第三章动量和角动量教案2008

1 第三章第三章 动量动量 和角动量和角动量 教学要求教学要求 掌握掌握动量动量 冲量冲量 质点质点动量定理动量定理 解决质点平面运动问题 解决质点平面运动问题 理解理解质点系质点系动量定理动量定理 动量守恒定动量守恒定 律律及适用条件 及适用条件 掌握用掌握用动量守恒定律动量守恒定律分析问题的方分析问题的方 法 分析简单系统平面运动 法 分析简单系统平面运动 理解质点的理解质点的角动量角动量 力矩力矩 冲量矩冲量矩 概念 概念 质点系质点系角动量定理角动量定理 理解理解角动量守恒定律角动量守恒定律及适用条件及适用条件 用用 于分析计算有关问题 于分析计算有关问题 教学内容教学内容 学时 学时 4 4 学时 学时 3 3 1 1 质点的动量定理质点的动量定理 3 2 3 2 质点系的动量定理质点系的动量定理 3 3 3 3 动量守恒定律动量守恒定律 3 4 3 4 角动量角动量 质点的角动量定理质点的角动量定理 3 5 3 5 角动量守恒定律角动量守恒定律 2 3 6 3 6 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 教学重点教学重点 建立动量 角动量的概念 建立动量 角动量的概念 掌握力的冲量与动量的变化量的关掌握力的冲量与动量的变化量的关 系 系 理解力矩的冲量矩与角动量的变化理解力矩的冲量矩与角动量的变化 量的关系 量的关系 掌握动量守恒定律以及适用条件 掌握动量守恒定律以及适用条件 理解角动量守恒定律及其适用条件 理解角动量守恒定律及其适用条件 教学难点教学难点 动量 动量 动量定理 动量定理 动量守恒定律的矢动量守恒定律的矢 量性量性 建立角动量的概念建立角动量的概念 角动量 角动量 角动量定理 角动量定理 角动量守恒定角动量守恒定 律的矢量性 律的矢量性 作业作业 3 3 0 01 1 3 3 0 03 3 3 3 0 07 7 3 3 0 09 9 3 3 1 12 2 3 3 1 15 5 3 3 1 16 6 3 3 1 17 7 3 3 1 18 8 3 3 1 19 9 3 3 3 1 1 质点的质点的 动量定理动量定理 1 1 质点的动量质点的动量 P P mvmv 牛顿第二定律 牛顿第二定律 3 1 3 1 dt dP F 3 2 3 2 PFddt 2 2 力的冲量 力的冲量 力对时间的累积力对时间的累积 dtF 1 1 恒力的冲量 恒力的冲量 t FI 2 2 变力在 变力在dtdt时间内的微冲量 时间内的微冲量 dtdFI 变力在变力在t t1 1 t t2 2的一个过程中的冲量 的一个过程中的冲量 4 2 1 t t dtFI 3 3 3 3 12 PP 3 4 3 4 12 PPI 式中式中 P P2 2为质点在为质点在t t2 2时刻时刻 的动量 的动量 P P1 1为质点在为质点在t t1 1时刻时刻 的动量 的动量 动动 量定理量定理 积分形式积分形式 说明说明 合外力在一段时间内冲量等于质点在合外力在一段时间内冲量等于质点在 同一段时间内动量的增量 同一段时间内动量的增量 在一维情况下 冲量是在一维情况下 冲量是F F t t曲线图中曲线图中 冲力曲线与横轴间的面积冲力曲线与横轴间的面积 F F t t1 O 5 将将 3 3 3 3 3 4 3 4 式投影到坐标轴上就式投影到坐标轴上就 是质点动量定理的分量形式 是质点动量定理的分量形式 例如对例如对x x y y z z轴就有轴就有 2 1 12 t t xxxx PPdtFI 2 1 12 t t yyyy PPdtFI 2 1 12 t t zzzz PPdtFI 力在哪一个坐标轴方向形成冲量 力在哪一个坐标轴方向形成冲量 动量在该方向分量就发生变化 动量分动量在该方向分量就发生变化 动量分 