp 通常假设需求函数是单调减少的 需求函数的反函数 1 pQp 0Q 在经济学中也称为需求函数 有时称为价格函数 一般说来 降价使需求量增加 价格上涨需求量反而会减少 即需求函数是价格的单调p 减少函数 常用以下简单的初等函数来表示 1 线性函数 其中为常数 d Qapb 0a b 2 指数函数 其中为常数 bp d Qae 0a b 3 幂函数 其中为常数 a d Qbp 0a b 例 设某商品的需求函数线性函数 其中为常数 求时Qapb 0a b 0p 的需求量和时的价格 0Q 解 当时 表示价格为零时 消费者对某商品的需求量为 这也是0p Qb b 市场对该商品的饱和需求量 当时 为最大销售价格 表示价格上涨到时 0Q b p a b a 无人愿意购买该产品 供给量供给量是指在一定时期内生产者愿意生产并可向市场提供出售的商品量 供给价格是 指生产者为提供一定量商品愿意接受的价格 将供给量也看作价格的函数 记为 s Qp ss QQp 一般说来 价格上涨刺激生产者向市场提供更多的商品 使供给量增加 价格下跌使 供给量减少 即供给函数是价格 的单调增加函数 常用以下简单的初等函数来表示 p 1 线性函数 其中为常数 s Qapb 0a 2 指数函数 其中为常数 供给量也受多种因素影响 bp s Qae 0a b 3 幂函数 其中为常数 a s Qbp 0a b 当市场上需求量 与供给量一致时 即 商品的数量称为均衡数量 d Q s Q ds QQ 记为 商品的价格称为均衡价格 记为 例如 由线性需求和供给函数构成的市场 e Q e p 均衡模型可以写成 0 0 d QabP ab 0 0 s QcdP cd ds QQ 解方程 可得均衡价格和均衡数量 e p e Q e ac p bd e adbc Q bd 由于 0 因此有 e Q0bd adbc 当市场价格高于时 需求量减少而供给量增加 反之 当市场价格低于时 需 0 p 0 p 求量增加而供给量减少 市场价格的调节就是利用供需均衡来实现的 经济学中常见的还有生产函数 生产中的投入与产出关系 消费函数 国民消费总 额与国民生产总值即国民收入之间的关系 投资函数 投资与银行利率之间的关系 等等 例 已知某商品的需求函数和供给函数分别为 14 1 5 54 ds QpQp 求该商品的均衡价格 解 由均衡条件可知 ds QQ 14 1 554 195 5 pp p 所以均衡价格价格为 0 3 45p 例 已知某产品的价格为元 需求函数为 成本函数为元 p505Qp 502CQ 求产量为多少时利润最大 最大利润是多少 QL 解 因为需求函数为 所以收益函数为505Qp 10 5 Q p 2 10 5 Q Rp QQ 利润函数 2 2 850 5 1 20 30 5 Q LRCQ Q 因此 时利润最大 且最大利润是 30 元 20Q 二 二 边际边际 由导数定义知 函数的导数是函数的变化率 在经济分析中 经济函数的变化率 因变量对自变量的导数 通常称为 边际 在经济问题中 经常用到年产量的变化率 成本的平均变化率等概念 设函数 在点处可导 则在区域内的平均变化率为 瞬时变化率为 yf x 0 x 00 x xx y x 00 0 0 lim x f xxf x fx x 定义 设函数在点处可导 则称为的边际函数 在 yf x x fx f x fx 处的导数值为边际函数值 0 x 0 fx 由微分的概念可知 当自变量的改变量很小时有 但在经济应用中 最小的xydy 改变量可以是一个单位 即 所以有1x 00 ydyfxxfx 这说明在点处当产生一个单位的改变时 函数近似改变了 f x 0 xx x yf x 个单位 0 fx 1 边际成本 设总成本函数为 则称其导数为产量为时的 C Q 0 lim x C QQC Q C Q Q Q 边际成本 记做 MC 即边际成本函数为 00 0 lim Q C QQC QdC MC dQQ 由于 当时 因此产量为时的边际成本的经济 0 CC QQ 1Q 0 CC Q 0 Q 意义为 近似等于当产品的产量生产了个单位时 再生产一个单位产品时所需增 C Q Q 加的成本数 显然 边际成本与固定成本无关 平均成本的导数为边际平均成本 2 C QQC QC Q C Q QQ 2 边际收入 设总收益函数为 则称其导数为销售量为 R Q 0 lim Q R QQR Q R Q Q 时的边际成本 记作 即 QMR 00 0 lim Q R QQR QdR MR dQQ 其经济含义是 假定已销量为个单位 再销售一个单位产品 所增加的收益为 0 Q 0 R Q 3 边际利润 设总利润函数 对的导数称为边际利润 LL Q LQ 0 lim Q L QQL Q L Q Q 记作 即边际利润函数为 ML 00 0 lim Q L QQL QdL ML dQQ 销量为时的边际利润的经济意义为 假定已销量为个单位 再销售一个单位产品 0 Q 0 Q 所增加的利润为 0 L Q 一般情况下 总利润等于总收益函数与总成本函数之差 