高等几何第五次作业答案

1 1 高几第五次作业 1 求 1 二阶曲线的切线方程 222 12313 230 1 xxxx x 5 过点P 2 2 2 二级曲线在直线 L 1 4 1 上的切点方 222 123 170uuu 程 解 1 将 P 点代入二阶曲线方程中得 SPP 0 所以 P 点在二阶曲线上 故切线方程为 SP 0 即 0 1 2 5 2 30 2 1 020 2 1 01 3 2 1 x x x 即为所求切线方程 0210 2 3 321 xxx 2 设点 P x1 x2 x3 为二级曲线在 017 2 3 2 2 2 1 uuu L 1 4 1 上的切点 则 x1 x2 x3 0 1700 010 001 1 4 1 即 x1 4x2 17x3 0 故所求切线方程为 x1 4x2 17x3 0 2 求二次曲线 x2 3xy 4y2 2x 10y 0的中心与渐近线 解 二次曲线的齐次方程为 x12 3x1x2 4x22 2x1x3 10 x2x3 0 二次曲线为常态的 3 11 2 3 45360 2 150 ij Da 设中心 3132 3333 AA AA 且 2 2 312333 3 3111 171325 2 2 3 32245 454 2 2 AAA 而 则中心为 1426 2525 求渐近线方程 a11X2 2a12XY a22Y2 0 X x Y y 从 X2 3XY 4Y2 0 X 4Y X Y 0 X 4Y x 4 y 0 5x 20y 18 0 14 25 26 25 X Y x y 0 5x 5y 8 0 14 25 26 25 3 已知二阶曲线 C 22 112133 2460 xx xx xx 1 求点关于曲线的极线 1 2 1 P 2 求直线关于曲线的极点 123 360 xxx 解 1 3 2 1 103 002 322 1 2 1 x x x sp 即 9x1 2x2 4x3 0 为所求极线 2 设为所求 则 0 3 0 2 0 10 xxxp 6 1 3 103 002 322 0 3 0 2 0 1 x x x 得 23322 0 3 0 2 0 1 xxx 得 2 1 0 1 x 2 15 0 2 x 3 11 0 3 x 即 为所求 3 11 2 15 2 1 4 ABC 的二顶点 A 与 B 分别在定直线 和 上移动 三边 AB BC CA 分别 3 3 过共线的定点 P Q R 求证顶点 C 也在 一定直线上移动 证明 设 0 定点 A0B0C0是满足条件的定三角形 ABC 是满足条件的任意三角形 A0B0 BC Q A0C0 AC R 由代沙格定理逆定理得 三线 A0A B0B C0C 共点 O 即 C 在定直线 C0O 上移动 图 14 5 证明双曲线 的两条以 为斜率的直径成为共轭的条 22 22 1 xy ab 件是 2 2 b a 证明 渐近方向为 b2x2 a2y2 0 渐近斜率为 k k b a b a 是一对共轭直径的斜率 故 kk 1 即 化简后得 2 2kk 0 1 kk kk kk 因为 kk 所以 2 2 b a 2 2 b a 6 求射影变换的不变元素 33 22 211 xx xx xxx 解 由方程得所以0 100 10 011 0111 1 所以 0000 0000 000 321 321 321 xxx xxx xxx 15图 4 4 于是得 X2 0 为不变点列 所以 X2 0 这条直线上的点都是不变点 因此这直线是不变直线 7 求射影变换 33