量的增量等于同方向上冲量的分量 量的增量等于同方向上冲量的分量 动量定理常用于碰撞 冲击一类动量定理常用于碰撞 冲击一类 问题 物体所受力叫做冲力 问题 物体所受力叫做冲力 冲力的量值往往很大 作用时间冲力的量值往往很大 作用时间 则往往很短则往往很短 图图 3 23 2 实线实线 3 3 合力的冲量 合力的冲量 6 i t t i t t i t t 2 1 2 1 2 1 dtdtdtIFFFI 4 4 一对力的冲量 一对力的冲量 IFFI 2 1 2 1 t t t t dtdt 3 3 质点动量定理的微分形式 质点动量定理的微分形式 即牛顿第即牛顿第 二定律二定律 合外力 合外力 dt dP F 即 质点所受的合外力等 即 质点所受的合外力等 于质点动量对时间的变化率 于质点动量对时间的变化率 或 或 PFddt 4 4 质点的动量定理的积分形式 质点的动量定理的积分形式 合外力的冲量 合外力的冲量 12 1 2 2 1 PPPF P P ddt t t 7 即即 在在一一过过程程中中 质质点点受受到到合合 外外力力冲冲量量等等于于质质点点动动量量的的增增量量 几何上即几何上即I I P P1 1 P P2 2构成闭合 构成闭合 三角形 三角形 5 5 质点动量定理的分量形式 质点动量定理的分量形式 2 1 12 t t xxxx PPdtFI 2 1 12 t t yyyy PPdtFI 2 1 12 t t zzzz PPdtFI 6 6 平均冲力 平均冲力 p1 p2 I 8 ttt dt 12 t t 2 1 I F F 例例 3 13 1 质量质量m m 1 0kg1 0kg 小球以初速率小球以初速率 v v0 0 20 0m s20 0m s 沿水平方向抛出 沿水平方向抛出 求 一秒钟之后小球速度的大求 一秒钟之后小球速度的大 小和方向小和方向 不计空气阻力不计空气阻力 I p1 p2 解解 此题可用动量定理求解 此题可用动量定理求解 小球抛出时的初动量小球抛出时的初动量 沿水平方向 沿水平方向 m s0kg2 01 mvP 一秒钟内小球所受重力冲量一秒钟内小球所受重力冲量 9 方向竖直向下 方向竖直向下 sN8 9 tmgI 根据根据 3 4 3 4 矢量关系可作图 则一矢量关系可作图 则一 秒钟后动量秒钟后动量P P2 2的大小为的大小为 m skg3 22 8 9 20 2222 12 IPP 速度大小为 速度大小为 m s3 22 2 m P v 速度方向为速度方向为 1 26 20 8 9 arctan arctan P I 例例 3 23 2 质量质量m m 0 15kg0 15kg 的小球以的小球以v v0 0 10m s 10m s 速度射向光滑地面 速度射向光滑地面 入射角入射角 然后沿 然后沿 30 1 的反射角方向弹出 的反射角方向弹出 60 2 设碰撞时间设碰撞时间 计算 计算 s01 0 t 小球对地面的平均冲力 小球对地面的平均冲力 10 x y m O v0 1 2 v 解解 因为地面光滑 地面对小球冲力沿因为地面光滑 地面对小球冲力沿 法线方向竖直向上 法线方向竖直向上 水平方向小球不受作用力 设地面水平方向小球不受作用力 设地面 对小球的平均冲力为对小球的平均冲力为 F 碰后小球速度为碰后小球速度为v v 建立坐标如图 建立坐标如图 根据质点的动量定理有 根据质点的动量定理有 102 sinsin0 mvmvIx cos cos 102 mvmvtmgI y F 11 由此得由此得 2 1 0 sin sin vv mg t mv F 2 210 sin sin 代入数据代入数据 N1758 915 0 2301 0 1015 0 F 小球对地面的平均冲力就是小球对地面的平均冲力就是的的 F 反作用力 反作用力 本题考虑重力作用 重力本题考虑重力作用 