一线三角模型及例题

1 相似三角形判定的复习 相似三角形判定的复习 1 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所截成的三角形与原三角形相似 2 相似三角形的判定定理 1 两角对应相等两三角形相似 2 两边对应成比例且夹角相等 两个三角形相似 3 三边对应成比例 两个三角形相似 3 直角三角形相似的判定定理 1 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似 2 一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两三角形 相似 相似三角形的性质相似三角形的性质 要点要点 1 1 相似三角形的性质 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 要点要点 2 2 相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理 2 相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理 3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 要点要点 3 3 知识架构图 知识架构图 周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等 对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比 对应中线之比 对 应角平分线之比都等于相似比 1 如图 锐角 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O 图中相似三角形有多少对 请分别写出 A BC D E O 2 如图 在锐角 ABC 中 ADE ACB 图中相似三角形有多少对 请分别写出 A BC D E O 2 3 如图已知 BAC BDC 90 问 BEC 的大小确定吗 若确定 求期度数 若不8 16 ADEEBC SS 确定 请说明理由 A B C D E 4 如图 在中 是边上的高 点 E 在线段上 ABC 90BAC ADBCDCEFAB EGAC 垂足分别为 求证 FG 1 EGCG ADCD 2 FDDG G F EDC B A 5 如图 四边形 如图 四边形 ABCD 中 中 AC 与与 BD 交于点交于点 E AC AB BD BD CD S EBC 16 S AED 8 1 求的值 AD BC 2 问 BEC 是不是定角 如果是 把它求出来 如果不是 请说明理由 A B C D E 5 如图 在 ABC 中 角 ACB 为直角 CD AB 于点 D 又 ACE 与 BCF 都是等边三角形 连结 DE DF 求证 DE DF E A D C F B 3 中考热点 一线三等角型的相似三角形中考热点 一线三等角型的相似三角形 一 问题引入一 问题引入 如图 中 过 D 作交 BC 延长线与 E ABC 90B CDAC DEAB 求证 ABCCED BE A D C 三等角型相似三角形是以等腰三角形 等腰梯形 或者等边三角形为背景 一个与等腰三角 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上 角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示 4 其他常见的一线三等角图形其他常见的一线三等角图形 等腰三角形中底边上一线三等角 等腰梯形中底边上一线三等角 A B D C E F 直角坐标系中一线三等角 矩形中一线三等角 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同 当顶点移动到底边的延长线时 形成变式 图形 图形虽然变化但是求证的方法不变 此规律需通过认真做题 细细体会 1 1 等腰三角形中一线三等角 等腰三角形中一线三等角 例 1 如图 已知在 ABC 中 AB AC 6 BC 5 D 是 AB 上一点 BD 2 E 是 BC 上一动点 联结 DE 并作 射线 EF 交线段 AC 于 F DEFB 1 求证 DBE ECF 2 当 F 是线段 AC 中点时 求线段 BE 的长 3 联结 DF 如果 DEF 与 DBE 相似 求 FC 的长 F B A C D E 讲解 1 本题中 第一问的结论是这类题共同的特性 只要等腰三角形底边上有三等角 必有三 角形相似 2 第二问中根据相似求线段的长 也很常见 有时候会反过来问 线段的长是多少是 三角线相 似 变式练习 1 就是这类题型 3 第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况 一种是 DF 与底边平行 一种是 E 为中点 4 在等腰三角形 将腰延长会交于一点 也构成等腰三角形 故而以上三点 在等腰梯形中也适 B A C D 5 用 变式练习变式练习 1 浦东新区 浦东新区 22 题 题 如图 已知等边 的边长为 8 点 分别在边 上 为中ABCDFEABBCAC3BD EAC 点 当 与 相似时 求的值 BPDPCEBP 变式练习 2 宝山 22 题 如图 6 已知 中 点 在边上 满足 求证 ABCABAC EFBCEAFC 2 BF CEAB FE C B A 变式练习 3 如图 在三角形 ABC 中 AB 4 AC 2 A 900 点 D 为腰 AC 中点 点 E 在底边 BC 上 且 DE BD 求 CED 的面积 变式练习 4 已知 ABC 90 AD BC P 为线段 BD 上的动点 点 Q 在射线 AB 上 且满足 当 PQAD PCAB ADAB 且点 Q 在线段 AB 的延长线上时 求的大小 QPC 6 2 2 等腰梯形中一线三等角 等腰梯形中一线三等角 例 1 长宁区 18 题 如图 等腰梯形中 直角三ABCDADBC2AD 4 2BC 45B 角板含 45 度角的顶点在边上移动 一直角边始终经过点 斜边与交于点 若 