苏教版高中数学圆锥曲线题库

评卷人得分 一 填空一 填空题题 题题型注型注释释 1 点M是椭圆上的点 以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F 圆M与 y轴相交于P Q 若 PQM是锐角三角形 则椭圆离心率的取值范围是 答案及解析 答案及解析 1 2 如图 在平面直角坐标系x O y中 点A为椭圆E 的左顶点 B C在椭圆E上 若四边形OABC为平行四边形 且 OAB 22 22 1 0 xy ab ab 30 则椭圆E的离心率等于 答案及解析 答案及解析 2 2 2 3 3 抛物线的准线方程是 2 4 1 xy 答案及解析 答案及解析 3 y 1 4 在平面直角坐标系中 已知中心在坐标原点的双曲线经过点 且它的右焦xOyC 1 0 点与抛物线的焦点相同 则该双曲线的标准方程为 F 2 8yx 答案及解析 答案及解析 4 2 2 1 3 y x 5 在平面直角坐标系中 已知中心在坐标原点的双曲线经过点 且它的右焦xOyC 1 0 点与抛物线的焦点相同 则该双曲线的标准方程为 F 2 8yx 答案及解析 答案及解析 5 2 2 1 3 y x 6 当实数变化时 直线与直线ab 2 0ab xab yab 22 20m xyn 都过一个定点 记点的轨迹为曲线 为曲线上任意一点 若点 mn CPC 20 Q 则的最大值为 PQ 答案及解析 答案及解析 6 32 7 若椭圆与双曲线有相同的焦点 且椭圆与双曲线交于点 22 1 10 xy m 2 2 1 y x b 则实数的值为 10 3 Py b 答案及解析 答案及解析 7 8 8 已知抛物线的顶点在坐标原点 且焦点在轴上 若抛物线上的点到焦点的y 3 M m 距离是5 则抛物线的准线方程为 答案及解析 答案及解析 8 2 y 9 如图 已知椭圆的上顶点为 其右准线 与轴交与点 过 22 22 1 0 xy ab ab BlxA 椭圆的右焦点作垂直于长轴的直线分别交直线及椭圆于 两点 若点是线FABDPD 段的中点 则该椭圆的离心率为 FP 答案及解析 答案及解析 9 3 2 10 如图 已知圆是椭圆的内接的内切 22 4 2 9 xy 22 22 1 0 xy Cab ab ABC 圆 其中为椭圆的左顶点 且椭圆的离心率为 则此椭圆的标准方程为 ACC 15 4 y C B O A x 答案及解析 答案及解析 10 2 2 1 16 x y 11 已知双曲线 那么它的焦点到渐近线的距离为 2 2 1 3 y x 答案及解析 答案及解析 11 3 12 已知椭圆C 的左右焦点分别为 点P为椭圆C上的任意一 2 2 22 1 0 y x ab ab 12 F F 点 若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形 则椭圆C的离心率的 12 F F P 取值范围是 答案及解析 答案及解析 12 2 21 2 13 已知双曲线的左 右焦点分别为 且双曲线上存在异于顶点的一点 满足 1 F 2 FP 则该双曲线离心率为 1221 tan3tan 22 PFFPF F 答案及解析 答案及解析 13 2 14 已知椭圆C 点为其长轴的6等分点 分别过这五点作斜率为的 1 2 2 2 y x 521 MMM AB 0 kk 一组平行线 交椭圆C于 则直线这10条直线的斜率乘积为 1021 PPP 1021 APAPAP 答案及解析 答案及解析 14 15 已知椭圆的离心率 A B分别是椭圆的左 右顶点 P 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 e 是椭圆上不同于A B的一点 直线PA PB的倾斜角分别为 则的值为 cos cos 答案及解析 答案及解析 15 3 5 16 已知曲线C y 2x2 点A 0 2 及点B 3 a 从点A观察点B 要使视线不被曲线C挡 住 则实数a的取值范围是 答案及解析 答案及解析 16 点A在抛物线外部 则a 2 32 18 设过点A的抛物线的切线方程为y kx 2 代入抛物 线方程得2 x2 kx 2 0 由 k2 16 0 得k 4 结合图形取k 4 即要求AB连线的斜率小于 4 即 解得a 10 2 0 的焦点 A是抛物线上的一点 与x轴正向的FA 夹角为60 则为 OA 答案及解析 答案及解析 21 21 2 p 22 