运用微元思维方法解物理竞赛试题

运用微元思维方法解物理竞赛试题运用微元思维方法解物理竞赛试题 吕贤年吕贤年 袁孝金袁孝金 所谓微元思维方法 是指从整体中取某个特定的微小部分作为研究对象 从而 达到解决事物整体问题的一种思维方式 这种思维方法是基于宏观事物的普遍性 即共性 不仅存在于事物发展的全过程中 而且也包含在每微元的特殊性 即个 性 之中这一基本属性的基础上 而产生的一种创造性思维方式 因此 我们在研 究物理问题时 对于某一具体的研究对象 当从整体或宏观上无法求解时 运用微 元思维方法 往往会收到化难为易 化繁为简的意想不到的效果 本文试通过近年 来的有关全国中学生物理竞赛试题为例 导析微元思维方法解题的一般思路 供同 学们参考 一 长度微元一 长度微元 l l 对长度进行微小分割 称为线分割 分割出来的长度单元 称之为长度微元 用 l 表示 例例 1 一根无限长的均匀带电细线 弯成图 1 所示的平面图形 其中 AB 是半径 为 R 的半圆弧 AA BB 试求圆心 O 处的电场强度 1988 年全国中学生物理竞赛 试题 解析解析 因为电荷均匀布在整条曲线上 所以不能把它当作点电荷处理 因此 无 法直接应用初等方法求出它在 O 点所形成的电场强度 如果 将曲线分成无数小线元 可看作点电荷 则弯曲的带电细线 在 O 处所产生的电场 就是各小段线元在 O 处的电场强度 就能按矢量合成法求得曲线整体在 O 处的电场强度 在半圆弧 AB 上取任一小段线元 ab l 则线元 ab 对 应的圆心角为 对应于直导线线元为 a b 当 0 时 a 逼近于 b a 逼近于 b 此时 我们可以认为 ab 所带电荷 Q集中于一点 如 b 点 a b 所带的电荷集中于对应的另一点 如 b 点 这样 对于 张角所包含 的区域在 O 点所形成的场强 我们认为是由两个点电荷形成的 设细线上单位长度所带的正电荷为 则 ab 线元所带的电荷为 q R q 在 O 点所形成的场强为 E k 其中 E 的方向指向 O b R a b 线元所带电荷为 q a b 距离圆心 O 的距离用 r 表示 越小 以上 考虑越准确 作 a a 垂直于 Ob 则 a a b b OB 因而 a b a a cos a a r R 又因为 a a r 故得 a b r2 R 因此 点电荷在 O 点产生的电场强度的大小为 E k k E 2 r ba R 方向与 E 方向相反 因此 ab 与 a b 在 O 点产生的场强之和为零 根据同样的分析可知 AB 上各 A B A b a a b a O l B 图 1 小段电荷与细线直线部分各小段电荷 对应地在 O 点产和的场强相消 故整个细 线电荷在 O 点的电场强度为零 二 面积微元二 面积微元 S 对面积进行微小分割 称为面积分割 分割出来的面积单元称为面积微元 用 S表示 一个面积元通常需用两个参量表示 例例 2 在水平放置的洁净的平玻璃板上倒一些水银 由于重力和表面张力的影响 水银近似呈圆饼形状 侧面向外凸起 过圆饼轴线的竖直截面如图 2 所示 为了计 算方便 水银和玻璃的接触角可按 180 计算 已知水银的密度 13 6 103 kg m3 水银的表面张力系数 0 49N m 当圆弧饼的半径很 大时 试估算其厚度 h 的数值大约是多少 取 1 位有效数字即 可 1988 年全国中学生物理竞赛试题 解析解析 洁净的玻璃平板上的水银呈现圆饼形状 此时 由 于水银所受重力的作用而产生对水银圆饼侧壁的压力 方向向 外 与指向圆饼内水银的表面张力相平衡 若以整个圆饼为研究对象 很难列出对 应的方程求解 在侧面任一处取宽为 x 高为 h 的面积元 S 则由于重力而产生的水银对 S 的侧压力为 F S h x x p 2 gh 2 gh 2 式中 为水银对侧壁的平均压强 由于压力 F 使圆饼p 2 gh 侧面向外凸出 因而使侧面的面积增大 如图 