即 L Q R Q C Q 边际利润为 即边际利润等于边际收益 L Q R Q C Q L QR QC Q 与边际成本之差 例例 1 1 设某单位每月生产的产品固定成本为元 生产个单位产品的变动成 0 10000C Q 本为元 若每单位产品的售价为 40 元 求边际成本 边际 2 0 0110V QQQ 收益及边际利润 并求边际利润为零时的产量 解解 由题设知 总成本函数 2 0 0 011010000C QV QCQQ 总收益函数 40R QP QQ 总利润函数 2 400 011010000L QR QC QQQQ 2 0 013010000QQ 边际成本 0 0210MCC QQ 边际收益 40MRR Q 边际利润 0 0230MLL QQ 令 得即每月产量为 1500 个单位时 边际利 0L Q 0 02300 1500 QQ 润为零 这说明 当月产量为 1500 个单位时 再多生产一个单位产品不会增加利润 例 设某厂每月生产产品的固定成本为 1000 元生产个单位产品的可变成本为x 元 若每个产品的售价为 30 元 求边际成本 边际利润及边际利润为零 2 0 0110 xx 时的产量 解 因为总成本函数为 2 0 01101000C xxx 所以 边际函数为 0 0210C xx 又收益 所以利润函数 30R xx 2 300 01101000L xR xC xxxx 所以 0 0220L xx 在经济函数中 总体 边际和平均三者的关系是很重要的研究对象 例 设总成本函数为 求它的边际总成本函数 平均成本和边 32 420C xxxx 际平均成本函数 解 因为 2 3820MCC xxx 2 420 C x ACxx x 而边际平均成本函数 24 C x x x 一般由可分析经济活动 如和都是开口 MCAC 2 3820MCxx 2 420ACxx 向上的二次抛物线 且相交于点 当时 而边际平均 2 16 2x 16 16MCAC 成本函数此时为零 如图 在交点的左边曲线位于曲线的下方 在交点的右边MCAC 曲线位于曲线的上方 利用这种 边际 平均 关系 有助于企业安排生产 如MCAC 交点的左边的情况说明生产力还没有充分发挥 有潜力可挖 三 弹性三 弹性 1 函数的弹性 定义 设函数在点可导 且 则极限 yf x x 0 x 0f x 00 limlim xx y xyxy fx x yxf x x 称为函数在点处的弹性 记作 或或 f xx Ey Ex Ef x Ex yx 即 Eyfxxdf x x Exf xf xdx 函数在处的弹性 记做 或 f x 0 x 0 x x Ey Ex 0 yx x x 由于 1 ln 1 ln fx dx df xxf x fx dxf x dx x 因此 函数的弹性也可以表示为函数 的微分与函数 的微分之比 f xln f xln x ln ln E f xdf x Exdx 由于函数的弹性 是自变量与因变量的相对变化而定的 它表示函数 Ey Ex xy 改变幅度的大小 即表示 实质上是近似地表示 当自变量由起始改变 1 时 f xx 函数相应改变的百分数 f x 例 2 求函数 的弹性 f xAx 解 由于 所以 1 fxA x 1 E AxA x x ExAx 特别地 函数的弹性为 函数的弹性为 f xAx 1 E Ax Ex A f x x 1 A E x Ex 2 需求价格弹性 弹性概念是经济学中的另一个重要概念 它所描述的是一个经济变量对另一个经济变 量的反应程度 设某商品的需求函数为 其中为价格 为需求量 由弹性的定义可 QQ p pQ 知 极限称为需求量对价格的弹性 简称需求价格弹性 记作 即 0 lim P pQ QP Qp 0 lim Qp P Q Pp Q p P QQ 表示需求量对价格的相对变化率 即对变动的反应程度 因为需求函数为价 Qp Qp 格的减函数 价格上升时需求量下降 价格下降需求量反而上升 所以一般为负值 Qp 其经济意义为 1 当某商品的价格上涨 1 时 需求量减少 2 当某商品的 Qp 价格下降 1 时 需求量增加 因此 需求价格弹性反映了当前价格变动对需求量 Qp 变动的反应程度 当时 需求弹性大 价格的变动对需求量的影响较大 即价格的升降所引起1 Qp 的需求量变动的幅度大于价格变动的幅度 当时 需求弹性小 价格的变动对需求量的影响较小 即价格的升降所引起1 Qp 的需求量变动的幅度小于价格变动的幅度 当时 称为单位弹性 此时价格变动的幅度与需求量变动的幅度相同 1 Qp 此外还有两种特殊情况 为完全无弹性 即价格无论如何变化 需求量都不变 0 Qp 为完全有弹性 此时价格只要有任何微小的变化 对需求都有很大的影响 Qp 在经济分析中 利用商品的需求价格弹性 可以给出使总收益增加的经营策略 设是某商品的需求函数 则总收益函数 QQ p RR pp Qp Q p 于是 对的导数是关于价格的边际收益 RpRp dRd p Q pQ ppQ p dpdp 1 p Q pQ p Q