重力 不到 不到 1 1 N47 1 8 915 0 mg F 可忽略不计 可忽略不计 3 2 3 2 质点系的质点系的 12 动量定理动量定理 1 1 概念概念 质点系质点系 外力外力 内力内力 2 2 质点系的动量定理 质点系的动量定理 微分形式微分形式 对对i i质点应用质点的动量定理 质点应用质点的动量定理 dt d i iii P FFF 内外 对质点系中对质点系中n n个质点求和 个质点求和 i i i i i i dt dP FF 内外 3 5 3 5 由于内力总是成对出现由于内力总是成对出现 0 i i 内 F 故 故 dt dP F 外 3 6 3 6 或或 PFddt 外 13 3 3 质点系的动量定理 质点系的动量定理 积分形式积分形式 在一个过程中在一个过程中 12 2 1 PPPF P P ddt t 外 3 7 3 7 或 或 PPPI 12外 3 8 3 8 例例 3 33 3 木板木板B B静止置于水平台面上 静止置于水平台面上 小木块小木块A A放在放在B B板的一端上 板的一端上 已知已知m mA A 0 25kg0 25kg m mB B 0 75kg0 75kg A A与与B B间的摩擦因数间的摩擦因数 木板 木板 B B 与台面间与台面间 5 0 1 的摩擦因数的摩擦因数 1 0 2 现在给小木块现在给小木块A A一向右的水平一向右的水平 初速度初速度v v0 0 40m s 40m s 问问 经过多长时间经过多长时间A A B B恰好恰好 具有相同速度 具有相同速度 B B板足够长板足够长 14 解解 根据质点系的动量定理有 根据质点系的动量定理有 0 vmv mm tF ABA k r 以及以及 g mm F BA k r 2 得 得 21 0 2 1 v mm m v BA A 对小木块对小木块A A应用质点的动量应用质点的动量 定理定理 0 vmvmtF AA k r A B v0 15 以及以及 gmF A k r 1 解得 解得 g vv t 1 0 代入有关数据得 代入有关数据得 m s5 2 v s65 7 t 3 3 3 3 动动 量守恒定律量守恒定律 一一 动量守恒定律动量守恒定律 如果质点系所受的合外力为零 质如果质点系所受的合外力为零 质 点系的动量将保持不变 即 点系的动量将保持不变 即 0 外 F 3 3 恒矢量 i vP i i m 16 9 9 注意注意 1 1 动量守恒是指质点系总动量不变 动量守恒是指质点系总动量不变 各质 各质 恒矢量 i v i i m 点的动量是可以变化的 点的动量是可以变化的 2 2 当质点系内部的作用远远大于外 当质点系内部的作用远远大于外 力 力 F F 内内 F F 外外 或外力不太大而作用时间很短促 或外力不太大而作用时间很短促 可忽略外力效果 近似应用 可忽略外力效果 近似应用 3 3 动量守恒定律的分量形式为 动量守恒定律的分量形式为 若 若 则 则 0 x F 常量 i ixiv m 若 若 则 则 0 y F 常量 i iyiv m 若 若 则 则 0 z F 常量 i iziv m 合外力在哪一坐标轴上分量为零 该合外力在哪一坐标轴上分量为零 该 17 方向上质点系总动量分量方向上质点系总动量分量守恒守恒 二二 碰撞过程中的动量守恒现象碰撞过程中的动量守恒现象 碰撞碰撞 强烈而短暂 内力作用强 通强烈而短暂 内力作用强 通 常常 且作用时间短暂 且作用时间短暂 外内 FF 因此动量守恒 碰撞可分为因此动量守恒 碰撞可分为三类三类 1 1 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 碰撞后二体分开 碰撞后二体分开 系统动量守系统动量守 恒 机械能守恒恒 机械能守恒 表现为系统的总动能 表现为系统的总动能 前后相等 