高中数学竞赛几何专题(1)从调和点列到Apollonius圆到极线

20122012 暑期专题暑期专题 几何 几何 1 1 从交比到调和点列到从交比到调和点列到 ApolloniusApollonius 圆到极线极点圆到极线极点 2010 年 10 月 17 日结束的 2010 年全国高中数学联赛平面几何题目为 如图 1 锐角三 角形 ABC 的外心为 O K 是边 BC 上一点 不是边 BC 的中点 D 是线段 AK 延长 线上一点 直线 BD 与 AC 交于点 N 直线 CD 与 AB 交于点 M 求证 若 OK MN 则 ABDC 四点共圆 K N M O A B C D 图 1 本题颇有难度 参考答案的反证法让有些人 匪夷所思 其实这是一系列射影几何中 常见而深刻结论的自然 结晶 此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜 本文拟系 统的介绍交比 调和点列 完全四边形 Apollonius 圆 极线等射影几何的重要概念及应 用 抽丝剥茧 溯本求源 揭示此类问题的来龙去脉 并在文中给出上题的一种简洁明了 的直接证明 知识介绍知识介绍 定义定义 1 线束和点列的交比线束和点列的交比 如图 2 共点于 O 的四条直线被任意直线所截的有向线段比 称为线束 OA OC OB OD 或点列 ACBD 的交比交比 1 ACBC AD BD 定理定理 1 线束的交比与所截直线无关 B C O A D 图 2 证明 本文用 ABC 表示 ABC 面积 则 ACBCAOCBOC AODBODADBD sinsin sinsin sinsin sinsin COAOCCOCOB DOAODDOBOD AOCCOB AODBOD 从而可知线束交比与所截直线无关 定义定义 2 调和线束与调和点列 调和线束与调和点列 交比为 1 即的线束称为调和线束 点列称为 ACBC ADBD 调和点列 显然调和线束与调和点列是等价的 即调和线束被任意直线截得的四点均为调 和点列 反之 调和点列对任意一点的线束为调和线束 定理定理 2 调和点列常见形式 O 为 CD 中点 1 211 DCAABA 2 2 OCOB OA 3 AC AD AB AO 4 AB OD AC BD 证明 由基本关系式变形即得 从略 定理定理 3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行 由定义即得 证略 定义定义 3 完全四边形 完全四边形 如图 3 凸四边形 ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边形 ABCDEF AC BD EF 称为其对角线 一般的四条直线即交成完全四边形 2 定理定理 4 完全四边形对角线互相调和分割 即 AGCH BGDI EHFI 分别构成调和点列 G I H C A E D B F 图 3 分析 只需证 EHFI 为调和点列 其余可类似证得 也可由线束的交比不变性得到 证法一 面积法 HE IFAECBDF HFIEAFCBDE AECACDBDFBEF ACDAFCBEFBDE 即 1 EC AD DCAF CD AF ECAD HEIE HFIF 证法二 由 Ceva 定理 由 Menelaus 定理得到 1 BE AB DA FD HF EH 1 BE AB DA FD IF EI 故 即 EHFI 为调和点列 HEIE HFIF 定理定理 5 完全四边形 ABCDEF 中 四个三角形 AED ABF EBC FDC 的外接圆共点 称为完全四边形的密克 Miquel 点 证明 设出两圆交点 证它在其余圆上即可 O C D A B P 图 4 定义定义 4 阿波罗尼斯 阿波罗尼斯 Apollonius 圆 圆 到两定点 A B 距离之比为定值 k 01kk 且 的点的轨迹为圆 称为 Apollonius 圆 为古希腊数学家 Apollonius 最先提出并解决 2 注 当 k 1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆 证明 如图 4 由 AP kPB 则在 AB 直线上有两点 C D 满足故 ACADAP BCBDBP PC PD 分别为 APB 的内外角平分线 则 CP DP 即 P 点的轨迹为以 CD 为直径的圆 O O 为 CD 中点 注 解析法亦可证得 显然图 4 中 ACBD 为调和点列 定理定理 6 在图 4 中 当且仅当 PB AB 时 AP 为圆 O 的切线 证明 当 PB AB 时 APC BPC CDP 故 AP 为圆 O 的切线 反之亦然 定理定理 7 Apollonius 圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个 1 PC 或 PD 为 APB 内 外 角平分线 2 CP PD 3 ACBD 构成调和点列 证略 定义定义 5 反演反演 设 A 为 O r 平面上点 B 在射线 OA 上 且满足 OA OB r r 则称 A B 以 O 为基圆互为反演点 定理定理 8 图 4 中 以 Apollonius 圆为基圆 AB 互为反演点 由定理 2 2 即得 定义定义 6 极线与极点极线与极点 设 A B 关于 O r 互为反演点 过 B 