p 即边际收益 1 dR Q p dp 上式给出了关于价格的边际收益与需求价格弹性之间的关系 1 若时 称该商品为低弹性需求 这时需求量减少的幅度小于价格上涨1 的幅度 因此 边际收益 此时 提价使总收益增加 降价总收益 0R p 减少 2 若时 称该商品为高弹性需求 这时需求量减少的幅度大于价格上涨的1 幅度 因此 边际收益 此时 提价使总收益减少 降价总收益增加 0R p 3 若时 称该商品为单位弹性需求 这时需求量减少的幅度等于价格上涨1 的幅度 因此 边际收益 总收益保持不变 此时 总收益取得最大 0R p 值 例 已知某产品的需求函数为 求需求弹性 并讨论价格在 10 元时弹 2 4 p Qe Qp 性的大小 解 因为 2 2 8 2 4 p Qp p Qe ppp Qe 当价格元时 需求弹性大 此时价格增加 1 需10p 0 2201 Qp p p 求量将下降 20 例 某企业根据市场调查 已知某商品的需求函数为 试讨论其弹性的1805Qp 变化情况 解 因为 5 180536 Qp Qp pp Qpp 由可得 当时有 表示价格在这一范围内需求弹1 Qp 18p 018p 1 Qp 性小 需求量增加的幅度小于价格减少的幅度 此时采用降价措施会使企业收益减少 当时有 表示价格在这一范围内需求弹性大 需求量减少的幅度小于18p 1 Qp 价格增加的幅度 此时采用提价措施也会使企业收益减少 在市场经济中 商品经营者所关心的是提价 或降价 对总收益0p 0p 的影响 事实上 由于 Qp p dQ Q dp 即 Qp pdQQdp 当价格的微小变化 很小 而引起的销售收益的改变量为pp RQp 1 Qp RQpd Qp QdppdQQdp 因为 所以从而有0 Qp QpQp 1 1 QpQp RQdpQ P 由此可分析 当 弹性大 时 降价 可使总收益增加 1 Qp 0p 0R 当 弹性小 时 降价 可使总收益减少 1 Qp 0p 0R 例 3 设某商品的需求函数为 求时的需求价格弹性 解释经1005Qp 5 10 15p 济意义 并说明这时提高价格对总收益的影响 解 需求价格弹性 5 100520 pp Q pp Qpp 当时 为低弹性商品 当时 说明在价格时5p 0 331 5 75pQ 5p 若价格上涨 或下降 需求量将由 75 个单位起减少 或增加 此时 提价总1 Q0 33 收益增加 降价总收益减少 当时 当 说明在价格时需求量减少的幅度等于价10p 1 10 50pQ 10p 格上涨的幅度 总收益保持不变 此时总收益取最大值 当时 为高弹性商品 当时 说明在价格时若15p 31 15 25pQ 15p 价格上涨 或下降 需求量将从 25 个单位起增加 或减少 此时 提价总收益减1 Q3 少 降价总收益增加 3 收益价格弹性 设商品的总收益函数为 由弹性的定义可知 则收益的销售弹性与收益 RR Q 价格弹性分别为 RQ ERQ dRQ R Q EQR dQR 与 Rp ERp dRp R p EpR dpR 收益的销售弹性的经济意义为 销售量在处时 若销售量增加 则 RQ Q1 当 或 时 总收益增加 或减少 0 RQ 0 RQ RQ 收益的价格弹性的经济意义为 价格在处时 若价格上涨 则当 RP p1 或 时 总收益增加 或减少 0 Rp 0 Rp RP 若商品的需求函数 总收益函数分别为 则 QQ pRpQ 1 1 1 11 11 RQ ERQ dRdRQd pQ EQR dQp dQpQdQ dpQ dp pQ pdQp dQ p dQ Q dp 1 1 11 Rp ERp dRdR EpR dpQ dp pd pQdQ Qp pQdpQdp p dQ Q dp 从而有 1 1 1 dRdR Qp dpdQ 以上四个式子描述了收益的销售弹性 收益的价格弹性 关于价格的边际 ER EQ ER Ep p 收益 关于销量的边际收益与需求价格弹性之间的关系 在经济应用中经常 dR dp Q dR dQ 利用这些结论进行经济分析 例 4 设某产品的需求函数为 求时的收益价格弹性 并说明其经1005Qp 4p 济意义 解 因为 2 1005RpQpp 1 100 10 1005 Rp p R pp Rp 所以 4 1004060 0 75 1002080 Rp p 这说明价格在时 若价格上涨 总收益增加 4p 1 0 75 习题习题 1 已知市场均衡模型 求均衡价格和均衡数量 并画出图形 e p e Q 1 2 172 83 ds d s QQ QP QP 2 156 52 ds d s QQ QP QP 2 生产某产品 年产量不超过 500 台时 每台售价 200 元 可以全部售出 当年产量超过 500 台时 经广告宣传后又可再售出 200 台 每台平均广告费 20 元 生产再多 本年就 售不出去 试将本年的销售收益为年产量的函数 RQ 3 生产某新产品 固定成本为万元 每生产一吨产品 总成本增加万 0 m m 0 n n 元 试写出总成本的函数 并求边际成本的函数 4 