为等腰三EBCACDFABE 角形 则的长等于 CF 第 18第 E F D CB A 例 2 如图 梯形 ABCD 中 AB DC B 90 E 为 BC 上一点 且 ABE ECD 1 若 BC 8 AB 3 DC 4 求 BE 的长 2 若 BC AB 3 DC 4 求 BE 的长 4 3 3 若 BC 6 AB 3 DC 4 求 BE 的长 例 3 如图 梯形 ABCD 中 AB CD ABC 900 AB 8 CD 6 在 AB 上取动点 P 连结 DP 作 PQ DP 使得 PQ 交射线 BC 与点 E 设 AP x BE y 1 当 BC 4 时 试求 y 关于 x 的函数关系式 2 当 BC 在什么范围时 存在点 P 使得 PQ 经过点 C 直接写出结果 例 4 徐汇区 25 如图 在梯形中 点为边的ABCDADBC6ABCDBC 3AD MBC 中点 以为顶点作 射线交腰于点 射线交腰于点 联结 MEMFB MEABEMFCDFEF 1 求证 2 若 是以为腰的等腰三角形 求的长 MEFBEMBEMBMEF 3 若 求的长 EFCD BE 7 例 4 杨浦区基础考 四边形中 ABCD 点为射线上动点 不与点 ADBC 090ABC 3ABDC 5BC PBCB 重合 点在直线上 且 记 CEDCAPE 1PAB 2EPC BPx CEy 1 当点在线段上时 写出并证明与的数量关系 PBC1 2 2 随着点的运动 1 中得到的关于与的数量关系 是否改变 若认为不改变 请证明 若认为P1 2 会改变 请求出不同于 1 的数量关系 并指出相应的的取值范围 x 3 若 cos 试用的代数式表示 1 3 xy 3 3 坐标系中一线三等角 坐标系中一线三等角 例 1 金山区 24 如图 住平面直角系中 直线 分别交轴 轴于 两点 AB 4 40yxa a xyBA 直线分别交轴 轴于 两点 是轴上的一点 过作轴交于 AExyEADxOAOD DCD xAEC 连接 当动点在线段上运动 不与点点重合 且时BCBODODABBC 1 求证 2 求线段的长 用的代数式表示 ABO BCD CDa 3 若直线的方程是 求的值 AE 13 16 yxb tanBAC 例 如图 在直角坐标系中 直线与 轴 轴分别交于 两点 以 为边在第二象限内 1 2 2 yx 作矩形 使 求点 的坐标 5AD 8 变式练习 1 在平面直角坐标系 XOY 中 的位置如图所示 已知 点 A 的坐标为AOB 00 60 90 AAOB 1 3 1 求点 B 的坐标 2 若抛物线经过 A O B 三点 求函数解析式 cbxaxy 2 变式练习 2 如图所示 RT AOB 中 AOB 90 OA 4 OB 2 点 B 在反比例函数图像上 求过点 A 的双曲线解 2 y x 析式 变式练习 3 如图 在平面直角坐标系中 OB OA 且 OB 2OA 点 A 的坐标是 1 2 求过点 A O B 的抛物线的 表达式 9 4 4 矩形中一线三等角 矩形中一线三等角 如图 四边形 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 点 在 轴上 点 在 轴上 将边 折 叠 使点 落在边 的点 D 处 已知折叠线 CE 且 求直线 与 轴交点的坐5 5CE 3 tan 4 EDA 标 例 6 长宁区 24 题 如图 在矩形中 点是射线上的一个动点 将三角ABCD4AB 6AD PDA 板的直角顶点重合于点 三角板两直角中的一边始终经过点 另一直角边交射线于点 PCBAE 1 判断 与 一定相似吗 请证明你的结论 EAPPDC 2 设 求与的函数关系式 并写出它的定义域 PDx AEy yx 3 是否存在这样的点 是 周长等于 周长的 2 倍 若存在 请求出的长度 若不存在 PEAPPDCPD 请简要说明理由 E P D C B A 一线三等角 专题练习 10 一 知识梳理 1 如图 1 AB AC B ADE 那么一定存在的相似三角形有 2 如图 2 AB AC B EDF 那么一定存在的相似三角形有 E B A C D 图 1 图 2 3 在等腰 ABC 中 腰长 10 厘米 底边长 16 厘米 点 P 在底边上以 0 5 厘米 秒的速度从点 B 向点 C 移 动 当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时 点 P 的运动时间为 秒 二 经典例题解析 1 如图 在 ABC 中 AB AC 4 BC 6 B ADE 点 D E 分别在 BC AC 上 点 D 与 B C 不重 合 设 BD AE 求 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围 xy E B A C D 2 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 DH BC 于 H AB 6 BC 16 DC 10 线段 BC 上有 一动点 E 不与点 C 重合 过点 E 作 EF DC 交线段 DC 于点 F 1 求 CH 的长 2 设 BE x EF y 求 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围 3 当以 E F C 为顶点的三角形与 ABE 相似时 求 BE 的长 H F D CB A E 3 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 10 AC 6 点 E F 分别是边 AC BC 上的动点 过点 E 作 ED AB 于点 D 过点 F 作 FG AB 于点 G DG 的长始终为 2 1 当 AD 3 时 求 DE 的长 2 当点 E F 在边 AC BC 上移动时 设 xAD yFG 求关于的函数解析式 并写出函数的定义域 yx F BC A D E 11 3 在点 E F 移动过程中 AED 与 CEF 能否相似 若能 求 AD 的长 若不能 请说明理由 A B C E DG F 4 已知在梯形 ABCD 中 AD BC AD BC 且 BC 6 AB DC 