高三理科数学寒假作业(2)+答案

高三理科数学寒假作业 高三理科数学寒假作业 2 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 若集合 则 2 x My yxR 1 1 Py yxx MP A B C D 1y y 1y y 0y y 0y y 2 已知命题 则 非是真命题 是 或是假命题 的 pqppq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 在 5 件产品中有 4 件正品 1 件次品 从中任取 2 件 记其中含正品的个数为随机变量 则的数学期望的值为 E A B C D 6 5 7 5 8 5 9 5 4 已知实数 满足 则的最大值为 xy40 230 yx xy xy 4zxy A B C D 369 9 5 设 记 若 则 1 1 x f x x 1 f xf x 1 nn fxf fx 2011 fx A B C D x 1 x 1 1 x x 1 1 x x 6 设 为双曲线 的左 右焦点 过 且与 1 F 2 F 22 22 1 xy C ab 0a 0b 1 F 2 F 轴垂直的直线分别交双曲线于 若四边形为菱形 则双曲xCMNPQMNPQ 线的离心率为 C A B C D 15 2 13 2 15 13 7 如图 空间一点到三条两两垂直的射线 的POAOBOC 射影分别为 且 A B C 3PA PB 2 5PC 则与平面所成角的余弦值为 OPAOB A B C D 2 2 6 3 30 6 6 6 8 如图 在四边形 ABCD 中 2 21 3 63 ABADACCABBAD 且 设 ACABAD 则 A 4B 4 C D 62 P O C A B A C B 9 若有 2310210 01210 21 21 21 1 1 1 xxxaa xaxax 则的值为 2 a A B C D 2550100200 10 若设函数 f x的定义域为 D 若存在非零实数l使得对于任意 xM MD 有 xlD 且 f xlf x 则称 f x为 M 上的l高调函数 如果定义域为 R 的函数 f x是奇函数 当0 x 时 22 f xxaa 且 f x为 R 上的 4 高调函数 那么 实数a的取值范围是 A 22 aB 10 a C 22 a D 11 a 二 填空题 每小题 4 分 共 28 分 11 已知 为虚数单位 复数满足 则 iz 1 2 34 i z i z 12 函数的最小正周期为 2 sincos f xxx 13 已知数列naaaa nnn 11 1 中 利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项 则判断框中应填的语句是 14 一个空间几何体的三视图如右图所示 其中主视图和侧视图都是半径为1的圆 且这 个几何体是球体的一部分 则这个几何体的表面积为 15 由直线上的一点向圆引切线 则切线长的最小值为 1yx 22 3 1xy 16 形如 45132 这样的数叫做 五位波浪数 即十位数字 千位数字均比它们各自相邻的 数字大 则由数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 可构成无重复数字的 五位波浪数 的个 数为 17 洛萨 科拉茨 Lothar Collatz 1910 7 6 1990 9 26 是德国数学家 他在 1937 年提出 了一个著名的猜想 任给一个正整数 如果是偶数 就将它减半 即 如果是奇nn 2 n n 数 则将它乘 3 加 1 即 不断重复这样的运算 经过有限步后 一定可以得到31n 1 如初始正整数为 6 按照上述变换规则 我们得到一个数列 6 3 10 5 16 8 4 2 1 对科拉茨 Lothar Collatz 猜想 目前谁也不能证明 更 不能否定 现在请你研究 如果对正整数 首项 按照上述规则施行变换 注 1 可以n 多次出现 后的第八项为 1 则的所有可能的取值为 n 三 解答题 18 19 20 每题 14 分 21 22 每题 15 分 共 72 分 18 在中 分别为角的对边 且ABC a b c A B C 2222 sin sinabABabC 若 求的值 3a 4b CACB 若 面积为 求的值 60C ABC 3AB BCBC CACA AB 19 已知数列满足 n a 1 3a 1 32 n n n a a a nN 证明数列为等比数列 并求数列的通项公式 1 2 n n a a n a 设 数列的前项和为 求证 1 2 nnn ba a n bn n S2 n S 20 如图 正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD 线段CD为圆O的弦 AE垂直于圆O所在平面 垂足E是圆O上异于C D的点 3AE 圆O的直径为 9 求证 平面ABCD 平面ADE 求二面角DBCE 的平面角的正切值 21 设椭圆 C1 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别是 F1 F2 下顶点为 A 线段 OA 的中点为 B O 为坐标原点 如图 若抛物线 C2 2 1yx 与 y 轴的交点为 B 且经 过 F1 F2点 求椭圆 C1的方程 设 N 为抛物线 C2上的一动点 过点 N 作抛物线 C2的切线交椭圆 C1于 4 0 5 M P Q 两点 求MPQ 面积的最大值 22 已知函数txexf x 2 2 2 1 22 22 ttexxg x 求 xf在区间 0 的最小值 求证 若1 t 则不等式 xg 2 1 对于任意的 0 x恒成立 求证 若Rt 则不等式 xf xg对于任意的Rx 恒成立 第 20 题图 x y O P