前后相等 2 2 非完全弹性碰撞 非完全弹性碰撞 碰撞后二体分开 碰撞后二体分开 系统动量守系统动量守 恒恒 机械能不守恒 机械能不守恒 3 3 完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰撞后二体合一 碰撞后二体合一 系统动量系统动量 守恒守恒 机械能不守恒 机械能不守恒 例例 3 43 4 质量为质量为m m1 1的小球的小球A A以速度以速度 沿沿x x轴正方向运动 轴正方向运动 0 v 与另一质量为与另一质量为m m2 2的静止小球的静止小球B B 18 在水平面内碰撞 在水平面内碰撞 碰后碰后A A沿沿y y轴正方向运动 轴正方向运动 B B 运动方向与运动方向与x x轴成轴成角 角 1 1 求求 碰撞后碰撞后A A的速率的速率v v1 1 和和B B的速率的速率v v2 2 2 2 设碰撞的接触时间为设碰撞的接触时间为 t 求求 A A受到的平均冲力 受到的平均冲力 A v0 v1 v2 x y B 解解 1 1 以以A A B B两球构成系统 合外两球构成系统 合外 力为零 系统的动量守恒 力为零 系统的动量守恒 建立坐标如图 应用动量守恒建立坐标如图 应用动量守恒 定律的分量形式 定律的分量形式 x x方向方向 0122 cosvmvm 19 y y方向方向 0sin 2211 vmvm 联解 得 联解 得 tan 01 vv cos 2 01 2 m vm v 2 2 以小球以小球A A为研究对象 由质点的为研究对象 由质点的 动量定理动量定理 x x方向方向 t vm t vmvm F xx x 010111 y y方向方向 t vm t vmvm F yy y 11 0111 所以所以 的大小为 的大小为 F 2 1 2 0 1 2 11 201 22 vv t m t vm t vm FFF yx 20 与与x x轴的夹角为 轴的夹角为 F arctan arctan 0 1 v v F F x y 三三 动量守恒定律与牛顿运动定律动量守恒定律与牛顿运动定律 牛顿运动定律导出牛顿运动定律导出 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 动量守恒定律动量守恒定律远比牛顿定律更广远比牛顿定律更广 泛 更深刻揭示物质世界一般规律 其泛 更深刻揭示物质世界一般规律 其 适用范围 大到宇宙 小到微观粒子 适用范围 大到宇宙 小到微观粒子 可得宇宙中动量总量不变的结论 可得宇宙中动量总量不变的结论 动量动量 守恒定律守恒定律为自然界普遍遵从定律 为自然界普遍遵从定律 下面从动量守恒定律出发导出牛顿第二 下面从动量守恒定律出发导出牛顿第二 三定律三定律 设有质点设有质点 1 1 和质点和质点 2 2 构成一个封闭系构成一个封闭系 统 统 两个质点不受外界作用 只有彼此间两个质点不受外界作用 只有彼此间 相互作用 相互作用 根据根据动量守恒定律动量守恒定律 系统总动量保持 系统总动量保持 不变 不变 恒矢量 21 PPP 但两质点通过彼此间相互作用交换动但两质点通过彼此间相互作用交换动 21 量 因此 量 因此 21 PP 即 即 质点质点 1 1 获得 获得 1011 PPP 质点质点 2 2 失去 失去 2022 PPP 有 有 tT 21 PP 令令 则有 则有 0 t 3 10 3 10 dt d dt d 21 PP 表明表明 两物体相互作用彼此施加两物体相互作用彼此施加 力力 22 使动量发生变化 因此定义 使动量发生变化 因此定义 质点质点 1 1 对质点对质点 2 2 的作用力 的作用力 3 11 3 11 dt d 2 21 P F 质点质点 2 2 对质点对质点 1 1 的作用力 的作用力 3 11 3 11 dt d 1 12 P F 得 得 