若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆 则 22 22 1 1 5 2 4 xy ab ab x 3 2 的最小值为 zab 答案及解析 答案及解析 22 4 方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时 22 22 1 xy ab x 3 2 有 即 化简得 22 22 3 2 ab cab e aa 22 22 4 ab ab 2 ab ab 又 画出满足不等式组的平面区域 如右图阴影部分所示 令 1 5 a 2 4 b zyx 平移直线当过时 yxz 2 2 min 4Z 23 已知双曲线中 若以其焦点为圆心 半实轴长为半径的圆与渐近 22 22 1 0 0 xy ab ab 线相切 则其渐近线方程为 答案及解析 答案及解析 23 yx 设焦点为 渐近线方程为 即所以所以即渐 0 c b yx a 0 bxay 22 bc a ab ab 近线方程为 yx 24 若中心在原点 焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为 则此双曲线的y30 xy 离心率为 答案及解析 答案及解析 24 10 25 已知双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线与圆 22 2 1xy 相交 则双曲线 C离心率的取值范围是 答案及解析 答案及解析 25 2 3 1 3 评卷人得分 二 解答二 解答题题 题题型注型注释释 26 本题满分10分 在平面直角坐标系中 抛物线C的顶点在原点 经过点A 2 2 其焦点F在轴上 xoyx 1 求抛物线C的标准方程 2 求过点F 且与直线OA垂直的直线的方程 3 设过点的直线交抛物线C于D E两点 ME 2DM 记D和E两点间的距 0 0 M mm 离为 求关于的表达式 f m f mm 答案及解析 答案及解析 26 27 本题16分 若椭圆C 的离心率e为 且椭圆C的一个焦点与抛 4 5 物线y2 12x的焦点重合 1 求椭圆C的方程 2 设点M 2 0 点Q是椭圆上一点 当 MQ 最小时 试求点Q的坐标 3 设P m 0 为椭圆C长轴 含端点 上的一个动点 过P点斜率为k的直线l交椭圆与A B 两点 若 PA 2 PB 2的值仅依赖于k而与m无关 求k的值 x y O 答案及解析 答案及解析 27 28 本题满分14分 已知直线 14 23 3 12 0 k xk ykkR 所经过的定点F 恰好是椭圆C的一个焦点 且椭圆C上的点到点F的最大距离为8 1 求椭圆C的标准方程 2 已知圆 22 1O xy 直线 1l mxny 试证明当点 P m n在椭圆C上运动时 直线l与圆O恒相交 并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围 答案及解析 答案及解析 28 1 由 14 23 3 12 0 k xk ykkR 得 23 4312 0 xykxy 则由 230 43120 xy xy 解得F 3 0 2分 设椭圆C的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 则 222 3 8 c ac abc 解得 5 4 3 a b c 所以椭圆C的方程为 22 1 2516 xy 6分 2 因为点 P m n在椭圆C上运动 所以 22 22 1 2516 mn mn 8分 从而圆心O到直线 1l mxny 的距离 22 1 1dr mn 所以直线l与圆O恒相交 10分 又直线l被圆O截得的弦长为 22 22 1 22 1Lrd mn 2 1 2 1 9 16 25 m 12分 由于 2 025m 所以 2 9 161625 25 m 则 15 4 6 25 L 即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是 15 4 6 25 L 14分 29 本小题满分16分 如图所示 在平面直角坐标系中 设椭圆xOy 其中 过椭圆内一点的两条直线分别与 22 22 1 0 xy Eab ab 3 2 ba EP 1 1 椭圆交于点和 且满足 其中为正常数 A C B DAPPC BPPD 当点恰为椭圆的右顶点时 对应的 C 5 7 1 求椭圆的离心率 E 2 求与的值 ab 3 