高等数学练习答案1-8

习题 1 8 1 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形 1 21 2 10 2 xx xx xf 解 已知多项式函数是连续函数 所以函数 f x 在 0 1 和 1 2 内是连续的 在 x 1 处 因为 f 1 1 并且 1lim lim 2 11 xxf xx 1 2 lim lim 11 xxf xx 所以 从而函数 f x 在 x 1 处是连续的 1 lim 1 xf x 综上所述 函数 f x 在 0 2 上是连续函数 2 1 1 11 x xx xf 解 只需考察函数在 x 1 和 x 1 处的连续性 在 x 1 处 因为 f 1 1 并且 1 11lim lim 11 fxf xx 1 1lim lim 11 fxxf xx 所以函数在 x 1 处间断 但右连续 在 x 1 处 因为 f 1 1 并且 f 1 f 1 1lim lim 11 xxf xx 11lim lim 11 xx xf 所以函数在 x 1 处连续 综合上述讨论 函数在 1 和 1 内连续 在 x 1 处间断 但右连续 2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断 点 则补充或改变函数的定义使它连续 1 x 1 x 2 23 1 2 2 xx x y 解 因为函数在 x 2 和 x 1 处无定义 所以 x 2 和 1 2 1 1 23 1 2 2 xx xx xx x y x 1 是函数的间断点 因为 所以 x 2 是函数的第二类间断点 23 1 limlim 2 2 22 xx x y xx 因为 所以 x 1 是函数的第一类间断点 并且是可去间断点 2 2 1 limlim 11 x x y xx 在 x 1 处 令 y 2 则函数在 x 1 处成为连续的 2 x k k 0 1 2 x x y tan 2 kx 解 函数在点 x k k Z 和 k Z 处无定义 因而这些点都是函数的间 2 kx 断点 因 k 0 故 x k k 0 是第二类间断点 x x kxtan lim 因为 k Z 所以 x 0 和 k Z 是第一类1 tan lim 0 x x x 0 tan lim 2 x x kx 2 kx 间断点且是可去间断点 令 y x 0 1 则函数在 x 0 处成为连续的 令时 y 0 则函数在处成为连续的 2 kx 2 kx 3 x 0 x y 1 cos2 解 因为函数在 x 0 处无定义 所以 x 0 是函数的间断点 又 x y 1 cos2 x y 1 cos2 因为不存在 所以 x 0 是函数的第二类间断点 x x 1 coslim 2 0 4 x 1 1 3 1 1 xx xx y 解 因为 所以 x 1 是函数的第一0 1 lim lim 11 xxf xx 2 3 lim lim 11 xxf xx 类不可去间断点 3 讨论函数的连续性 若有间断点 判别其类型 x x x xf n n n 2 2 1 1 lim 解 1 1 0 1 1 1 lim 2 2 xx x xx x x x xf n n n 在分段点 x 1 处 因为 所以1 lim lim 11 xxf xx 1lim lim 11 xxf xx x 1 为函数的第一类不可去间断点 在分段点 x 1 处 因为 所以 x 1 为1lim lim 11 xxf xx 1 lim lim 11 xxf xx 函数的第一类不可去间断点 4 证明 若函数 f x 在点 x0连续且 f x0 0 则存在 x0的某一邻域 U x0 当 x U x0 时 f x 0 证明 不妨设 f x0 0 因为 f x 在 x0连续 所以 由极限的局0 lim 0 0 xfxf xx 部保号性定理 存在 x0的某一去心邻域 使当 x 时 f x 0 从而当 0 xU 0 xU x U x0 时 f x 0 这就是说 则存在 x0的某一邻域 U x0 当 x U x0 时 f x 0 5 试分别举出具有以下性质的函数 f x 的例子 1 x 0 1 2 n 是 f x 的所有间断点 且它们都是无穷间断 2 1 n 1 点 解 函数在点 x 0 1 2 n 处是间断的 x xxf csc csc 2 1 n 1 且这些点是函数的无穷间断点 2 f x 在 R 上处处不连续 但 f x 在 R 上处处连续 解 函数在 R 上处处不连续 但