3 所示 但是 在水银与空气接触的表面层中 由于表面张力作用 又使水 银面有收缩到最小的趋势 上下两层的表面张力的合力的水平分力 F 指向水银内部 与 F 的方向相反 设上表面处的表面张力 F1的方向与水平方向成 角 则的大小为 F F1cos F2 x cos x x 1 cos 当水银面的形状稳定时 F F 由于圆饼半径很大 面积元 S 两侧的表面张 力 F3 F4可认为大小相等 方向相反而抵消 因而由 得 x 1 cos gh2 x 2 由 可得 h g cos1 2 因为的取值范围是 0 所以有 1 2 cos12 将 和 的数值代入 式可得 h 0 027 8 910 6 13 cos1 49 0 2 3 cos1 图 2 h F 图 3 F F3 h x F2 F1 F4 即上的取值范围是 2 7 10 3 h 3 78 10 3m 所以水银层的厚度的估算数值可取 为 3 10 3或 4 10 3m 三 体积微元三 体积微元 V 对体积进行微小分割称为体积分割 分割出来的体积单元 称为体积微元 用 V表示 实际问题中 所分割的体积元可以有多种形式 其中最常见的是正交体积 分割 分割出来的体积元在三维正交坐标中 可表示为 V x y 例例 3 空间某一体积为 V 的区域内平均电场强度 定义为 E E 321 3 3 2 2 1 1 VVV VEVEVE i i i i i V VE 上式中的 Vi为体积为 B 内第 i 个体积元 为第 i 个体积元内的场强 只要体iE 积元足够小 可以认为其中各个点场强的大小和方向都相同 为累加号 例如 i i V1 V2 V i i V 今有一半径为 a 原来不带电的金属球 现使它处在电量为 q 的点电荷的电场中 点电荷位于金属球外与球心的距离为 R 试计算金属球表面感应电荷所产生的电场 在球内的平均电场强度 1987 年全国中学生物理竞赛试题 解析解析 根据静电平衡的条件 导体内部的电场强度处处为零 根据场强叠加原理 可以通过求点电荷 q 的场强的办法得出感应电荷的场强 设表示金属球表面上所有感应电荷单独产生的电场强度 表示点电荷 q 单sEqE 独产生的电场强度 根据导体静电平衡条件 在金属球内会一点之处有 i sE siE 所以 sE i i i i si V VE 3 i i qi a 3 4 VE qE 设想在金属球内密度为的体电荷均匀分布 则总电量 Q a3 3 4 因为均匀带电球体对球外电荷作用力 与球体的电荷全部集中在球心的点电荷 对球外电荷的作用力相同 因此 Q 对点电荷的作用力可用库仑定律求得 k F 2 R Qq R R 上式中表示方向的单位矢量 R R 把带电球体分割成无数个体积为 Vi的体积元 如图 4 所示 每个体积元所带 电量为 V 点电荷对这一带电体积元的作用力为 Vi iFqiE 点电荷 q 对整个带电体作用力为各体积元所受作用力的和 即 F i F F 1 F 2 F 3 F i i F i qi iE V 根据牛顿第三定律有 F F 因此 k k a3 i qi iE V 2 R Qq R R 2 R q R R 3 4 即 k qE 3 i i qi a 3 4 VE 2 R q R R 由此可得 k sE 2 R q R R 四 时间微元四 时间微元 t 对运动时间进行微小分割 称为时间分割 分割出来的时间单元 称之为时间 微元 用 t表示 例例 4 如图 5 所示 电源的电动势为 E 电容器的 电容为 C S 是单刀双掷开关 MN PQ 是两根位于同 一水平面的平行光滑长导轨 它们的电阻可以忽略不计 两导轨间距为 L 导轨处在磁感应强度为 B 的均匀磁 场中 磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸 面向里 L1和 L2是两根横放在导轨上的导体小棒 质 量分别为 m1和 