2112 FF 牛牛 顿第三定律顿第三定律 由此可知由此可知 作用力与反作用力大小相等 方向相作用力与反作用力大小相等 方向相 反反 与与 动量守恒动量守恒 对质点系等价 对质点系等价 考虑一质点 所受力都是外力 由考虑一质点 所受力都是外力 由 3 11 3 11 或或 3 11 3 11 dt dP F 外 再考虑到 再考虑到 vPm 及低速时质量及低速时质量m m是常量 则 是常量 则 23 a vv Fm dt d m dt md 外 牛顿第二定律牛顿第二定律 注意注意 从历史上看 动量守恒定律从实验从历史上看 动量守恒定律从实验 研究得到 研究得到 迄今 尚未发现与动量守恒定律相迄今 尚未发现与动量守恒定律相 悖的现象 悖的现象 动量守恒定律和动量定理都只对惯动量守恒定律和动量定理都只对惯 性参照系成立 性参照系成立 在非惯性参照系中则需要加上惯性在非惯性参照系中则需要加上惯性 力才能应用 力才能应用 例例 3 53 5 如图所示 一轻绳悬挂质量为如图所示 一轻绳悬挂质量为 m m1 1的砂袋静止下垂 的砂袋静止下垂 质量为质量为m m2 2的子弹以速度的子弹以速度v v0 0倾倾 斜角斜角 射入砂袋中不再出来 射入砂袋中不再出来 求 子弹与砂袋一同开始运动求 子弹与砂袋一同开始运动 时的速度 时的速度 24 v0 O m1 m2 解解 在子弹射入过程中以子弹和砂袋构在子弹射入过程中以子弹和砂袋构 成一系统 成一系统 竖直方向受重力竖直方向受重力 忽略忽略 和绳冲力和绳冲力 不可忽略不可忽略 动量竖直分量不守恒 在 动量竖直分量不守恒 在 水平方向上系统不受外力作用 水平方向上系统不受外力作用 动量水动量水 平分量守恒平分量守恒 设碰后子弹与砂袋以共同速度设碰后子弹与砂袋以共同速度v v开开 始运动 始运动 vmmvm sin 2102 得得 0 21 2 sin v mm m v 例例 3 63 6 小游船靠岸的时候速度已几乎小游船靠岸的时候速度已几乎 减为零 减为零 25 坐在远离岸端的一位游客站起坐在远离岸端的一位游客站起 来走向船近岸端准备上岸 来走向船近岸端准备上岸 设游人体重设游人体重m m1 1 50kg 50kg 小游船重 小游船重 m m2 2 100kg 100kg 小游船长 小游船长 L 5mL 5m 问 游人能否一步跨上岸 问 游人能否一步跨上岸 水水 的阻力不计的阻力不计 m2 m1 v1 x2 x1 解解 该系统该系统水平方向动量守恒水平方向动量守恒 设游客速度为设游客速度为v v1 1 游船速度为 游船速度为v v2 2 则有 则有 0 2211 vmvm 积分得积分得 26 0 2211 dtvmdtvm tt 即即 1 1 0 2211 xmxm 其中 其中 tdt vx 11 为游客和游船对岸位移 为游客和游船对岸位移 t dtvx 22 按相对运动的位移关系按相对运动的位移关系 2121 xxx 游客对游船的位移游客对游船的位移 Lx 12 故有故有 2 2 21 xLx 联立求解联立求解 1 1 2 2 两式 可得两式 可得 游客对岸的位移 游客对岸的位移 m33 35 10050 100 21 2 1 L mm m x 27 游船对岸的位移游船对岸的位移 m67 15 10050 50 21 1 2 L mm m x 负号表示游船对岸后退了 负号表示游船对岸后退了 1 671 67 米 米 2 20 00 08 8 0 03 3 1 12 2 3 4 3 4 角动量角动量 质点质点 的角动量定理的角动量定理 v r L A m 一一 质点的角动量质点的角动量L L 1 1 角动量描述物体的转动角动量描述物体的转动 质点相对于质点相对于O O点的角动量为 点的角动量为 28 vrPrLm 3 12 3 12 角动量等于质点对角动量等于质点对O