第一章 推理与证明

北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 1 页 共 7 页 第一章第一章 推理与证明推理与证明 一 知识要点 1 合情推理 1 定义 前提为真时结论可能为真的推理 是一种或然性的推理 是根据已有的事实和正确 的结论 包括定义 公理 定理等 实验和实践的结果 以及个人的经验和直觉推测某些结果的推 理过程 2 注意 前提为真时 结论可能为真 也可能为真 学会观察 想象 养成归纳和类比 2 归纳推理 1 定义 根据一类事物的部分对象具有某种性质 推断出这类事物的所有对象都具有这种性质 的推理 叫作归纳推理 2 步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 简称为 观察 归纳 猜想 3 注意 归纳推理是从特殊到一般 从具体到抽象的推理形式 因而 由归纳所得的结论超 越了前提所包含的范围 归纳是根据已知的条件 现象 推断未知的结论 现象 因而结论具有猜测的性 质 归纳推理是以观察 经验或实验为基础的 类比推理 1 定义 根据两类不同的事物之间具有某些类似 或一致 性 其中一类事物具有与另一类事 物类似 或相同 的性质的推理 叫作类比推理 简称类比 2 步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 3 注意 类比是用一类事物的特殊性推测另一类事物的特殊性 类比的结果是猜测性的 不一定正确 演绎推理 1 定义 根据一般性的真命题 或逻辑规则 导出特殊性命题为真的推理 叫作演绎推理 演 绎推理的特征是 当前提为真时 结论必然为真 2 注意 在数学中 证明命题的正确性 都是使用演绎推理 而合情推理不能用作证明 演绎推理是一个命题由其他命题推出 其根据市形式结构之间的关系 而与命题的 具体内容无关 综合法 1 定义 由题设的已知条件出发 运用一系列有关已确定真实性的命题作为推理的依据 逐步 推演而得到要证明的结论的思维方法 2 步骤 从已知条件出发 推出证明结论所需的条件 由结论所需要的条件 再推出结论 特点 推理方向是有已知到求证 表现为由因到果 符号表示 3210 结论已知 n PPPPP 3 注意 综合法是由因到果 便于叙述 综合法是顺推 条理清晰 易于表述 缺点是探路难 易生枝节 分析法 北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 2 页 共 7 页 1 定义 由结论到已知 论证中步步寻找使结论成立的充分条件 如此逐步归结到已知的条 件或已经成立的事实 2 步骤 从待证的结论出发 寻找它成立的充分条件 由这个充分条件 再寻找它成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或已被证明 的事实 3 注意 分析法标语寻找解题思路 分析法是执果索因 用分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 反证法 1 定义 假设结论的反面成立 在已知条件和 否定结论 这个新条件下 通过逻辑推理 得出 与定义 公理 定理 题设 临时假定相矛盾或自相矛盾 从而判定结论的反面不能成立 即证明 了命题的结论一定是正确的 2 步骤 分清命题的条件和结论 作出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因在于开始做的假定不真 于是原结论成立 从而间接地证明 命题为真 3 注意 反证法与证眤否命题是不同的 反证法得出的矛盾可以是 与已知矛盾 与公理 定理 公式或已被证明了的结论矛 盾 与公认的简单事实矛盾 自相矛盾 数学归纳法 1 定义 设是与自然数有关的命题的集合 如果 1 证明起始命题 或 成立 2 在 n P 1 P 0 P 假设成立的前提下 推出也成立 那么可以断定对于一切正整数 或自然数 成立 k P 1 k P n P 数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题 它是帮助我们判断种种与自然数 有关的猜想 的正确性 2 步骤 第一步 证明当取第一个值时结论正确 n 00 Nnn 第二步 假设当时结论正确 证明当时结论也正确 0 nkNkkn 1 kn 综合第一步 第二步 对于任何命题均正确 3 注意 用数学归纳法可证明有关的正整数的问题 但并不是所有的正整数问题都必须用数学归 纳法证明 学习时要具体问题具体分析 4 应用 证明等式 证明不等式 证明几何命题 证明整除性命题 证明其它数学问题 2 典型例题 例 1 已知数列的通项公式 试通 n a 2 1 1 n anN n 12 1 1 1 n f naaa 过计算的值 推测出的值 1 2 3 fff f n 学生讨论 学生讨论结果预测如下 1 1 13 1 11 44 fa 北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 3 页 共 7 页 12 13 824 2 1 1 1 1 94 936 faaf 123 12 155 3 1 1 1 2 1 163 168 faaaf 由此猜想 2 2 1 n f n n 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 直角三角形直角三角形 3 个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体 C 90 3 个边的长度个边的长度 a b c 2 条直角边条直角边 a b 和和 1 条斜边条斜边 c PDF PDE EDF 90 4 个面的面积个面的面积 S1 S2 S3 和和 S 3 个个 直角面直角面 S1 S2 S3 和和 1 个个 斜面斜面 S 例 3 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 分析 不等式左边含有 a2 b2 的形式 我们可以运用基本不等式 a2 b2 2ab 还可以这样 思考 不等式左边出现有三次因式 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2的 和 右边有三正数 a b c 的 积 我们可以运用重要不等式 a3 b3 c3 3abc 证 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 同理 b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 当且仅当 b c c a a b 时取等号 而 a b c 是不全相等的正数 