设某产品的价格函数为其中 P 为价格 为销售量 求 20 5 Q P Q Q 1 销售量为 15 个单位时的总收益 平均收益与边际收益 2 销售量从 15 个单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率 5 求下列函数的弹性 1 2 yaxb lnyAax 6 设函数 的弹性存在 证明 f x g x 1 2 E f xg xEf xEG x ExExEx f x E Ef xEG xg x ExExEx 7 已知某产品的需求函数为 400 100 QP 0 4 P 1 求需求价格弹性 2 分别求当时需用求价格弹性 作出经济解释 并说明这时价格变动对1 2 3p 总收益的影响 8 某产品需求函数为 0 0 0 kP QAekAP 求需求价格弹性 并作出经济解释 9 设供给函数为求供给价格弹性 及时的供给价格弹性 2 618 QPP s E3p 10 设需求函数 求 1004Qp 1 时的需求价格弹性 并说明其经济意义 5p 2 时的收益价格弹性 并说明其经济意义 5p 3 时的收益销售弹性 并说明其经济意义 5p 四四 经济最值问题经济最值问题 1 平均成本最低问题平均成本最低问题 在生产实际中 常遇到这样的问题 在给定的生产规模条件下 如何确定产出量才能 使平均成本最低 设厂商生产某产品的总成本函数为 为产出量 由平均成本 CC Q Q 有 C Q C Q Q C QQC Q C QC QQCQ 由极值存在的必要条件 费马定理 知 使平均成本为最小的产出量应满足 0 Q 0 0 0 2 00 0 1 1 0 Q Q Q Q QC QC QC Q CQC Q QQQ C QC Q Q 从而有 这就是经济学中的一个重要结论 使平均成本最低的产出量 00 CQC Q 正是使边际成本等于平均成本时的产出量 例 1 设生产某产品的总成本函数为 求平均成本最低时的 2 41016C QQQ 产出水平 解 因为 16 410 C Q C QQ QQ 2 16 4CQ Q 令 得 0CQ 0 2Q 3 2 32 20 Q C Q 所以为极小值点 即当产出水平为 2 时 平均成本最低 此时 0 2Q 2 2 810 262 Q CQC 2 最大利润问题 税前或免税情况 最大利润问题 税前或免税情况 设总收益函数为 总成本函数为 则利润函数 R Q C Q L QR QC Q 如果已知需求函数 则 Pf Q R QPQf Q Q 先求的驻点 即 即 如果 L Q 0 Q 000 0 L QR QC Q 00 R QC Q 则就是最大值点 于是有 0 0L Q 0 Q 最大利润原则 在获得最大利润时的产出量处 边际收益等于边际成本 0 Q 例 2 某产品的需求函数为 总成本函数为 求404PQ 2 2410C QQQ 厂方取得最大利润时产品的产出量和单价 解 总收益函数为 2 404404R QQPQQQQ 利润函数 222 404241036610L QR QC QQQQQQQ 得唯一驻点 36 120L QQ 0 3Q 又 是最大值点 此时 3120L 0 3Q 00 4040 1228PQ 因此 当产品的产出量为 3 单价为 28 时 厂方取得最大利润 3 最大利润 税后情况 和最大征税收益问题 最大利润 税后情况 和最大征税收益问题 设政府以税率 单位产品的征收税额 对厂方的产品征税 厂商在纳税的情况下仍t 以最大利润为目标 而政府也要确定税率 以使征税收益最大 此时t 利润函数 其中税款 t L QR QC QTR QC QtQ TtQ 下面记以税率 纳税后厂方获得最大利润时产品产出量为 单价为 征税收益t t Q t P t TtQ 例 3 某产品的需求函数和总成本函数分别为 404PQ 2 2410C QQQ 政府对产品以税率 征税 求 t 1 厂方以税率 纳税后 获得最大利润时产品的产出量和单价 以及征税收益 t t Q t PT 2 和时 分别求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价 以及征税收益 12t 30t 3 税率 为多少时 征税收益最大 此时产品的产出量和单价为多少 t 解 1 纳税后的利润函数 2 36610 t L QR QC QtQQQtQ 36 120 t L QQt 得唯一驻点 又 所以是最大值点 此时 36 12 t t Q 0 tt LQ 36 12 t t Q 4028 3 tt t PQ 因此 以税率 纳税时 当产量 单价时 厂方获得最大利润 t 36 12 t t Q 28 3 t t P 此时征税收益 2 36 12 t tt TtQ 2 把代入上述各值 得12t 12 36 12 2 12 Q 12 12 2832 3 P 12 224 t TtQ 再把代入 得30t 30 36301 122 Q 30 30 2838 3 P 30 0 515 t TtQ 注 时 代入即可得到与例 2 一样的结果 0t 3 