m2 且 m1 m2 它们在导轨上滑动时 与导轨保持垂直并接触良好 不计摩擦 两小棒的电阻 相同 开始时两根小棒均静止在导轨上 现将开关 S 先合向 1 然后合向 2 求 1 两根小棒最终速度的 大小 2 在整个过程中的焦耳热损耗 当回路中有 图 4 r1 R V1 O 图 5 1 2 S N M L1 L2 P Q U C C r r L1 L2 i i1 i 2 电流时 该电流所产生磁场可忽略不计 1997 年全国中学生物理竞赛试题 解析解析 当开关 S 先合上 1 时 电源给电容器充电 当开关 S 再合上 2 时 电容器 通过导体小棒放电 在放电过程中 导体小棒受到安培力作用 在安培力作用下 两小棒开始运动 运动速度最后均达到最大 1 设两小棒最终的速度的大小为 v 则分别以 L1 L2为研究对象得 Fi ti m iv1 m iv1 m1v 1 i1 i tF 同理得 m2v 2i2i tF 由 得 m1v m2v 1 i1 i tF 2i2i tF 又因为 Fi1 B l i1 t i 1 t i 2 Fi2 B l i2 i1 i2 i 所以 t i 1 t i 2 BL BL 1 i1 i tF 2i2i tF i21 t ii i ti BL Q q m 1 m 2 v 而Q CE q CU CBLv 所以解得小棒的最终速度 v 22 21 LCB mm BLCE 2 因为总能量守恒 所以CE2 m1 m2 v2 Q热 2 1 2 1 C q2 2 1 即产生的热量 Q热 CE2 m1 F2 v2 CU2 CBLv 2 m1 F2 v2 2 1 2 1 C q2 2 1 2 1 2 1 C 1 2 1 CU2 CB2L2 m1 m2 2 2 1 2 1 22 21 LCB mm BLCE CLBmm 2 CE mm 22 21 2 21 五 质量微元五 质量微元 m 对物体的质量进行微小分割 称为质量分割 被分割出来的质 量单元 称之为质量微元 用 m表示 例例 5 半径为 R 的光滑固定在水平桌面上 有一质量为 M 的圆 环状弹性绳圈 原长为 R 且弹性绳圈的劲度系数为 k 将弹性 绳圈从球的正上方轻放到球上 使弹性绳圈水平停留在平衡位置上 如图 6 所示 若平衡时弹性绳圈长为 R 求弹性绳圈的劲度2 系数 k 1987 年全国中学生物理竞赛试题 解析解析 由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计 弹性绳圈不能看成质点 所以应 O R 图 6 将弹性绳圈分割成许多小段 其中每一小段 m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的 弹力 F 在弹性绳圈上任取一小段质量为 m作为研究对象 进行受力分析 但是 m受的力不在同一平面内 可以从一个合适的角度观察 选取一个合适的平面进行 受力分析 这样可以看清楚各个力之间的关系 从下面和上面观察 分别画出正视 图和俯视图 先看俯视图 7 设在弹性绳圈的平面上 m所对应的角度是 则 每一小段的质量 m M 2 m在该平面上受拉力 F 的作用 合力为 T 2Fcos 2Fsin 2 2 2 因为当 很小时 sin 所以 T 2F F 2 再看正视图 8 m受重力 mg 支持力 N 二力的合力与 T 平衡 T mg tan 现在弹性绳圈的半径为 r R 2 R2 2 2 所以 sin 45 tan 1 R r 2 2 因此 T mg Mg 2 联立 解得弹性绳圈的张力为 F 2 Mg 设弹性绳圈的伸长量为 x 则 x R R R 1 R22 所以绳圈的劲度系数为 k x F R 12 2 Mg 2 R2 Mg 12 2 综上所述 应用微元思维方法解题主要步骤如下 1 将所研究的对象进行无限分割 或假设研究对象发生了微小的变化 例如 可以是发生了一小段