当变化时 是否为定值 若是 请求出此定值 若不是 请说明理由 AB k O A B P C D x y 答案及解析 答案及解析 29 1 因为 所以 得 即 3 2 ba 22 3 4 ba 222 3 4 aca 22 1 4 ac 所以离心率 4分 1 2 c e a 2 因为 所以由 得 0 C a 5 7 APPC 12512 77 a A 7分 将它代入到椭圆方程中 得 解得 22 2 2 125 12 1 3 49 49 4 a a a 2a 所以 10分2 3ab 3 法一 设 11223344 A x yB xyC xyD xy 由 得 12分APPC 1 3 1 3 1 1 1 1 x x y y 又椭圆的方程为 所以由 22 1 43 xy 2222 3311 1 1 4343 xyxy 得 且 22 11 3412xy 22 11 11 3 1 4 1 12 xy 由 得 22 1111 2 12 3 1 4 1 3 1 4 1 5xyxy 即 22 111111 2 12 34 72 34 7 34 5xyxyxy 结合 得 14分 2 11 19 145 34 22 xy 同理 有 所以 2 22 19 145 34 22 xy 1122 3434xyxy 从而 即为定值 12 12 3 4 yy xx 3 4 AB k 16分 法二 设 11223344 A x yB xyC xyD xy 由 得 同理 12分APPC 13 13 1 1 xx yy 24 24 1 1 xx yy 将坐标代入椭圆方程得 两式相减得 A B 22 11 22 22 3412 3412 xy xy 12121212 3 4 0 xxxxyyyy 即 14分 1212 3 4 0 AB xxyy k 同理 3434 3 4 0 CD xxyy k 而 所以 ABCD kk 3434 3 4 0 AB xxyy k 所以 3434 3 4 0 AB xxyy k 所以 13241324 3 4 0 AB xxxxyyyy k 即 所以为定值 6 1 8 1 0k 3 4 AB k 16分 说明 只给对结论但未正确证明的 给2分 30 本小题满分16分 如图所示 在平面直角坐标系中 过椭圆内一xOy 22 1 43 xy E 点的一条直线与椭圆交于点 且 其中为常数 P 1 1 A CAPPC 1 求椭圆的离心率 E 2 当点恰为椭圆的右顶点时 试确定对应的值 C 3 当时 求直线的斜率 1 AC O A P C x y 答案及解析 答案及解析 30 1 因为 所以 即 所以离心率 4分 22 4 3ab 2 1c 2 1ac 1 2 c e a 2 因为 所以直线的方程为 2 0 CPC2yx 6分 由 解得 22 2 1 43 yx xy 2 12 77 A 8分 代入中 得 APPC 5 7 10分 3 因为 所以 设 1 APPC 1122 A x yC xy 则 1212 2 2xxyy 12分 又 两式相减 得 2222 1122 1 1 4343 xyxy 12121212 0 43 xxxxyyyy 即 从而 即 1212 0 43 xxyy 12 12 3 4 yy xx 3 4 AC k 16分 31 已知点为椭圆的右焦点 过的直线与椭圆交于两点 F 22 22 1 xy ab 0 ab FAB 1 若点为椭圆的上顶点 满足 且椭圆的右准线方程为 求椭圆A 2AFFB3 3x 的标准方程 2 若点在椭圆的右准线上的射影分别为 如图所示 求证 AB 11 AB 11 AFB 为锐角 O F x y A A1 B B1 答案及解析 答案及解析 31 1 由题意可知 1分 0 0 cFbA33 2 c a 设 则 00 yxB 00 ycxFBbcAF 因为 所以 3分FBAF2 2AFFB 即 00 ycxbc 所以 解得 5分 0 0 2 2 xcc yb 0 0 3 2 2 xc b y 又因为点B在椭圆上 所以 解得 1 4 2 3 2 2 2 2 b b a c 3 3 a c 所以 6 3 3 bca 因此椭圆的标准方程为 7分1 69 22 yx 2 设直线 设斜率但不讨论不存在扣1分 9分cmyxAB 设 2 2 11 2 1 y c a By c a A 由 联立得 22 22 1 xmyc xy ab 02 422222 bymcbymba 所以 11分 222 4 21 mba b