由征税收益 2 36 12 t tt TtQ 362 0 12 t T 得唯一驻点 又 所以为最大值点 0 18t 18 0T 0 18t 因此 当税率时 征税收益最大 此时 0 18tt 0 36 18 1 5 12 t Q 00 404404 1 534 tt PQ 征税收益 0 0 18 1 527 t Tt Q 因此 当税率时 征税收益最大为 27 此时产品产出量为 1 5 单价为 34 18t 注 当免税时 产品单价为 28 当厂方以税率 18 纳税时 产品单价为 34 在税款为 27 中 顾客承担的部分为 而厂方承担 0 3428 6 1 59 t Q 27918 4 最优批量问题 最优批量问题 设在一个计划期内 如一季度 一年 某超市销售某商品的总量为 分几批订购a 进货 每批订购数量称为批量 批量多 即订购的批次少 订购的费用就少 但库存保管 费用就增多 我们的问题是 如何确定最优批量 使订购费和库存保管费之和最少 已知总量 设批量为 则订购批次为 订购费用 每批订购费 ax a x a x 在库存保管方面 总假设商品是由仓库均匀提取投放市场 在每一批订购进库的周期内 开始一天库存量最大 为批量 最后一天用完为零 紧接第二批订购进库 在这种假x 设下 平均库存量为批量的一半 库存保管费 每件库存费 2 x 例 4 设某商场计划一年内销售某商品 10 万件 每次订购费用 100 元 库存保管费为 每件 0 05 元 求最优批量使订购费用与库存保管费用之和最小 解 设批量 每批订购数量 为 则分批订购 总费用x 5 10 x 5 2 10 100 05 2 x f x x 7 2 100 05 0 2 fx x 解得唯一驻点 因为 为最小值点 5 2 10 x 5 2 10 0 f 5 2 10 x 故最优批量为 2 万件 即最优批次批 可使总费用最小 5 4 10 5 2 10 习题习题 1 生产某产品的总成本 万元 单位 求平均成本最小时的产出 2 1 1006 4 C QQQ 量 以及最低平均成本和此时的边际成本 2 设厂方生产某产品的总成本函数为 万元 需求函数为 31C QQ 万元 吨 政府以税率 万元 吨 对该产品征税 厂方以最大利润为70 2PQ t 目标 1 以税率 纳税后 求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价 以及征税收益 t 2 时 免税 求厂方获得最大利润时产品的产出量和单价 以及征税收益 0t 3 为多少时 征税收益最大 此时产品的产出量和单价为多少 最大征税收益为t 多少 3 某超市年销售某商品 5000 台 每次进货费用 40 元 每台单价和库存保管费率分别为 200 元和 求最优批量使总费用最小 20 4 某工厂年计划生产某产品 100 万件 每批生产需增加生产准备费 1000 元 每件库存费 0 05 元 假设库存是均匀的 问应分几批生产能使总费用最小 五 偏导数在经济学中的应用五 偏导数在经济学中的应用 一元函数微分学中边际和弹性分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率 这些 概念可以推广到多元函数微分学中 并赋予了更丰富的经济含义 这里简单介绍多元函数 边际问题和偏弹性概念 1 边际问题 一元函数的导数在经济学中称为边际函数 同样地 二元函数的偏导数 zf x y 分别称为函数对 x 与 y 的边际函数 边际函数在该点的值称为 xy fx yfx y与 f x y 边际函数值 边际函数的概念可以推广到多元函数上 1 边际产量 在西方经济学中 柯布 道格拉斯生产函数为L K 分 QAK LA 为正常数 别表示投入的劳动力数量和资本数量 Q 表示产量 Q 是 L K 的二元函数 即 Qf K L 当劳动力投入保持不变 而资本投入发生很小改变所引起的产出量的变化 这正是我 们所说的产出量对资本要素的边际 即产量的变化率为 表示关于资本的边际产量函数 1 dQQ A KL dKK dQ dK 当资本投入保持不变 而劳动力投入发生变化时 产量的变化率为 表示关于劳动的边际产量函数 1 dQQ A K L dLL dQ dL 例例 9 某企业的生产函数为 其中 Q 是产量 单位 件 K 是资本投入 21 32 200QK L 单位 千元 L 是劳动力投入 单位 千工时 求当 L 8 K 9 时的边际产量 并解 释其意义 解 资本的边际产量 2 3 1 2 dQ1 100 2 LQ dKK K 劳动力的边际产量 1 2 1 3 dQ4002 33 KQ dLL L 当 L 8 K 9 时 产量 21 32 8 9 200 982400 L K Q 所以 当 L 8 K 9 时 边际产量为 88 99 400 200 3 LL KK dQdQ dKdL 这说明 在劳动力投入 8 千工时和资本投入 9 千元时 产量是 2400 件 若劳动力投入保持 不变 再增加一个单位资本投入增加的产量为件 当资本投入保持不变时 