做 OA 的垂线 l 称为 A 点 对圆 O 的极线 A 点称为 l 的极点 3 定理定理 9 当 A 点在 O 外时 A 的极线为 A 的切点弦 由定理 6 即得 B Q C P O A D 图 5 定理定理 10 若 A 的极线为 l 过 A 的圆的割线 ACD 交 l 于 B 点 则 ACBD 为调和点列 证明 如图 5 设 A 的切点弦为 PQ 则 即 ACBD 为调和点列 BCQPCCP CQAPACAC BDQPDDP DQAD AQAD 定理定理 11 配极定理配极定理 如图 6 若 A 点的极线通过另一点 D 则 D 点的极线也通过 A 一般 的称 A D 互为共轭点共轭点 证法一 几何法 作 AF OD 于 F 则 DFGA 共圆 得 OF OD OG OA 由定义 2 OI 6 知 AF 即为 D 的极线 G F J I H C B O A D 图 6 证法二 解析法 设圆 O 为单位圆 A D A 的极线方程为 11 x y 22 xy 由 D 在其上 得 则 A 在上 即 A 在 D 的极 11 1xxyy 2121 1x xy y 22 1xxyy 线上 定理定理 12 在图 6 中 若 A D 共轭 则 2 222 2222 ADA DO DG DG G BG DGBG A DO AA A 的幂的幂 对圆 证明 的幂的幂 对圆 定义定义 7 调和四边形 调和四边形 对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形 因圆上任意一点对此 四点的线束为调和线束 故以此命名 定理定理 13 图 5 中 PDQC 为调和四边形 证明 由定理 9 的证明过程即得 例题选讲例题选讲 例例 1 如图 7 过圆 O 外一点 P 作其切线 PA PB OP 与圆和 AB 分别交于 I M DE 为 过 M 的任意弦 求证 I 为 PDE 内心 2001 年中国西部数学奥林匹克 分析 其本质显然为 Apollonius 圆 证明 由定理 6 知圆 O 为 P M 的 Apollonius 圆 则 DI EI 分别为 PDE 的内角平分线 即 I 为 PDE 内心 I D M AB O P E 图 7 例例 2 如图 8 ABC 中 AD BC H 为 AD 上任一点 则 ADF ADE 1994 年加拿 大数学奥林匹克试题 L K E F D A B C H 图 8 证明 对完全四边形 AFHEBC 由定理 4 知 FLEK 为调和点列 又 AD BC 由定理 7 得 ADF ADE J G IH C A E D B F 图 9 例例 3 如图 9 完全四边形 ABCDEF 中 GJ EF 与 J 则 BJA DJC 2002 年中国国家 集训队选拔考试题 证明 由定理 4 及定理 7 有 BJG DJG 且 AJG CJG 则 BJA DJC 2 1 PDY Q D I X E F A B C 图 10 例例 4 已知 如图 10 ABC 内角平分线 BE CF 交于 I 过 I 做 IQ EF 交 BC 于 P 且 IP 2IQ 求证 BAC 60 证明 做 AX EF 交 BC 于 Y 由定理 4 知 AD ID 为调和点列 故 又 IP 2IQ 则 AX XY 即 EF 为 AY 中垂线 由正弦定理 IQD IDIPI AXD ADAYA 则 AFYC 共圆 同理 AEYB 共圆 故 12 CFFYFACF sin FYCsinsinsin FAC BYF BAC CYE EYF 故 BAC 60 E F G C A B O P D 图 9 例例 5 如图 11 P 为圆 O 外一点 PA PB 为圆 O 的两条切线 PCD 为任意一条割线 CF 平行 PA 且交 AB 于 E 求证 CE EF 2006 国家集训队培训题 证明 由定理 10 及定理 3 即得 例例 6 如图 12 PAB PCD 为圆 O 割线 AD 交 BC 于 E AC 交 BD 于 F 则 EF 为 P 的 极线 1997 年 CMO 试题等价表述 证法一 作 AEB 外接圆交 PE 于 M 则 PE PM PA PB PC PD 故 CDME 共圆 其实 P 为三圆根心且 M 为 PAECBD 密克点 从而 BMD BAE BCD BOD BOMD 共 圆 OMT OMB BMT ODB BAE 90 故 M 为 ST 中点 PS PT PA PB PE PM 由定理 2 3 知 E 在 P 极线上 同理 F 亦然 故 EF 为 P 的极线 S T M E C A O P B D 图 10 W V U T S E CA O P B D 图 11 证法二 如图 13 设 PS PT 为圆 O 切线 在 ABT 中 可以得到 AUBVTW UBVTWA sinsinsin sinsinsin ASAST BDBDA TCTCB BSBSTDTTDA ACACB 1 AS BD TCPSPB PC BSAC DTPB PC PT 由塞瓦定理逆定理知 ST AD BC 三线共点于 E 同理 F 亦然 故 EF 为 P 的极线 至此 点 P 在圆 O 外时 我们得到了 P 点极线的四种常见的等价定义 1 过 P 反演点做的 OP 的垂线 2 过 P 任意作割线 PAB AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线 