一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念一元二次方程基本概念 1 基本概念 基本概念 方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是未知数的最高次数是 2 二次 的方程 等式 等式 叫做一元二次方程一元二次方程 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二次项 a 是二次 项系数 bx 是一次项 b 是一次项系数 c 是常数项 2 解方程常用方法 解方程常用方法 1 直接开平方法直接开平方法 由应用直接开平方法解形如 x2 p p 0 那么 x 转化为应用直接开平方法解p 形如 mx n 2 p p 0 那么 mx n 达到降次转化之目的 p 2 配方法 配方法 左边不含有 x 的完全平方形式 左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有 x 的完 全平方形式 右边是非负数 可以直接降次解方程得方程 转化过程如下 x2 64x 768 0 移项 x2 64x 768 两边加 2使左边配成 x2 2bx b2的形式 x2 64x 322 768 1024 64 2 左边写成平方形式 x 32 2 256 降次 x 32 16 即 x 32 16 或 x 32 16 解一次方程 x1 48 x2 16 可以验证 x1 48 x2 16 都是方程的 根 例例 1 解下列方程 1 x2 6x 5 0 2 2x2 6x 2 0 3 1 x 2 2 1 x 4 0 分析 我们已经介绍了配方法 因此 我们解这些方程就可以用配方法来完成 即配 一个含有 x 的完全平方 解 1 移项 得 x2 6x 5 配方 x2 6x 32 5 32 x 3 2 4 由此可得 x 3 2 即 x1 1 x2 5 2 移项 得 2x2 6x 2 二次项系数化为 1 得 x2 3x 1 配方 x2 3x 2 1 2 x 2 3 2 3 2 3 2 5 4 由此可得 x 即 x1 x2 3 2 5 2 5 2 3 2 5 2 3 2 3 去括号 整理得 x2 4x 1 0 移项 得 x2 4x 1 配方 得 x 2 2 5 x 2 即 x1 2 x2 2555 总结用配方法解一元二次方程的步骤 总结用配方法解一元二次方程的步骤 1 移项 2 化二次项系数为 1 3 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 4 原方程变形为 x m 2 n 的形式 5 如果右边是非负数 就可以直接开平方求出方程的解 如果右边是负数 则一元 二次方程无解 3 公式法 公式法 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 且 b2 4ac 0 它的两个根 x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 解 移项 得 ax2 bx c 二次项系数化为 1 得 x2 x b a c a 配方 得 x2 x 2 2 b a2 b a c a2 b a 即 x 2 2 b a 2 2 4 4 bac a b2 4ac 0 且且 4a2 0 0 2 2 4 4 bac a 直接开平方 得 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b 4ac 0 时 将 a b c 代入式子 x 就得到方程的根