再增加一 400 3 个单位劳动力投入增加的产量为 200 件 2 边际成本与边际利润 某工厂生产甲 乙两种产品 当两种产品的产量分别为 单位 kg 时 总成本 12 Q Q 单位 元 总收益 总利润均为甲 乙两种产品产量的二元函数 即总成本函数 12 Q Q 为 总收益函数为 总利润函数为 12 C Q Q 12 R Q Q 12 L Q Q 这些函数分别对与的偏导数就是甲 乙两种不同产品的边际成本 边际收益和 1 Q 2 Q 边际利润 例例 10 某工厂生产甲 乙两种不同的产品 其产量分别为 总成本为 12 Q Q 22 121122 32510C Q QQQQQ 1 求两种不同产品的边际成本 2 求当时 两种产品的生产边际成本 12 8 8QQ 3 当出售两种产品的单价分别为 80 元和 100 元时 求每种产品的边际利润 解 1 甲产品的边际成本为 1 Q 12 1 62 dC QQ dQ 乙产品的边际成本为 2 Q 12 2 210 dC QQ dQ 2 11 22 8128 88 1 62 64 QQ QQ dC QQ dQ 3 利润函数 12 L Q Q 12 R Q Q 12 C Q Q 22 121122 22 121122 80100 32510 8010032510 QQQQQQ QQQQQQ 对的边际利润分别为 12 Q Q 12 1 8062 L QQ Q 12 2 100210 L QQ Q 2 偏弹性 一元函数在处的弹性为它表示在处的相对变化率 yf x x Ef xfx x Exf x f xx 可以类似地将它推广到多元函数上 从而就有偏弹性的概念 即偏弹性是多元函数关于某 个自变量的相对变化率 设函数在点处的偏导数存在 若 则称 zf x y x y 0f x y 和分别为函数在 x fx yEzxf x Exf x yf x yx y fx y Ezyf y Eyf x yf x yy zf x y 点处对和的偏弹性 即表示保持不变 的相对变化率 表示保持 x yxy Ez Ex yx Ez Ey x 不变 的相对变化率 y 下面以需求函数为例 介绍偏弹性的经济学意义 设甲和乙是两个有关联的商品 为各自的单位价格 和为各自的需求量 则 12 PP和Q1 2 Q 甲和乙的需求函数分别为 1112 QQ P P 2212 QQ P P 商品甲和乙的需求量和 对自身价格和的价格偏弹性分别为 Q1 2 Q 1 P 2 P 111 11 111 EQPQ E EPQP 222 22 222 EQPQ E EPQP 称为甲商品需求量自身价格的直接价格偏弹性 称为乙商品需求量自身 11 EQ1 1 P 22 EQ2 价格的直接价格偏弹性 2 P 商品甲和乙的需求量和对相互交叉价格的价格偏弹性分别为 Q1 2 Q 21 PP和 121 12 212 EQPQ E EPQP 212 21 121 EQPQ E EPQP 称为甲商品需求量对相关价格的交叉价格偏弹性 称为乙商品需求量 12 EQ1 2 P 21 E 对相关价格的交叉价格偏弹性 Q2 1 P 如果商品甲的需求对商品乙的交叉价格偏弹性或则表示当甲商品 1 2 0 EQ EP 2 1 0 EQ EP 的价格不变 而乙商品的价格上升时 甲商品的需求量将相应地减少 这时称甲商 1 P 2 P 品和乙商品是相互补充的关系 如果或则表示当甲商品的价格不变 而乙商品的价格上升时 甲 1 2 0 EQ EP 2 1 0 EQ EP 商品的需求量将相应地增加 这时称甲商品和乙商品之间是相互竞争 相互替代 的关系 如果交叉价格偏弹性等于零 则两种商品为相互独立的商品 例如 计算机和软盘这两种商品是相互补充的关系 用交叉价格偏弹性来表述就有 或 1 2 0 EQ EP 2 1 0 EQ EP 摩托车和电动自行车这两种商品的关系就是相互竞争的关系 用交叉价格偏弹性来表 述就有 或 1 2 0 EQ EP 2 1 0 EQ EP 例 11 某款小汽车的销售量除与它自身的价格 单位 万元 有关外 还与其配Q 1 P 置系统价格 单位 万元 有关 具体关系为 2 P 2 22 1 250 100100QPP P 当时 求 1 销售量对自身价格的直接价格偏弹性 2 销售量 12 25 2PP Q 1 P 对相关价格的交叉价格偏弹性 Q 2 P 解 1 销售量对价格的直接价格偏弹性 Q 1 P 11 2 2 111 22 1 2 11212 250 250 100100 250 100250 100 PPEQQ EPQPP PP P PPPPP 当时 销售量对自身价格的直接价格偏弹性为 12 25 2PP Q 1 P 1 2 25 2 2 1 250 0 1 100 25250 100 25 225 2 P P EQ EP 2 销售量对相关价格的交叉价格偏弹性为 Q 2 P 22 2 2 22 22 1 1002 250 100100 PPEQQ P EPQP PP P 212 2 11212 1002 100250 100 P