O点的矢径点的矢径 与动量的矢积 与动量的矢积 2 2 角动量的大小 角动量的大小 根据矢积计算规则为 根据矢积计算规则为 sinsinmrvPrL 3 13 3 13 角动量的方向由矢积方向的右角动量的方向由矢积方向的右 手定则确定 手定则确定 注意注意 角动量必须针对某一确定 角动量必须针对某一确定 的的 O O 点 点 二二 力矩力矩 1 1 力矩定义 力矩定义 力的作用点的矢径力的作用点的矢径r r与力与力F F的矢的矢 积积 FrM 3 143 14 29 F r d A O M 力矩的大小 力矩的大小 dFFrM sin 力矩的方向 力矩的方向 由右手定则确由右手定则确 定定 2 2 力矩的冲量矩 力矩的冲量矩 力矩对时间的累力矩对时间的累 积积 力矩在力矩在dtdt时间内的微冲量矩为 时间内的微冲量矩为 dt 外 M 力矩在力矩在t t1 1 t t2 2过程中的冲量矩为 过程中的冲量矩为 dt t t 2 1 外 M 三 三 质点的角动量定理质点的角动量定理 1 1 角动量定理的微分形式 角动量定理的微分形式 质点角动量对时间的变化率质点角动量对时间的变化率 30 外 外 Fr FrPv P rP r Pr L dt d dt d dt d dt d 第一项 第一项 V V 与动量与动量P mvP mv同同 方向 二者矢积等于零 方向 二者矢积等于零 由由 得 得 外外 FrM dt dL M 外 3 15 3 15 即质点受到的合外力矩等于质点 即质点受到的合外力矩等于质点 角动量对时间的变化率 角动量对时间的变化率 或 或 dtd 外 ML 角角 动量定理的微分形式动量定理的微分形式 2 2 角动量定理的积分形式 角动量定理的积分形式 31 12 2 1 2 1 LLLM L L ddt t t 外 3 16 3 16 角动量定理的积分形式角动量定理的积分形式 在一个过程中 质点受合外力矩的 在一个过程中 质点受合外力矩的 冲量矩等于质点角动量增量 冲量矩等于质点角动量增量 t t1 1到到t t2 2 12 LLL 时间内质点角动量的增量时间内质点角动量的增量 注意注意 力矩与角动量必须对同 力矩与角动量必须对同 一参考点 一参考点 例例 3 73 7 已知地球的质量已知地球的质量 m m 6 06 0 101024 24 kgkg 地球与太阳的中心距离地球与太阳的中心距离 r r 1 5 1 5 101011 11 m m 若近似认为地球绕太阳作匀速若近似认为地球绕太阳作匀速 率圆周运动 率圆周运动 v v 3 3 10104 4m sm s 求 地球对太阳中心的角动量 求 地球对太阳中心的角动量 32 O r v L m 解解 作示意图如图 作示意图如图 O O点为太阳中心 点为太阳中心 地球对太阳中心的角动量为 地球对太阳中心的角动量为 vrLm 因为因为r r与与v v垂直 垂直 故角动 故角动 2 量的大小为 量的大小为 smkg rmvmvr 107 2 103100 6105 1 2 sin 240 42411 L 在图示情况下在图示情况下L L垂直于垂直于r r v v 构成的平面 方向向上构成的平面 方向向上 可见可见 对于做圆周运动的质点 由于矢对于做圆周运动的质点 由于矢 径径r r与速度与速度v v时时都彼此垂直 时时都彼此垂直 故质点对圆心故质点对圆心O O的角动量的大小的角动量的大小 33 L L mrvmrv 方向向上 方向向上 如果是做匀速率圆周运动 角动如果是做匀速率圆周运动 角动 量是一常矢量 量是一常矢量 例例 3 83 8一质点以速度一质点以速度v v沿沿l l方向作直方向作直 线运动 已知质点质量线运动 已知质点质量m m O O点到直线垂直距离为点到直线垂直距离为d d 求 求 质点对直线外一点质点对直线外一点O O的角动量 的角动量 