yy 所以 2 2 1 2 11 yc c a yc c a FBFA 21 2 2 yy c b 222 4 2 4 mba b c b 14分0 1 2222 26 mbac mb 又因为 15分0 cos 11 11 11 FBFA FBFA FBA 所以为锐角 16分 11FB A 32 本小题满分16分 已知椭圆的离心率为 分别为 22 22 1 0 xy Cab ab 1 2 1 F 2 F 椭圆的左 右焦点 且椭圆的焦距为 CC2 求椭圆的方程 C 设为椭圆上任意一点 以为圆心 为半径作圆 当圆与椭圆的右准MM 1 MFMM 线 有公l 共点时 求面积的最大值 12 MFF 答案及解析 答案及解析 32 33 本小题满分16分 在平面直角坐标系中 点与点关于原点对称 xOyB 1 1 A OP 是动点 且直线与的斜率之积等于 APBP 1 3 求动点的轨迹方程 P 设直线和分别与直线交与点 问 是否存在点使得与APBP3x M NPPAB 的面积相等 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 PMN P 答案及解析 答案及解析 33 I 解 因为点B与A关于原点对称 所以点得坐标为 1 1 OB 1 1 设点的坐标为 由题意得P x y 111 113 yy xx A 化简得 故动点的轨迹方程为 22 34 1 xyx P 22 34 1 xyx II 解法一 设点的坐标为 点 得坐标分别为 P 00 xyMN 3 M y 3 N y 则直线的方程为 直线的方程为AP 0 0 1 1 1 1 y yx x BP 0 0 1 1 1 1 y yx x 令得 3x 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是得面积PMNA 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 又直线的方程为 点到直线的距离 AB0 xy 2 2AB PAB 00 2 xy d 于是的面积PABA 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当时 得 PABPMN SS AA 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 所以 解得 00 0 xy 2 0 3 x 2 0 1 x 0 5 3 x 因为 所以 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点使得与的面积相等 此时点的坐标为 PPABAPMNAP 533 39 解法二 若存在点使得与的面积相等 设点的坐标为PPABAPMNAP 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为 所以所以sinsinAPBMPN PAPN PMPB 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 解得 因为 所以 22 00 3 1 xx 0 x 5 3 22 00 34xy 0 33 9 y 故存在点S使得与的面积相等 此时点的坐标为 PPABAPMNAP 533 39 34 本小题满分16分 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右顶点分别A B 椭圆过 点 0 1 且离心率 2 3 e 1 求椭圆的标准方程 2 过椭圆上异于A B两点的任意一点P作PH x轴 H为垂足 延长HP到点Q 且PQ HP 过点B作直线xl 轴 连结AQ并延长交直线l于点M N为MB的中点 试判断直线QN与 以AB为直径的圆O的位置关系 答案及解析 答案及解析 34 1 因为椭圆经过点 0 1 所以1 b 又椭圆的离心率 2 3 e得 2 3 a c 即 22 43ca 由 222 cba 得 22 1ca 所以2 a 故所求椭圆方程为1 4 2 2 y x 6分 2 设 00 y xP 则1 4 2 0 2 0 y x 设 yxQ HP PQ 00 2 yyxx 即yyxx 2 1 00 将 00 y x代入1 4 2 0 2 0 y x 得4 22 yx 所以Q点在以O为圆心 2为半径的圆上 即Q点在以AB为直径的圆O上 又A 2 0 直线AQ的方程为 