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定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结 定积分 1 定积分解决的典型问题 1 曲边梯形的面积 2 变速直线运动的路程 2 函数可积的充分条件 定理设 f x 在区间 a b 上连续 则 f x 在区间 a b 上可积 即连续 可积 定理设 f x 在区间 a b 上有界 且只有有限个间断点 则 f x 在区间 a b 上可积 3 定积分的若干重要性质 性质如果在区间 a b 上 f x 0 则 abf x dx 0 推论如果在区间 a b 上 f x g x 则 abf x dx abg x dx 推论 abf x dx ab f x dx 性质设 M 及 m 分别是函数 f x 在区间 a b 上的最大值和最 小值 则 m b a abf x dx M b a 该性质说明由被积 函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范 围 性质 定积分中值定理 如果函数 f x 在区间 a b 上连续 则在积分区间 a b 上至少存在一个点 使下式成立 abf x dx f b a 4 广义积分 设函数f x 在区间 a b 上除点 c acb 外连续 而在点 c 的邻 域内无界 如果两个广义积分 acf x dx 与 cbf x dx 都收敛 则定义 abf x dx acf x dx cbf x dx 否则 只要其中一个 发散 就称广义积分 abf x dx 发散 定积分的应用 1 求平面图形的面积 曲线围成的面积 直角坐标系下 含参数与不含参数 极坐标系下 r x rcos y rsin 扇形面积公式 S R2 2 旋转体体积 由连续曲线 直线及坐标轴所围成的面积绕 坐标轴旋转而成 且体积 V ab f x 2dx 其中 f x 指曲线 的方程 平行截面面积为已知的立体体积 V abA x dx 其中 A x 为截面面积 功 水压力
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