高中初中圆知识的绝妙衔接

1 圆是定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4 同圆或等圆的半径相等 5 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 6 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 7 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 8 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9 定理不在同一直线上的三点确定一个圆 10 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的 垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平 分弦 并且平分弦所对的另一条弧 12 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 13 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦 心距相等 15 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 16 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 17 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相 等 18 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 19 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 20 定理 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 21 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 22 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 23 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 24 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 25 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 26 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 27 圆的外切四边形的两组对边的和相等 28 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 29 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 30 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 31 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 32 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 33 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 34 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 35 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两 圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 圆的性质及定理圆的性质及定理 圆的初步认识圆的初步认识 一 圆及圆的相关量的定义 一 圆及圆的相关量的定义 28 个 个 1 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称 为半径 2 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧 称为劣弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 3 顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上 且它的两边分别与圆有另一个交点 的角叫做圆周角 4 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 其圆心叫做三角形的外心 和三角 形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心 5 直线与圆有 3 种位置关系 无公共点为相离 有 2 个公共点为相交 圆与直线有唯 一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点叫做切点 6 两圆之间有 5 种位置关系 无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离 在之内叫内含 有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切 在之内叫内切 有 2 个公共点的叫相交 两 圆圆心之间的距离叫做圆心距 7 在圆上 由 2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形 圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径成为圆锥的母线 二 有关圆的字母表示方法 二 有关圆的字母表示方法 7 个 个 圆 半径 r 弧 直径 d 扇形弧长 圆锥母线 l 周长 C 面积 S 三 有关圆的基本性质与定理 三 有关圆的基本性质与定理 27 个 个 1 点 P 与圆 O 的位置关系 设 P 是一点 则 PO 是点到圆心的距离 P 在 O 外 PO r P 在 O 上 PO r P 在 O 内 PO r 2 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆也是中心对称图形 其对 称中心是圆心 3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 4 在同圆或等圆中 如果 2 个圆心角 2 个圆周角 2 条弧 2 条弦中有一组量相等 那么他们所对应的其余各组量都分别相等 5 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 6 直径所对的圆周角是直角 90 度的圆周角所对的弦是直径 7 不在同一直线上的 3 个点确定一个圆 8 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的 交点 到三角形 3 个顶点距离相等 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角 形 3 边距离相等 9 直线 AB 与圆 O 的位置关系 设 OP AB 于 P 则 PO 是 AB 到圆心的距离 AB 与 O 相离 PO r AB 与 O 相切 PO r AB 与 O 相交 PO r 10 圆的切线垂直于过切点的直径 经过直径的一端 并且垂直于这条直径的直线 是 这个圆的切线 11 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r 且 R r 圆心距为 P 外离 P R r 外切 P R r 相交 R r P R r 内切 P R r 内含 P R r 四 有关圆的计算公式四 有关圆的计算公式 1 圆的周长 C 2 r d 2 圆的面积 S r 3 扇形弧长 l n r 180 4 扇形面积 S n r 360 rl 2 5 圆锥侧面积 S rl 五五 圆的方程圆的方程 1 圆的标准方程 在平面直角坐标系中 以点 O a b 为圆心 以 r 为半径的圆的标准方程是 x a 2 y b 2 r 2 2 圆的一般方程 把圆的标准方程展开 移项 合并同类项后 可得圆的一般方程是 x 2 y 2 Dx Ey F 0 和标准方程对比 其实 D 2a E 2b F a 2 b 2 相关知识 圆的离心率 e 0 在圆上任意一点的曲率半径都是 r 六六 圆与直线的位置关系判断圆与直线的位置关系判断 链接 圆与直线的位置关系 一 5 平面内 直线 Ax By C O 与圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 的位置关系判断一般方法是 讨论如下 2 种情况 1 由 Ax By C O 可得 y C Ax B 其中 B 不等于 0 代入 x 2 y 2 Dx Ey F 0 即成为一个关于 x 的一元二次方程 f x 0 利用判别式 b 2 4ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下 如果 b 2 4ac 0 则圆与直线有 2 交点 即圆与直线相交 如果 b 2 4ac 0 则圆与直线有 1 交点 即圆与直线相切 如果 b 2 4ac 0 则圆与直线有 0 交点 即圆与直线相离 2 如果 B 0 即直线为 Ax C 0 即 x C A