2 2 2 0 0 x x y y 令2 x 则 2 8 2 0 0 x y M 又B 2 0 N为MB的中点 2 4 2 0 0 x y N 00 2 yxOQ 2 2 2 0 00 0 x yx xNQ 2 4 2 2 2 22 0 2 00 00 0 00 000 x yx xx x yx yxxNQOQ 022 0000 xxxx NQOQ 直线QN与圆O相切 16分 35 如图 在平面直角坐标系中 分别是椭圆的左 右焦点 xOy 21 F F 0 1 2 3 2 2 ba b y a x 顶点的坐标为 连结并延长交椭圆于点A 过点A作轴的垂线交椭圆于另一点B 0 b 2 BFx C 连结 CF1 1 若点C的坐标为 且 求椭圆的方程 3 1 3 4 2 2 BF 2 若求椭圆离心率e的值 1 ABCF 答案及解析 答案及解析 35 36 过抛物线 为不等于2的素数 的焦点F 作与轴不垂直的直线 交抛物线于M 2 2ypx pxl N两点 线段MN的垂直平分线交MN于P点 交轴于Q点 x 1 求PQ中点R的轨迹L的方程 2 证明 L上有无穷多个整点 但L上任意整点到原点的距离均不是整数 答案及解析 答案及解析 36 1 抛物线的焦点为 设 的直线方程为 2 2ypx 0 2 p l 2 p yk x 0 k 由得 设M N的横坐标分别为 2 2 2 ypx p yk x 22222 1 2 0 4 k xpkp xp k 12 x x 则 得 2 12 2 2pkp xx k 2 12 2 2 22 P xxpkp x k 2 2 2 22 P pkppp yk kk 而 故PQ的斜率为 PQ的方程为 PQl 1 k 2 2 12 2 ppkp yx kkk 代入得 设动点R的坐标 则0 Q y 22 22 232 22 Q pkppkp xp kk x y 因此 2 1 2 1 22 PQ PQ p xxxp k p yyy k 2 2 2 4 0 p p xpyy k 故PQ中点R的轨迹L的方程为 2 4 0 yp xpy 5分 2 显然对任意非零整数 点都是L上的整点 故L上有无穷多个整点 t 2 41 ptpt 假设L上有一个整点 x y 到原点的距离为整数m 不妨设 则0 0 0 xym 因为是奇素数 于是 从可推出 再由可推出 222 2 4 xymi yp xp ii pp y iip x i 令 则有 p m 111 xpx ypy mpm 222 111 2 11 41 xymiii yxiv 由 得 于是 即 iii iv 22 1 11 1 4 x xm 22 11 81 8 17xm 于是 1111 81 8 81 8 17xmxm 11 81 817xm 11 81 81xm 得 故 有 但L上的点满足 矛盾 11 1xm 1 0y 1 0ypy 0y 因此 L上任意点到原点的距离不为整数 10分 37 在平面直角坐标系中 为坐标原点 点满足 OFT RS 1 0 1 OFOTt 1 当t变化时 证明点的轨迹C为抛物线 并求此抛 FRRTSRFTSTOF S 物线方程 2 如图 在 1 的抛物线中 过点的两直线与抛物线相交 FAMBN 记直线的斜率为 1 k 直线AB的斜率为 2 k 求证直线恒过某定点 MN 12 2kk AB 答案及解析 答案及解析 37 1 由 得点是线段FT的中点 又由 所以 因为FRRT RSRFT STSF 即为点到直线的距离 则点到定点的距离等于到定直线的距 STOF ST S1x SF 离 所以点的轨迹为以定点为焦点 定直线为准线的抛物线 所求点的轨迹SF1x S C的方程 2 4yx 4分 2 设 2222 3124 1234 4444 yyyy AyByMyNy 12 3412 44 kk yyyy 设过焦点的直线方程为 代入抛物线 2 4yx F1xmy 得 则 所以 2 440ymy 2413 4 4y yy y 12 1 12 12 4 44 y y k yy yy 由 则 设直线方程为 代入抛物线 2 4yx 12 2kk 12 8y y ABxnyb 得 得 则 所以直线恒过定点 10分 2 440ynyb 12 4y yb 2b 2 0 38 如图 过椭圆的左顶点和下顶点且斜率均为的两直线分别交椭圆于L 3 0 A Bk 12 l l 又交轴于 交轴于 且与相交于点 当时 C D 1 lyM 2 lxNCDMNP3k 是直角三角形 