QA M F1 B F2 N 答案 一 选择题一 选择题 12345678910 CBCBD A CACD 二 填空题二 填空题 每题每题 4 分 共分 共 28 分分 11 12 13 14 12 5 i 10 n 4 15 1 16 3402 17 2 3 16 20 21 128 三 解答题三 解答题 18 解 由已知有 222222 2222 22 acbbca abababc acbc 有 22 2222 2 2 ab ababc c 即 22222 0ababc 若则3 4 ab ab 222 abc 为直角三角形 而ABC 0 90 5 Cc 5CACB 若 则 0 60 C 222 0 abc ab 为等边三角形 没边长为 则ABC x 2 3 3 4 x 2x 2226AB BCBC CACA AB 19 证明 证明 又 1 1 32 1 12 1 32 22 2 n nnn n nn n a aaa a aa a 1 1 1 20 2 a a 等比数列 且公比为 解得 1 2 n n a a 2 1 2 2 n n n a a 1 21 21 n n n a 12 1 1 21 211 2 2 212121 nn nnn nnn ba a 当时 2n 111 111 212212 n nnnn b 123 21 111 1 222 nn n Sbbbb 1 11 1 22 1 1 1 2 n 1 1 22 2 n 20 证明 AE垂直于圆O所在平面 CD在圆O所在平面上 AE CD 在正方形ABCD中 CDAD ADAEA CD 平面ADE CD 平面ABCD 平面ABCD 平面ADE 解法解法 1 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 过点E作EFAD 于点F 作ABFG 交BC于点G 连结GE 由于AB 平面ADE EF 平面ADE EFAB ADABA EF 平面ABCD BC 平面ABCD BCEF BCFG EFFGF BC 平面EFG EG 平面EFG BCEG G F FGE 是二面角DBCE 的平面角 在Rt ADE中 3 5AD 3AE 6DE AD EFAE DE 3 66 5 53 5 AE DE EF AD 在Rt EFG中 3 5FGAB 2 tan 5 EF EGF FG 故二面角DBCE 的平面角的正切值为 2 5 解法解法 2 CD 平面ADE DE 平面ADE CDDE CE为圆O的直径 即9CE 设正方形ABCD的边长为a 在Rt CDE中 2222 81DECECDa 在Rt ADE中 2222 9DEADAEa 由 22 819aa 解得 3 5a 22 6DEADAE 以D为坐标原点 分别以ED CD所在的直线为x轴 y轴建立如图所示的空间直角坐 标系 则 0 0 0D 6 0 0E 0 3 5 0C 6 0 3A 6 3 5 3B 设平面ABCD的法向量为 1111 x y z n 则 0 0 1 1 DCn DAn 即 11 1 630 3 50 xz y 取 1 1x 则 1 1 0 2 n是平面ABCD的一个法向量 设平面BCE的法向量为 2222 xyz n 则 0 0 2 2 ECn EBn 即 22 22 3 530 63 50 yz xy 取 2 2y 则 2 5 2 2 5 n是平面ABCD的一个法向量 29 5 2045401 52 2 5 2 0 1 cos 21 21 21 nn nn nn 29 2 sin 21 nn 5 2 tan 21 nn xy z 故二面角DBCE 的平面角的正切值为 2 5 21 解 由题意可知 B 0 1 则 A 0 2 故 b 2 令 y 0 得 2 10 x 即1x 则 F1 1 0 F2 1 0 故 c 1 所以 222 5abc 于是椭圆 C1的方程为 22 1 54 xy 设 N 2 1t t 由于 2yx 知直线 PQ 的方程为 2 1 2 ytt xt 即 2 21ytxt 代入椭圆方程整理得 22222 4 1 5 20 1 5 1 200txt txt 222222 400 1 80 1 5 1 4 tttt 42 80 183 tt 2 12 2 5 1 1 5 t t xx t 22 12 2 5 1 20 4 1 5 t x x t 故 222 121212 1414 4PQtxxtxxx x 242 2 514183 1 5 ttt t 设点 M 到直线 PQ 的距离为 d 则 22 22 41 1 55 1414 tt d tt 所以 MPQ 的面积 S 1 2 PQ d 2 242 2 2 1 1514183 5 21 5 14 t ttt t t 42 5 183 10 tt 22 5 9 84 10 t 5105 84 105 当3t 时取到 经检验此时0 满足题意 综上可知 MPQ 的面积的最大值为 105 5 解 222 22 tetexf xx 若1 t 0 x 则1 2 x e 0 2 te x 即0 x f xf在区间 0 是增函数 故 xf在区间 0 的最小值是1 0 f 若1 t 令0 x f 得txln 2 1 又当 ln 2 1 0 tx 时 0 x f 当 ln 2 1 tx时 0 x f xf在区间 0 的最小值是ttttfln ln 2 1 综上 当1 t时 xf在区间 0 的最小值是1 0 f 当1 t时 xf在区间 0 的最小值是ttttfln ln 2 1 证明 当1 t时 2 3 2 2 x exxg 则 222 xeexxg xx 1 2 x exg 当 0 x时 有0 x g x g 在 0 内是增函数 02 0 gxg xg在 0 内是增函数 对于任意的 0 x 2 1 0 gxg恒成立 证明 2 1 222 22