3 P 对圆 O 的切点弦 4 过 P 任意做两条割线 PAB PCD AD BC 交点与 AC BD 交点的连线 注 切线为 割线特殊情形 故 3 4 是统一的 例例 7 ABC 内切圆 I 分别切 BC AB 于 D F AD CF 分别交 I 于 G H 求证 2010 年东南数学奥林匹克 3 DFGH FGDH H G C B A I F D E 图 12 证明 如图 14 由定理 13 知 GFDE 为调和四边形 据托勒密定理有 GD EF 2FG DE 同理 HF DE 2DH EF 相乘得 GD FH 4DH FG 又由托勒密定理 GD FH DH FG FD GH 代入即得 3 DFGH FGDH F G J K E C A B H D I 图 13 例例 8 已知 如图 15 ABC 内切圆切 BC 于 D AD 交圆于 E 作 CF CD CF 交 BE 于 G 求证 GF FC 2008 年国家队选拔 证明 设另两切点为 H I HI 交 BD 于 J 连 JE 由定理 10 知 AEKD 为调和点列 由定 理 11 知 AD 的极点在 HI 上 又 AD 极点在 BD 上 故 J 为 AD 极点 则 JE 为切线 BDCJ 为调和点列 由 CF CD 且 JD JE 知 CF JE 由定理 3 知 GF FC 注 例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列 例例 9 如图 16 圆内接完全四边形 ABCDEF 中 AC 交 BD 于 G 则 EFGO 构成垂心组 即 任意一点是其余三点的垂心 证明 据例 6 知 EG FG 共轭 由定理 12 22 22 EGFGEG GEFEOFO 的幂的幂 F的幂 的幂 的幂的幂 则 OG EF 其余垂直同理可证 P G F E O A B D C 图 14 注 EFG 称为极线三角形 本题结论优美深刻 初版于 1929 年的 4 已有介绍 它 涉及到调和点列 完全四边形 密克点 极线 Apollonius 圆 垂心组等几何中的核心内 容 本文开头提到的 2010 年联赛题为本题的逆命题 熟悉上述内容的情况下 采用参考答 案的反证法在情理之中 如图 1 设 D 不在圆 O 上 令 AD 交圆 O 于 E CE 交 AB 于 P BE 交 AC 于 Q 由例 9 得 PQ MN 由定理 4 得 MN AD 调和分割 BC 同理 PQ 亦 然 则 PQ MN BC 从而 K 为 BC 中点 矛盾 故 ABCD 共圆 其实本题也可直接证明 如下 如图 17 由例 3 得 1 2 又 K 不是 BC 中点 类 似例 4 证明可得 OBJC 共圆 MJB NJC BAC 由定理 5 得 J 为 1 2 BOC ABDCMN 密克点 则 BDM BJM BAN 故 ABDC 共圆 2 1 J K N M O A B C D 图 15 以例 9 为背景的赛题层出不穷 再举几例 以飨读者 例例 10 ADE 中 过 AD 的圆 O 与 AE DE 分别交于 B C BD 交 AC 于 G 直线 OG 与 ADE 外接圆交于 P 求证 PBD PAC 共内心 2004 年泰国数学奥林匹克 分析 本题显然为密克点 Apollonius 圆 极线及例 9 等深刻结论的简单组合 证明 如图 16 由定理 5 及例 9 知 PG 互为反演点 据定理 8 知圆 O 为 PG 的 Apollonius 圆 由例 1 知 PBD 与 PAC 共内心 例例 11 ABC 中 D 在边 BC 上且使得 DAC ABC 圆 O 通过 BD 且分别交 AB AD 于 E F DE 交 BF 于 G M 为 AG 中点 求证 CM AO 2009 年国家队选拔 K LJ M G C A O B D E F 图 16 证明 如图 18 设 EF 交 BC 于 J 由定理 3 得 AKGL 为调和点列 由定理 2 4 有 LK GM LG KA 又 CAD ABD JFD 故 EJ CA 则即 JG CM 而 LJLKLG JCKAGM 由例 9 有 JG OA 故 CM AO 例 9 中 OGEF 对圆外切四边形亦然 例例 12 如图 19 设圆 O 的外切四边形 A B C D 对边交于 E F A C 交 B D 交于 G 则 OG E F 2009 年土耳其国家队选拔 B D A E C F G F E O A B D C 图 17 证明 设四边切点为 ABCD AC 交 BD 于 G AB 交 CD 于 E AD 交 BC 于 F 由例 6 知 BD AC 极点 E F 在 EF 上 则 G 与 G 重合 由例 9 即得 OG E F L H M B D E C A O F G I 图 18 例例 13 如图 20 ABCD 为圆 O 的外切四边形 OE AC 于 E 则 BEC DEC 2006 年 协作题夏令营测试题 分析 由定理 7 知垂直证等角必为调和点列 证明 如图 20 做出辅助线 由例 12 知 FI GH BD 共点于 M 且为 AC 的极点 从而 OE 也过 M 且 BLDM 构成调和点列 由定理 7 得 BEC DEC 最后我们看一道伊朗题及其推广 例例 14 ABC 内切圆 I 切 BC 于 D AD 交 I 于 K BK