1 求椭圆L的标准方程 2 证明 存在实数 使得ABM 求 OP 的取值范围 AMOP M C B A D N P x y O 答案及解析 答案及解析 38 1 4分 2 2 1 9 x y 2 证明 由 1 可设直线的方程分别为和 其中 0 12 l l 3 yk x ykx 1k 则 由消去得以 0 3 Mk 1 0 N k 2 2 3 1 9 yk x x y x 2222 1 9 548190 kxk x k 上方程必有一根 由韦达定理可得另一根为 故点的坐标为 3 2 2 327 1 9 k k C 2 2 327 1 9 k k 6分 2 6 1 9 k k 由消去得 解得一根为 2 2 1 1 9 ykx x y x 222 1 9 180 kxk x 2 18 1 9 k k 故点的坐标为 8分D 2 18 1 9 k k 2 2 1 1 9 9k k 由与平行得 然后 进行坐标运算 即可得出点 1 l 2 l MPtMN CPtCD 的坐标为 10分P 33 1 31 3 k kk 而 33 3 3 1 31 3 k AMkOP kk 1 1 3 AMOP k 存在实数 使得 12分 1 31k AMOP 由法一 由消参得点的轨迹方程为 所以 33 1 31 3 k OP kk P330 xy OP 的最小值为 16分 3 10 10 法二 得 令 则 其中 OP 2 3 1 1 3 k k 1 3tk OP 2 11 10 2 1 tt 1 0 1 t 的最小值为 16分 OP 3 10 10 39 已知半椭圆 22 22 1 xy ba y 0 和半圆x2 y2 b2 y 0 组成曲线C 其中a b 0 如图 半椭圆 22 22 1 xy ba y 0 内切于矩形ABCD 且CD交y轴于点G 点P是半圆x2 y2 b2 y 0 上异于A B的任意 一点 当点P位于点M时 AGP的面积最大 63 33 1 求曲线C的方程 2 连PC PD交AB分别于点E F 求证 AE2 BF2为定值 答案及解析 答案及解析 39 所以b 1 2分 当半圆x2 y2 b2 y 0 在点P处的切线与直线AG平行时 点P到直线AG的距离最大 此时 AGP的面积取得最大值 故半圆x2 y2 b2 y 0 在点M处的切线与直线AG平行 所以OM AG 3分 所以AE2 BF2为定值 16分 40 已知椭圆C 22 22 1 xy ab a b 0 过点P 1 1 c为椭圆的半焦距 且c b 过点P作两条互相垂直的直2 线l1 l2与椭圆C分别交于另两点M N 1 求椭圆C的方程 2 若直线l1的斜率为 1 求 PMN的面积 3 若线段MN的中点在x轴上 求直线MN的方程 答案及解析 答案及解析 40 两种情况分类讨论 当时 再利用 可转化为 进一步 12 0 xx PMPN 0PM PN 确定出两点的坐 3 设 则 1122 M xyN xy 因为 所以 得 PMPN 0PM PN 22 11 1 1yx 41 本小题满分16分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 a b 0 的离心 22 22 1 xy ab 率为 两个顶点分别为A1 2 0 A2 2 0 过点D 1 0 的直线交椭圆于M N两点 3 2 直线A1M与NA2的交点为G 1 求实数a b的值 2 当直线MN的斜率为1时 若椭圆上恰有两个点P1 P2使得 P1MN和 P2MN的面积为S 求S的取值范围 3 求证 点G在一条定直线上 x y G A1 N DA2 M 答案及解析 答案及解析 41 1 由题设可知a 2 1分 因为 又因为b2 a2 c2 4 3 1 所以b 1 2分 若直线m与椭圆只有一个交点 则满足 64 2 20 4 2 4 0 解得 6分5 设点C到MN的距离为d 要使 CMN的面积为S的点C恰有两个 所以 点G恒在定直线x 4上 16分 方法二 显然 直线MN的斜率为0时不合题意 设直线MN的方程为x my 1 当 由对称性可知交点G的坐标为 4 3 若点G恒在一条定直线上 则此定直线必为x 4 12分 下面证明对于任意的实数m 直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x 4上 设M x1 y1 N x2 y2 G 4 y0 所以 当m为任意实数时 