PP PPPPP 当时 销售量对相关价格的交叉价格偏弹性为 12 25 2PP Q 2 P 1 2 25 2 2 2 1002 2 2 25 2 2 100 25250 100 25 225 2 P P EQ EP 3 4 x yxe 2 xx ee y 六六 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用 微分方程在经济学中有着广泛的应用 下面给出几个常见例子 例 1 求逻辑斯谛 logistic 方程 dy ay Ny dt 的通解 其中是常数 是常数且 0a N0Ny 解 由于 dy ay Ny dt 分离变量 得 dy adt y Ny 两边积分 11 dyN adt yNy 得 lnlnlnyyNNatC 所以逻辑斯谛方程通解为 1 1 1 Nat Nat Nat CNeN y Ce e C 0C 该解的图形 图 9 1 称为逻辑斯谛 logistic 曲线 逻辑斯谛方程在经济学 生物学等学科中有着广泛 的应用 当变量的变化率与其 时的值及 yf t ty 0 y 图 9 1 逻辑斯谛曲线 o y t N 是饱和值 都成正比时 则是按逻辑斯谛曲线变化的 Ny Ny 例 2 人口增长模型 某地区 在任何 时刻人口的增长率是常数 或者说单位时间内人口增长的数量与当t 时人口数成正比 且比例系数为常数 若当时的人口数为 则有初值问题 P t0t 0 P 或 0 0 1 t dP r P dt PP 0 0 0 t dP Pr r dt PP 是常数 这是可分离变量的微分方程 易求得初值问题的解为 0 rt PPe 这就是人口增长的指数模型 显然 若人口随时间按指数增长 这种增长是人类无法承受的 该模型忽略了资源与 环境对人口增长的限制 若考虑资源与环境的因素 可将模型中的常数视为人口数的rP 函数 且应是的减函数 特别当达到某一最大允许值时 应有增长率为零 当人PP M P 口数超过时 应发生负增长 由此 可令 M P 是常数 1 M MM Pk r PkPP PP 0k 那么 微分方程的初值问题即为 0 0 0 M M t dPk PP Pk dtP PP 是常数 若将上式中看作逻辑斯谛方程中的比例系数 是饱和值 该微分方程也是逻辑斯 M k P a M P 谛方程 其通解为 1 1 M kt P P e C 将 代入上式 得 则人口增长模型为0t 0 PP 0 0M P C PP 0 11 M kt M P P P e P 显然 0 limlim 11 M M tt kt M P PP P e P 若适当选择模型中的参数 可利用该模型预测未来人口数 实际上 除人口外 上k 述模型还可用来讨论一般生物群的变化率 例 3 技术推广模型 一项新技术要在总数为个的企业群体中推广 为时刻 已掌握该项技术的N PP t t 企业数 新技术推广采用已掌握该项技术的企业向尚未掌握该项技术的企业扩展 若推广 的速度与已掌握该项技术的企业数及尚未掌握该项技术的企业数成正比 求PNP 所满足的微分方程 并求方程的解 PP t 解 新技术的推广速度为 依题意设 dP dt dP kP NP dt 其中是比例系数 0k 显然 这是逻辑斯谛方程 方程中的是饱和值 该方程的通解为N 是常数 1 1 Nkt N P t e C 0C 这就是技术推广模型 例 4 商品销售模型 设某产品的销售量是时间 的函数 如果该商品的销售量对时间的增长率与 x tt dx dt 销售量及接近于饱和水平的程度之积成正比 为比例常数 为饱和水平 Nx t 0k N 且求 1 0 4 xN 1 销售量的表达式 x t 2 求增长最快的时刻 x tT 解 1 由题意 dx kx Nx dt 显然 这是逻辑斯谛方程 其通解即销售量的表达式为 x t 1 1 Nkt N x t e C 由 得 故 1 0 4 xN 1 3 C 1 3 Nkt N x t e 2 由上式可得 2 2 3 1 3 Nkt Nkt dxN ke dt e 32 2 32 31 3 1 3 NktNkt Nkt N k ee d x dt e 令 得 显然 2 2 0 d x dt ln3 T kN 当时 当时 tT 2 2 0 d x dt tT 2 2 0 d x dt 所以 当时 的导数取得最大值 增长速度最快 ln3 tT kN x t x t 例 5 价格调整模型 设某商品的需求函数与供给函数分别为 为正常数 d QabP s QcdP a b c d 再假设商品价格为时间 的函数 已知初始价格为 且在任意时刻 价格Pt 0 0PP t 的变化率总与这一刻的超额需求成正比 比例常数为 P t ds QQ 0k 1 求供需相等时的价格 即为均衡价格 e P 2 求价格的表达式 P t 3 分析价格随时间的变化情况 P t 解 1 由 得 ds QQ e ac P bd 2 由导数的意义知 ds dP k QQ dt 即 dP k bd Pk ac dt 这是一阶线性非齐次微分方程 