三式不同时取等号 三式相加得 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 例 4 设 x 0 y 0 证明不等式 3 1 33 2 1 22 yxyx 证一 分析法 所证不等式即 233322 yxyx 即 3366222266 2 3yxyxyxyxyx 即 332222 2 3yxyxyx 北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 4 页 共 7 页 只需证 xyyx 3 2 22 xyxyyx 3 2 2 22 成立 3 1 33 2 1 22 yxyx 证二 综合法 3366222266322 6 3 yxyxyxyxyxyx 2333366 2yxyxyx x 0 y 0 3 1 33 2 1 22 yxyx 例 5 若 x y 0 且 x y 2 则 x y 1 和 y x 1 中至少有一个小于 2 反设 x y 1 2 y x 1 2 x y 0 可得 x y 2 与 x y 2 矛盾 原式成立 例 6 证明等差数列通项公式 dnaan 1 1 证明 1 当n 1 时等式成立 2 假设当n k时等式成立 即 则 dkaak 1 1 daa kk 1 dka 1 1 1 即n k 1 时等式也成立 3 于是 我们可以下结论 等差数列的通项公式对任何n 都成立 dnaan 1 1 N 例 7 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 2 n 三 基础检测 测测 试试 题题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 下列表述正确的是 D 归纳推理是由部分到整体的推理 归纳推理是由一般到一般的推理 演绎推理是由一般到特 殊的推理 类比推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 2 下面使用类比推理正确的是 C A 若 则 类推出 若 则 33ab ab 00ab ab B 若 类推出 ab cacbc a b cac bc 北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 5 页 共 7 页 C 若 类推出 c 0 ab cacbc abab ccc D 类推出 nn aa b n b nn aab n b 3 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内所有直线 已知直线 平面 直线平面 直线 平面 则直线 直线 的结论显然是错误的 这是b a b ba 因为 A A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 非以上错误 4 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 时 反设正确的是 B A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 5 在十进制中 那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制 0123 20044 100 100 102 10 为 B A 29 B 254 C 602 D 2004 6 利用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N 时 在验证 n 1 成立 a a n 1 1 2 时 左边应该是 C A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 7 某个命题与正整数n有关 如果当时命题成立 那么可推得当时命题也 Nkkn1 kn 成立 现已知当时该命题不成立 那么可推得 A 7 n A 当 n 6 时该命题不成立B 当 n 6 时该命题成立 C 当 n 8 时该命题不成立D 当 n 8 时该命题成立 8 用数学归纳法证明 时 从 12 212 2 1 nnnnn n Nn 时 左边应增添的式子是 B 1 knkn到 A B C D 12 k 12 2 k 1 12 k k 1 22 k k 9 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 2 1 4 1 2 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 nnnn 若已假设为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 B 2 kkn A 时等式成立B 时等式成立1 kn2 kn C 时等式成立D 时等式成立22 kn 2 2 kn 10 数列中 a1 1 Sn表示前 n 项和 且 Sn Sn 1 2S1成等差数列 通过计算 S1 S2 S3 猜 n a 北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2 2 第 6 页 共 7 页 想当 n 1 时 Sn B A B C D 1 1 2 12 n n 1 2 12 n n n nn 2 1 1 2 1 n 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 11 一同学在电脑中打出如下若干个圈 若将此若干 个圈依此规律继续下去 得到一系列的圈 那么在前 120 个圈中的 的个数是 12 类比平面几何中的勾股定理 若直角三角形 ABC 中的两边 AB AC 互相垂直 则三角形三边长 之间满足关系 若三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC ACD ADB 两两互相垂直 222 BCACAB 则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 13 从 1 1 1 4 1 2 1 4 9 1 2 3 1 4 9 16 1 2 3 4 推广到第个等式为n 14 设平面内有 条直线 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若 3 n 用表示这 条直线交点的个数 则 f n 4 f 当 时 f n 用含 n 的数学表达式表示 三 解答题 本大题共本大题共 5 5 题 共题 共 4444 分 分 15 12 分 观察以下各等式 202000 3 sin 30cos 60sin30 cos60 4 202000 3 sin 20cos 50