直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x 4上 16分 42 本小题满分16分 在平面直角坐标系xOy 已知椭圆E 22 22 1 0 xy ab ab 过点 6 1 2 其左右焦点分别为 1 F 2 F 离心率为 2 2 1 求椭圆E的方程 2 若A B分别是椭圆E的左右顶点 动点M满足MBAB 且MA交椭圆E于点P 求证 OP OM 为定值 设 PB与以 PM 为直径的圆的另一交点为Q 问直线MQ是否过定点 并说明理由 答案及解析 答案及解析 42 1 易得 22 3 12 1 2 2 ab c a 且 222 cab 解得 2 2 4 2 a b 所以椭圆E的方程为 22 1 42 xy 2 设 0 2 My 11 P x y 易得直线MA的方程为 00 42 yy yx 代入椭圆 22 1 42 xy 得 222 2000 140 822 yyy xx 由 2 0 1 2 0 48 2 8 y x y 得 2 0 1 2 0 28 8 y x y 从而 0 1 2 0 8 8 y y y 所以 22 2 00 00 0 2222 0000 2848 88 2 4 8888 yy yy OP OMy yyyy 直线MQ过定点 0 0 O 理由如下 依题意 0 2 0 2 00 2 0 8 82 28 2 8 PB y y k yy y 由MQPB 得 0 2 MQ y k 则MQ的方程为 0 0 2 2 y yyx 即 0 2 y yx 所以直线MQ过定点 0 0 O 43 过抛物线 2 2ypx p为不等于2的素数 的焦点F 作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M N两点 线段MN的垂直平分线交MN于P点 交x轴于Q点 1 求PQ中点R的轨迹L的方程 2 证明 L上有无穷多个整点 但L上任意整点到原点的距离均不是整数 答案及解析 答案及解析 43 1 抛物线的焦点为 设 的直线方程为 2 2ypx 0 2 p l 2 p yk x 0 k 由得 设M N的横坐标分别为 2 2 2 ypx p yk x 22222 1 2 0 4 k xpkp xp k 12 x x 则 得 2 12 2 2pkp xx k 2 12 2 2 22 P xxpkp x k 2 2 2 22 P pkppp yk kk 而 故PQ的斜率为 PQ的方程为 PQl 1 k 2 2 12 2 ppkp yx kkk 代入得 设动点R的坐标 则0 Q y 22 22 232 22 Q pkppkp xp kk x y 因此 2 1 2 1 22 PQ PQ p xxxp k p yyy k 2 2 2 4 0 p p xpyy k 故PQ中点R的轨迹L的方程为 2 4 0 yp xpy 2 显然对任意非零整数 点都是L上的整点 故L上有无穷多个整点 t 2 41 ptpt 假设L上有一个整点 x y 到原点的距离为整数m 不妨设 则0 0 0 xym 因为是奇素数 于是 从可推出 再由可推出 222 2 4 xymi yp xp ii pp y iip x i 令 则有 p m 111 xpx ypy mpm 222 111 2 11 41 xymiii yxiv 由 得 于是 即 iii iv 22 1 11 1 4 x xm 22 11 81 8 17xm 于是 1111 81 8 81 8 17xmxm 11 81 817xm 11 81 81xm 得 故 有 但L上的点满足 矛盾 11 1xm 1 0y 1 0ypy 0y 因此 L上任意点到原点的距离不为整数 44 本小题满分16分 P Q M N四点都在以原点为中心 离心率 2 2 e 左焦点 0 1 F的椭圆上 已知0PFFQMFFNPF MF 与共线 与共线 求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值 答案及解析 答案及解析 44 椭圆方程为 2 2 1 2 x y 0 MFPFPQMN 设PQ的方程为 代入椭圆方程消去得 1kyx x 22 2 210kyky 设 则 1122 P x yQ xy 222 121212 11 4PQkyykyyy y 2 22 222 212 2 1 1 4 222 kk k kkk 当时 MN的斜率为 同理可得 0k 1 k 2 2 1 2 2 1 1 2 k MN k 