其通解为 k b d t ac P tCe bd 由 得 0 0PP 00e ac CPPP bd 故价格的表达式为 P t 0 k b d t ee P tPP eP 3 由于与均为常数 所以在时间时 0e PP 0k bd t 0 0 k b d t e PP e 因此 e P tP t 可见 当时间推移至一定时候 价格的均衡偏差趋于零 价格趋向 0 k b d t e PP e 于均衡价格 e P 习题习题 1 在理想情形下 人口数以常数比率增长 若某地区人口在 1990 年为 3000 万 在 2000 年为 3800 万 试确定在 2020 年的人口数 2 某商品的净利润随广告费用的变化而变化 假设它们之间的关系式可用如下方Lx 程表示 dL ka Lx dx 其中均为常数 当时 求与的函数关系式 a k0 x 0 LL Lx 3 某商品的需求量对价格的弹性为 如果该商品的最大需求量为 10000 件QP 2 3P 即时 试求 0P 10000Q 1 需求量与价格的函数关系 QP 2 当价格为 1 时 市场对该商品的需求量 4 某公司年净资产有 万元 并且资产本身每年以 5 的连续复利速度持续增 W t 长 同时该公司每年以 30 万元的数额支付职工工资 1 给出描述净资产满足的微分方程 W t 2 求解微分方程 并设初始净资产为 0 0 WW 3 讨论 500 万元 600 万元 700 万元三种情况下的变化特点 0 W W t 5 某商场的销售成本和存储费用均是时间 的函数 如果销售成本对时间的变化yxt 率是存储费用的倒数与常数 5 之和 而存储费用对时间的变化率是存储费用的倍 dy dt x 1 3 且有 求销售成本及存储费用关于时间 的函数关系式 0 0y 0 10 x yxt 6 宏观经济研究发现 某地区的国民收入 国民储蓄和投资均为时间 的函数 ySIt 且在任一时刻 储蓄额为国民收入的倍 投资额是国民收入增长率t S t y t 1 10 I t 的倍 如果 亿元 且在 时刻的储蓄额全部用于投资 求国民收入函数 dy dt 1 3 0 5y t y t 10 已知某商品的需求价格弹性 且该商品的最大需求量为 100 试求需 25 d P E P 求函数 QP 11 某银行账户以当年余额的 5 的年利润连续每年盈取利息 假设最初存入的数额 为 10000 元 并且这之后没有其他数额存入和取出 给出账户中余额所满足的微分方程 以及存款到第 10 年的余额 12 制造和销售成本与件数的关系如下CQ dC aCbkQ dQ 其中均为常数 当时 求 a b k0Q 0C CC t 13 某池塘养鱼 最多能养 1000 条 鱼数是时间 的函数 且变化速度与鱼数及yty 之积成正比 现已知在该池塘内养鱼 100 条 3 个月后有 250 条 求放养鱼数与1000y 时间的函数关系 并求放养 6 个月后有多少条鱼 y t 14 如果国民生产总值与时间 有关 且国民生产总值每年的递增率为 10 以今yt 年为基数 此时国民生产总值为 问几年后能使国民生产总值翻两番 0t 0 y 15 设为 时刻的储蓄 为 时刻的投资 为 时刻的国民 SS t t II t t YY t t 收入 多马 Domar E D 提出下面宏观经济增长模型 0 0 S taY t dY t I t dt S tY t YY 其中 称为储蓄率 称为率加速数 为初期的国民收入 求0 0 0 0Y S tY tI t 16 已知某商品需求量与供给量都是价格的函数 DSP 2 a DD PSS PbP P 其中为常数 价格是时间 的函数 且满足0 0ab Pt 为正常数 dP k D PS P dt k 假设当时 价格为 1 试求 0t 1 需求量 供给量时的均衡价格 e P 2 价格函数 3 P t lim t P t 七 差分方程七 差分方程 在经济与管理及其它实际问题中 许多数据都是以等间隔时间周期统计的 例如 银 行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息 国民收入按年统计等等 通常称这类变量 为离散型变量 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型 差分方程是研究 它们之间变化规律的有效方法 本章介绍差分方程的基本概念 解的基本定理及其解法 差分方程在经济中的简单应 用 与微分方程类似 1 差分方程的基本概念差分方程的基本概念 一 一 差分差分 设函数 当自变量 取离散的等间隔整数值 则相应的函数 yf t t012t 值列为 1 0 1 1 ffff tf t 简记为 1011 tt yyyy y 即 tfyt 012t 定义 1 设函数 当自变量从 变到时 相应的函数值的改变量 tfyt t1 t 1 1 ttt yyyf tf t 称为函数在 处的一阶差分 记作 tfyt t t y 按一阶差分的定义 可以定义函数的高阶差分 定义 2 函数在 处的一阶差分的差分