v l m O d 解解 设任一时刻质点到设任一时刻质点到 O O 点的矢径为点的矢径为 r r 如图如图 质点角动量的大小根据质点角动量的大小根据 3 13 3 13 为为 mvdrmvL sin d d为为O O到到l l的垂直距离 的垂直距离 O O 到到v v延长线的垂直距离延长线的垂直距离 动量臂 动量臂 因此角动量的大小为因此角动量的大小为 PdL 34 若质点作匀直运动 任意时刻质点若质点作匀直运动 任意时刻质点 对对O O点角动量大小和方向恒定 点角动量大小和方向恒定 3 5 3 5 角动角动 量守恒定律量守恒定律 1 1 角动量守恒定律角动量守恒定律 如果合外力矩等于零 质点的角动如果合外力矩等于零 质点的角动 量守恒 即若量守恒 即若 则 则 0 外 M 恒矢量 PrL 角动量守恒定律角动量守恒定律 注意注意 角动量守恒定律条件角动量守恒定律条件 质点所受的合质点所受的合 外力矩为零外力矩为零 两种实现的可能两种实现的可能 质点所受的合外力为零质点所受的合外力为零 则合外力 则合外力 矩为零 矩为零 但 但力与作用点矢径同力与作用点矢径同 0 外 F 35 一直线一直线 力臂为零 力矩为零 力臂为零 力矩为零 在有心力场 如万有引力场 点电荷 在有心力场 如万有引力场 点电荷 的库仑场中常见 的库仑场中常见 例例 3 93 9 我国第一颗人造地球卫星绕地我国第一颗人造地球卫星绕地 球运行的轨道为一椭圆 球运行的轨道为一椭圆 地球在椭圆的一个焦点上 卫地球在椭圆的一个焦点上 卫 星在近地点和远地点时距地心星在近地点和远地点时距地心 分别为分别为r r1 1 6 82 10 6 82 106 6m m 和和 r r2 2 8 76 10 8 76 106 6m m 在近地点时的速度在近地点时的速度 v v1 1 8 1 10 8 1 103 3m sm s 求 卫星在远地点时的速度求 卫星在远地点时的速度 v v2 2 r2 r1 v1 v1 v2 解解 如图卫星在轨道上任一处受地球引如图卫星在轨道上任一处受地球引 力始终指向地心 力矩为零 力始终指向地心 力矩为零 卫星对地心角动量守恒 在近地点卫星对地心角动量守恒 在近地点 36 角动量等于在远地点角动量 角动量等于在远地点角动量 设卫星质量为设卫星质量为 m m 在近地点 在近地点 111 vmrL 在远地点 在远地点 222 vmrL 角动量守恒角动量守恒 21 LL 得 得 m s103 6 1031 8 1076 8 1082 6 3 3 6 6 1 2 1 2 v r r v 本例 卫星受地球引力作用 引力冲本例 卫星受地球引力作用 引力冲 量改变卫星动量 量改变卫星动量 动量不守恒动量不守恒 但引力对地心力矩为零 卫星对地心但引力对地心力矩为零 卫星对地心 角动量守恒角动量守恒 重要性 重要性 例例 3 103 10 光滑水平台面上有一质量为光滑水平台面上有一质量为m m 的物体拴在轻绳一端 的物体拴在轻绳一端 轻绳的另一端穿过台面上的轻绳的另一端穿过台面上的 小孔被一只手拉紧 小孔被一只手拉紧 37 并使物体以初始角速度并使物体以初始角速度 作半径作半径的圆周运动 如图 的圆周运动 如图 0 0 r 手拉着绳以匀速率手拉着绳以匀速率v v向下运向下运 动 使半径逐渐减小 半径减小动 使半径逐渐减小 半径减小 为为r r时物体的角速度时物体的角速度 若 若 以向下拉动时为计时起点以向下拉动时为计时起点 t t 0 0 求求 角速度与时间的关系 角速度与时间的关系 t m r0 0 解解 在水平方向上 物体在水平方向上 物体 m m 只受绳拉只受绳拉 力作用 拉力对小孔的力矩为零 物体力作用 拉力对小孔的力矩为零 物体 对小孔的角动量守恒 对小孔的角动量守恒 00v mrmrv 38 考虑到考虑到 000 rv 应有 