故四边形面积 2 2 2 2 1 4 2 1 2 2 52 k k SPQ MN k k 令 则 即 2 2 1 uk k 2u 4 2 1 2 1 5252 u S uu 当时 且S是以为自变量的增函数 1k 16 2 9 uS u 16 2 9 S 当时 MN为椭圆的长轴 0k 2 2 2 MNPQ 1 2 2 SPQ MN 综合 知 四边形PQMN面积的最大值为 最小值为 2 16 9 45 本小题满分14分 设椭圆方程 椭圆上一点到两焦点的距离和 22 22 1 xy ab 0 ab 为4 过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A B两点 AB 2 1 求椭圆方程 2 若M N是椭圆C上的点 且直线OM与ON的斜率之积为 是否存在动点 1 2 00 P xy 若 有为定值 2OPOMON 22 00 2xy 答案及解析 答案及解析 45 1 因为 所以 2分24a 2a 过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A B两点 AB 2 由椭圆的对称性知 椭圆过点 即 4分 1 c 2 2 1 1 4 c b 解得 22 4cb 2 2b 椭圆方程为 7分 22 1 42 xy 2 存在这样的点 00 P xy 设 11 M x y 22 N xy 则 化简为 9分 12 12 1 2 OMON y y kk x x 1212 20 x xy y M N是椭圆C上的点 22 11 1 42 xy 22 22 1 42 xy 由得 11分2OPOMON 012 012 2 2 xxx yyy 所以 2222 001212 2 2 2 xyxxyy 2222 11221212 2 4 2 4 2 xyxyx xy y 444020 即存在这样的点 14分 00 P xy 46 本小题满分16分 已知椭圆的离心率为 且经过点 C 22 22 1 0 xy ab ab 1 2 3 1 2 P 1 求椭圆的方程 C 2 设是椭圆的右焦点 为椭圆上一点 以为圆心 为半径作圆 问FCMMMFM 点 的横坐标在什么范围内取值时 圆M与轴有两个交点 My 3 设圆与轴交于 两点 求弦长的最大值 MyDEDE 答案及解析 答案及解析 46 1 椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 1 2 且经过点 3 1 2 P 22 22 1 2 19 1 4 ab a ab 即 22 22 340 19 1 4 ab ab 解得 2 2 4 3 a b 椭圆C的方程为 22 1 43 xy 2 易求得 1 0 F 设 00 M xy 则 22 00 1 43 xy 圆M的方程为 2222 0000 1 xxyyxy 令0 x 化简得 2 00 2210yy yx 2 00 44 21 0yx 将 2 20 0 3 1 4 x y 代入 得 2 00 38160 xx 解出 000 44 422 33 xxx 又 2 3 设 1 0 Dy 2 0 Ey 其中 12 yy 由 2 得 222 2100000 464 44 21 38163 33 DEyyyxxxx 当 0 4 3 x 时 DE 的最大值为 8 3 3 47 在平面直角坐标系xOy中 设M是椭圆上在第一象限的点 22 22 1 xy ab 0 ab 0 A a和 0 Bb是椭圆的两个顶点 求四边形MAOB的面积的最大值 答案及解析 答案及解析 47 已知椭圆 22 22 1 xy ab 的参数方程为 cos sin xa yb 由题设 可令 cos sin M ab 其中0 2 所以 11 22 MOAMOBMMMAOB SSSOA yOB x 四边形 12 sincos sin 224 abab 所以 当 4 时 四边形MAOB的面积的最大值为 2 2 ab 48 本小题满分16分 在平面直角坐标系中 椭圆的离心率为 右焦点为 且xOy E 22 22 10 xy ab ab 1 2 F 椭圆上的点到点距离的最小值为 EF2 1 求 的值 ab 2 设椭圆的左 右顶点分别为 过点的直线 与椭圆及直线分别相交E A BAlE8x 于点 NM 当过三点的圆半径最小时 求这个圆的方程 A F N 若 求的面积 65 cos 65 AMB ABM 答案及解析 答案及解析 48 1 由已知 1