练习三刚体的定轴转动

练习三练习三 刚体的定轴转动 一 刚体的定轴转动 一 1 一个转动的轮子由于轴承摩擦力矩的作用 其转一个转动的轮子由于轴承摩擦力矩的作用 其转 动角速度渐渐变慢 第一秒末的角速度是起始角动角速度渐渐变慢 第一秒末的角速度是起始角 速度速度 0的的 0 8 倍 若摩擦力矩不变 第二秒末角速倍 若摩擦力矩不变 第二秒末角速 度为度为 用 用 0表示 表示 该轮子在静止之前共转了 该轮子在静止之前共转了 转 转 2 一个可视为质点的小球和两根长均为一个可视为质点的小球和两根长均为 l 的细棒刚的细棒刚 性连接成如图性连接成如图 3 2 所示的形状 假定小球和细棒的所示的形状 假定小球和细棒的 质量均为质量均为 m 那么 该装置绕过 那么 该装置绕过 O 点的点的 OZ 轴转轴转 动的转动惯量为动的转动惯量为 3 1 两个匀质圆盘两个匀质圆盘 A B 的密度分别为的密度分别为 A和和 B 且 且 A B 质量和厚度相同 两圆盘的旋转轴 质量和厚度相同 两圆盘的旋转轴 均通过盘心并垂直于盘面 则它们的转动惯量的均通过盘心并垂直于盘面 则它们的转动惯量的 关系是 关系是 1 IAIB 4 不能判断 不能判断 分析 分析 m 相等 相等 A B VA小 厚度相等 小 厚度相等 RA小 小 J 1 2mR2 所以所以 JA小小 4 3 一力矩一力矩 M 作用于飞轮上 飞轮的角加速度作用于飞轮上 飞轮的角加速度 为为 1 如撤去这一力矩 飞轮的角加速度为 如撤去这一力矩 飞轮的角加速度为 2 则该飞轮的转动惯量为 则该飞轮的转动惯量为 5 3 如图 如图 A 与与 B 是两个质量相同的小球 是两个质量相同的小球 A 球用一根不能伸长的绳子拴着 球用一根不能伸长的绳子拴着 B 球用橡皮筋拴着 球用橡皮筋拴着 把它们拉到水平位置 放手后两小球到达竖直位把它们拉到水平位置 放手后两小球到达竖直位 置时绳长相等 则此时两球的线速度置时绳长相等 则此时两球的线速度 1 2 BA VV BA VV 3 4 无法判断 无法判断 BA VV 6 4 一质量为一质量为 60kg 的人站在一质量为的人站在一质量为 60kg 半径为半径为 lm 的匀质圆盘的边缘 圆盘可绕与盘面相的匀质圆盘的边缘 圆盘可绕与盘面相 垂直的中心竖直轴无摩擦地转动 系统原来是静垂直的中心竖直轴无摩擦地转动 系统原来是静 止的 后来人沿圆盘边缘走动 当人相对圆盘的止的 后来人沿圆盘边缘走动 当人相对圆盘的 走动速度为走动速度为 2m s 时 圆盘角速度大小为时 圆盘角速度大小为 1 1rad s 2 2rad s 3 2 3rad s 4 4 3rad s 解 角动量守恒解 角动量守恒 7 如图如图 3 7 所示 物体所示 物体 1 和和 2 的质量分别为的质量分别为与与 1 m 滑轮的转动惯量为 滑轮的转动惯量为 半径为 半径为 2 mJr 1 如物体 如物体 2 与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为 求系统 求系统 的加速度的加速度及绳中的张力及绳中的张力和和 设绳子与滑轮 设绳子与滑轮a 1 T 2 T 间无相对滑动 滑轮与转轴无摩擦 间无相对滑动 滑轮与转轴无摩擦 2 如物体 如物体 2 与桌面间为光滑接触 求系统的加与桌面间为光滑接触 求系统的加 速度速度及绳中的张力及绳中的张力和和 a 1 T 2 T 图图 3 7 Jrmrm Jgmgrmmgrmm T Jrmrm Jgmgrmmgrmm T Jrmrm grmgrm a Jrmrm grmgrm 2 2 2 1 2 2 21 2 21 2 2 2 2 1 1 2 21 2 21 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 21 Jrmrm grmm T Jrmrm Jgmgrmm T Jrmrm grm a 2 2 2 1 2 21 2 2 2 2 1 1 2 21 1 2 2 2 1 2 1 0 2 时 当 8 一长为一长为 2l 质量为 质量为 3m 的细棒的两端粘有质量分的细棒的两端粘有质量分 别为别为 2m 和和 m 的物体 如图的物体 如图 3 8 所示 所示 