4 点 E 是 AB 的中点 1 如图 3 P 为 BC 上的一点 且 BP 2 求证 BEP CPD 2 如果点 P 在 BC 边上移动 点 P 与点 B C 不重合 且满足 EPF C PF 交直线 CD 于点 F 同时 交直线 AD 于点 M 那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时 设 BP DF 求关于的函数解析式 并写出函数的定义xyyx 域 当时 求 BP 的长 BEPDMF SS 4 9 E D CB A P 5 2009 闸北 22 题 本题满分 10 分 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 7 分 如图七 在平面直角坐标中 四边形 OABC 是等腰梯形 CB OA OA 7 AB 4 COA 60 点 P 为 x 轴上的 个动点 但是点 P 不 与点 0 点 A 重合 连结 CP D 点是线段 AB 上一点 连结 PD 1 求点 B 的坐标 2 当 CPD OAB 且 求这时点 P 的坐标 AB BD 8 5 12 6 如图 已知在 ABC 中 AB AC 8 cosB D 是边 BC 的中点 点 E F 分在边 AB AC 上 且 5 8 EDF B 连接 EF 1 如果 BE 4 求 CF 的长 2 如果 EF BC 求 EF 的长 7 徐汇 2009 年 25 题 如图 中 点在边上 且 以点ABC 10 ACAB12 BCDBC4 BD 为顶点作 分别交边于点 交射线于点 DBEDF ABECAF 1 当时 求的长 6 AEAF 2 当以点为圆心长为半径的 和以点为圆心长为半径的 相切时 求的长 CCFCAAEABE 3 当以边为直径的 与线段相切时 求的长 ACODEBE A BC D E F 知识总结 知识总结 补补 充 关于充 关于 一线三等角一线三等角 图形的提炼及变式 图形的提炼及变式 A BC D 13 当当 为为锐锐角角时时 E CB A P D E BC P D E B A C P 当当 为为直直角角时时 B E C D P 当当 为为钝钝角角时时 F CB E P 总结 在教学中要突出重点 深化学生对于 一线三等角 模型的理解 把握难点 一线三等角 模型变式 通过问题建构 关注课堂再生资源的挖掘 引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的 1 在教学中通过 回忆旧知 环节的师生互动过程让 95 学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备 2 在教学中通过一个 一线三等角 模型综合题的有效分析引导过程 让 95 的学生树立几何型综合题的解 决的信心 让 75 的学生能够顺利解决前两小题 培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题的能力 3 在教学中通过有效分解策略的实施 打破他们对综合题的畏惧心理 让同学们加深对于题目条件的使用 条 件用完 即使题目没有求解完毕 也得到相应的分数 提高问题解决的能力 在这个师生共同探讨的过程中鼓 励学生尝试着加强解后反思与培养他们欣赏试题的能力 课后作业课后作业 1 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 4 P 是射线 CD 上一动点 将一把三角尺的直角顶点与 P 重合 一条直 角边始终经过点 B 另一条直角边所在直线与射线 AD 相交于点 E 设 CP x DE y 1 当点 P 在线段 CD 上时 求证 BPC PED 2 当点 P 在线段 CD 的延长线上时 求 y 与 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围 3 当 DE 1 时 求 CP 的长 14 A BC D P E 2 如图 在矩形中 为的中点 交于点 联结 ABCDEADEFEC ABF FC ABAE 1 与是否相似 若相似 证明你的结论 若不相似 请说明理由 AEF EFC 2 设 是否存在这样的值 使得 若存在 证明你的结论并求出的值 若不 AB k BC kAEFBFC k 存在 请说明理由 第 第 12第 第 FB C A E D 3 等腰 ABC AB AC BAC 120 P 为 BC 的中点 小慧拿着含 30 角的透明三角板 使 30 角的顶 点落在点 P 三角板绕 P 点旋转 1 如图 a 当三角板的两边分别交 AB AC 于点 E F 时 求证 BPE CFP 2 操作 将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时 三角板的两边分别交 BA 的延长线 边 AC 于点 E F 探究 BPE 与 CFP 还相似吗 只需写出结论 探究 连结 EF BPE 与 PFE 是否相似 请说明理由 设 EF m EPF 的面积为 S 试用 m 的代数式表示 S A B C P E F A B C P E F 4 如图 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 点 E 在边 BC 上 与端点不重合 点 F 在射线 DC 上 1 若 AF AE 并设 x AEF 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数的定义域 CE 2 当的长度为何值时 AEF 和 ECF 相似 CE 3 若 延长 FE 与直线 AB 交于点 G 当 CF 的长度为何值时 EAG 是等腰三角形 4 1 CE 备用图 15 C F E D B 5 如图 在 ABC 中 AC BC 2 C 900 点 D 为腰 BC 中点 点 E 在底边 AB 上 且 DE AD 则 BE 的 长为 E D B C A 6 如图 ABC 中 ACB 90 A 60 AC 2 CD AB 垂足为 D 任意作 EDF 60 点 E F 分别在 AC BC 上 设 AE x BF y 1 求 y 关于 x