应有 rv 0 2 0 2 mrmr 所以 所以 0 2 2 0 r r 再按题意 再按题意 代 代 vtrr 0 入上式 入上式 0 2 0 2 0 vtr r 例例 3 113 11用角动量守恒定律再解例用角动量守恒定律再解例 3 53 5 一轻绳悬挂质量 一轻绳悬挂质量m m1 1的砂的砂 袋袋 静止下垂 质量静止下垂 质量m m2 2的子弹以的子弹以 v v0 0倾斜角倾斜角 射入砂袋中不再出来 射入砂袋中不再出来 求 子弹与砂袋一同开始运动求 子弹与砂袋一同开始运动 时的速度 时的速度 39 v0 O m1 m2 解解 在子弹射入砂袋的过程中 将子弹在子弹射入砂袋的过程中 将子弹 和砂袋视为一个系统 和砂袋视为一个系统 除碰撞内力外 属于外力的重力及除碰撞内力外 属于外力的重力及 绳拉力对悬挂点绳拉力对悬挂点 O O 都不形成都不形成 力矩 故系统的角动量守恒 力矩 故系统的角动量守恒 vlmmlvm sin 2102 所以所以 与例与例 3 53 5 的结的结 sin 21 02 mm vm v 果一致 果一致 3 6 3 6 质点系的质点系的 40 角动量定理角动量定理 1 1 质点系的角动量质点系的角动量 系统中各质点对同一参考点的系统中各质点对同一参考点的 角动量的矢量和 角动量的矢量和 ii i i i i m vrLL 2 2 质点系的角动量定理的微分形式 质点系的角动量定理的微分形式 作用于质点系各质点的力作用于质点系各质点的力分为分为 外力和内力 外力和内力 外力形成外力矩外力形成外力矩 i外 M 内力形成内力矩内力形成内力矩 i内 M 合力矩为外力矩和内力矩的合力矩为外力矩和内力矩的 矢量和矢量和 对同一参考点对同一参考点 为 为 iii内外 MMM 对质点系中第对质点系中第i i个质点 应用质个质点 应用质 点角动量定理点角动量定理 41 dt d i iii L MMM 内外 求和 求和 3 17 3 17 i i i i i i i i dt dL MMM 内外 对整个系统对整个系统 故 故 0 i i内 M 3 18 3 18 dt dL M 外 质质 点系角动量定理的微分形式点系角动量定理的微分形式 即 作用于质点系合外力矩等于质 即 作用于质点系合外力矩等于质 点系的角动量对时间的变化率 点系的角动量对时间的变化率 3 3 质点系的角动量定理的积分形式 质点系的角动量定理的积分形式 3 19 3 19 12 2 1 2 1 LLLM L L ddt t t 外 即 合外力矩的冲量矩 即 合外力矩的冲量矩 等于角动量的增量 等于角动量的增量 42 4 4 质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 如果作用于质点系的合外力矩如果作用于质点系的合外力矩 为零 即 为零 即 若若 则 则 0 外 M i i 恒矢量LL 质质 点系的角动量守恒点系的角动量守恒 例例 3 123 12 长长a a的轻质细杆可在光滑水平的轻质细杆可在光滑水平 面上绕过中心的竖直轴转动 面上绕过中心的竖直轴转动 细杆的两端分别固定质量为细杆的两端分别固定质量为 m m1 1和和m m2 2的小球 且静止不动 的小球 且静止不动 有一质量有一质量m m3 3的小粘性泥团以的小粘性泥团以 水平速度水平速度v v0 0且与杆成且与杆成角方向角方向 射向射向m m2 2 并且粘在 并且粘在m m2 2上 如上 如 图 图 设 设 321 mmm 求 杆开始旋转时的角速度求 杆开始旋转时的角速度 43 m2 m1 O m3 v0 v1 r1 r2 v2 解解 将三个质点将三个质点m m1 1 m m2 2和和m m3 3设想为一设想为一 个质点系 个质点系 在在m m3 3与与m m2 2碰撞的过程中 只有轴碰撞的过程中 只有轴 O