此杆可绕 此杆可绕 中心中心 O 轴在铅直平面内转动 先使其在水平位置 轴在铅直平面内转动 先使其在水平位置 然后静止释放 求 然后静止释放 求 1 此刚体的转动惯量 此刚体的转动惯量 2 水平位置时的杆的角加速度 水平位置时的杆的角加速度 3 通过铅直位置时杆的角速度 通过铅直位置时杆的角速度 1 此刚体的转动惯量 此刚体的转动惯量 解 解 2222 42 2 3 12 1 mLmLmLLmJ 2 水平位置时的杆的角加速度 水平位置时的杆的角加速度 解 解 M J M 2mgL mgL L g 4 3 通过铅直位置时杆的角速度 通过铅直位置时杆的角速度 解 机械能守恒 解 机械能守恒 0 0 mgL 2mgL 1 2J 2 Lg 2 练习四练习四 刚体的定轴转动 二 刚体的定轴转动 二 1 用一条皮带将两个轮子用一条皮带将两个轮子 A 和和 B 连接起来 轮与连接起来 轮与 皮带间无相对滑动 皮带间无相对滑动 B 轮的半径是轮的半径是 A 轮半径的轮半径的 3 倍 倍 1 如果两轮具有相同的角动量 则 如果两轮具有相同的角动量 则 A B 两轮两轮 转动惯量的比值为转动惯量的比值为 2 如果两轮具有相同的转动动能 则 如果两轮具有相同的转动动能 则 A B 两两 轮转动惯量的比值为轮转动惯量的比值为 2 某滑冰者转动的角速度原为某滑冰者转动的角速度原为 0 转动惯量为 转动惯量为 I0 当他收拢双臂后 转动惯量减少了当他收拢双臂后 转动惯量减少了 1 4 这时他转 这时他转 动的角速度为动的角速度为 他若不收拢双臂 而被 他若不收拢双臂 而被 另一个滑冰者作用 角速度变为另一个滑冰者作用 角速度变为 则另 则另 0 2 一滑冰者对他施加力矩所作的功一滑冰者对他施加力矩所作的功 A 为为 解 解 3 银河系有一可视为球体的天体 由于引力凝聚 银河系有一可视为球体的天体 由于引力凝聚 体积不断收缩 设它经过一万年体积收缩了体积不断收缩 设它经过一万年体积收缩了 1 而质量保持不变 则它的自转周期将而质量保持不变 则它的自转周期将 3 其转动 其转动 动能将动能将 1 1 增大 增大 2 不变 不变 3 减小 减小 4 3 一子弹水平射入一木棒后一同上摆 在上一子弹水平射入一木棒后一同上摆 在上 摆的过程中 以子弹和木棒为系统 则总角动量 摆的过程中 以子弹和木棒为系统 则总角动量 总动量及总机械能是否守恒 结论是 总动量及总机械能是否守恒 结论是 1 三量均不守恒 三量均不守恒 2 三量均守恒 三量均守恒 3 只有总机械能守恒 只有总机械能守恒 4 只有总动量不守 只有总动量不守 恒 恒 5 4 如图如图 4 2 一轻绳跨过两个质量均为 一轻绳跨过两个质量均为 m 半 半 径均为径均为 R 的匀质圆盘状定滑轮 绳的两端分别系的匀质圆盘状定滑轮 绳的两端分别系 着质量分别为着质量分别为 m 和和 2m 的重物 不计滑轮转轴的的重物 不计滑轮转轴的 摩擦 将系统由静止释放 且绳与两滑轮间均无摩擦 将系统由静止释放 且绳与两滑轮间均无 相对滑动 则两滑轮之间绳的张力为 相对滑动 则两滑轮之间绳的张力为 1 mg 2 3mg 2 3 2mg 4 11mg 8 6 一质量为一质量为 m 长为 长为 l 的均匀细棒 放在水平桌面的均匀细棒 放在水平桌面 上 可绕杆的一端转动 如图上 可绕杆的一端转动 如图 6 5 所示 初始时刻所示 初始时刻 杆的角速度为杆的角速度为 0 设杆与桌面的摩擦系数为 设杆与桌面的摩擦系数为 求 求 1 杆所受的摩擦力矩 杆所受的摩擦力矩 2 当杆转过 当杆转过 90 时 摩擦力矩所作的功和杆的时 摩擦力矩所作的功和杆的 转动角速度转动角速度 解 解 2 0 4 mgldMA f L g JJA 2 3 2 1 2 1 2 0 2 0 2 7 设质量为设质量为 M 长为长为 l 的均匀直棒 可绕垂直于杆的的均匀直棒 可绕垂直于杆的 上端的水平轴无摩擦地转动 它原来静止在平衡上端的水平轴无摩擦地转动 它原来静止在平衡 位置上 现有一质量位置上 现有一质量 m M 3 的弹性小球水平飞来 的弹性小球水平飞来 正好碰在杆的下端 相碰后 使杆从平衡位置摆正好碰在杆的下端 相碰后 使杆从平衡位置摆 动到最大位置动到最大位置 max 60 处 如图处 如图 4 7 所示 求 所示 求 1 设为弹性碰撞 试计算小球初速度 设为弹性碰撞 试计算小球初速度 v0的值 的值 解 碰撞前后 解 碰撞前后 Ek守恒 守恒 22 22 2 0 3 1 2 12 12 1 mLMLJ Jmvmv 碰撞前后 碰撞前后 L 守恒 守恒 JmvLLmv 0 棒上升 棒上升 E 守恒 守恒 2 0 2 60cos1 2 1 2 1 0 2 gL vv L g LmgJ o 三式联立 解得 2 碰撞过程中小球受到多大的冲量 碰撞过程中小球受到多大的冲量 解 解 gLmvmvI2 2 1 0 练习五练习五 刚体的定轴转动 三 刚体的定轴转动 三 1 如图如图 5 1 所示 均匀细棒长为所示 均匀细棒长为 l 质量为 质量为 M 下 下 端无摩擦地铰在水平面上的端无摩擦地铰在水平面上的 O 点 当杆受到微扰点 当杆受到微扰 从竖直位置倒至水平面上时 顶端从竖直位置倒至水平面上时 顶端 A 点的速度为 点的速度为 2 如图如图 5 2 所示 半径为所示 半径为 R 质量为 质量为 m 的匀质圆盘的匀质圆盘 可绕水平固定轴转动 现以一轻绳绕在轮边缘 可绕水平固定轴转动 现以一轻绳绕在轮边缘 绳的下端挂一质量为绳的下端挂一质量为 m 的物体 圆盘从静止开始的物体 圆盘从静止开始 转动后 它转过的角度和时间的关系为转动后 它转过的角度和时间的关系为 3 1 长为长为 L 的均匀细杆的均匀细杆 OM 绕水平绕水平 O 轴在竖直轴在竖直 面内自由转动 今使细杆面内自由转动 今使细杆 OM 从水平位置开始自从水平位置开始自 由下摆 在细杆摆动到铅直位置的过程中 其角由下摆 在细杆摆动到铅直位置的过程中 其角 速度速度 角加速度 角加速度 如何变化 如何变化 1 增大 增大 减小 减小 2 减小 减小 减小 减小 3 增大 增大 增大 增大 4 减小 减小 增大 增大 J mgL M L mgMJ J mgL J L mg 2 sin sin 2 cos 2 1 cos 2 2 守恒 在下降过程中 机械能 4 3 人造地球卫星绕地球作椭圆运动 地球在人造地球卫星绕地球作椭圆运动 地球在 椭圆的一个焦点上 卫星的动量椭圆的一个焦点上 卫星的动量 P 角动量 角动量 L 及及 卫星与地球所组成的系统的机械能卫星与地球所组成的系统的机械能 E 是否守恒 是否守恒 1 P 不守恒 不守恒 L 不守恒 不守恒 E 不守恒 不守恒 2 P 守恒 守恒 L 不守恒 不守恒 E 不守恒 不守恒 3 P 不守恒 不守恒 L 守恒 守恒 E 守恒 守恒 4 P 守恒 守恒 L 守恒 守恒 E 守恒 守恒 5 P 不守恒 不守恒 L 守恒 守恒 E 不守恒 不守恒 分析 万有引力是保守力 机械能守恒 分析 万有引力是保守力 机械能守恒 是有心力 角动量守恒是有心力 角动量守恒 万有引力是卫星所受的外力 不为万有引力是卫星所受的外力 不为 0 所以动量不 所以动量不 守恒守恒 5 3 如图如图 5 5 所示 所示 A B 为两个相同绕着轻绳为两个相同绕着轻绳 的定滑轮 的定滑轮 A 滑轮挂一质量为滑轮挂一质量为 M 的物体 的物体 B 滑轮滑轮 受拉力受拉力 F 而且 而且 F Mg 设 设 A B 两滑轮的角加速度两滑轮的角加速度 分别为分别为和和 不计滑轮轴的摩擦 则有 不计滑轮轴的摩擦 则有 A B 1 2 A B A B 3 4 开始 开始 以后以后 A B A B A B 图图 5 5 BAA A BA B MRJ MgR Ra J MgR JTR JFRBMaTMgMA 所以 滑轮 2 6 如图如图 5 6 所示 所示 B 的质量的质量 m2足够大 使其能在足够大 使其能在 重力作用下运动 设重力作用下运动 设 A 的质量为的质量为 m1与斜面间的摩与斜面间的摩 擦系数为擦系数为 轴承摩擦不计 绳不可伸长 质量为 轴承摩擦不计 绳不可伸长 质量为 M 的滑轮可视为均匀圆盘 求物体的滑轮可视为均匀圆盘 求物体 B 由静止下落由静止下落 的高度的高度 h 时的速度 时的速度 A AAA ammgmgT sincos B B amTgm 222 轮 轮 JRTRT 12 Raa BA ahvahvv22 2 0 2 7