圆的面积教学设计

圆的面积教学设计 教学内容 圆的面积 教学目标 1 通过操作 引导学生推导出圆面积的计算公式 并能运用公式解答一些简 单的实际问题 2 激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣 培养学生的分析 观察和 概括能力 发展学生的空间观念 3 渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点 正确计算圆的面积 教学难点 圆面积公式的推导 学情分析 本课是在学生掌握了面积的含义及长方形 正方形等平面图形面积 的计算方法 认识了圆 会计算圆的周长的基础上进行教学的 教学时要注意 遵循学生的认识规律 重视学生获取知识的思维过程 重视从学生的生活经验 和已有的知识出发 学法指导 教学本课时 重点引导学生提出将圆割拼成已学过的图形 组织学 生动手操作 让学生主动参与知识形成的过程 从而培养学生的创新意识 实 践能力 并发展学生的空间观念 教具准备 多媒体课件 圆片 学具准备 把圆片分成十六等分 并按课本图所示 剪拼并贴成近似长方形 教学设计 一 复习旧知 导入新课 1 前面我们学习了圆 圆的周长 如果圆的半径用 r 表示 周长怎样表示 2 r 周长的一半怎样表示 r 2 课件 出示一块圆形的桌布 如果要给这块桌布的边缝上花边 是求什么 圆形桌布的周长 3 课件 出示一块圆形的镜框 如果要镜框配一块玻璃 至少需要多大 是求 什么 圆的面积 谁能指出这个圆的面积 谁能概括一下什么是圆的面积 请同学们用手摸出学具圆的面积 3 提问 如果圆的半径是 2 分米 你能猜猜这块玻璃到底有多大 同学们纷 纷地猜测 有的学生可能说这个圆面小于所在的正方形面积 这块圆形玻璃有多大 就是要求圆形的面积 这节课我们一起来研究怎样计算 圆的面积 板书课题 圆的面积 二 动手操作 探索新知 1 回忆平行四边形 三角形 梯形面积计算公式推导过程 1 以前我们学习了平行四边形 三角形和梯形的面积计算公式 请同学们回 想一下 这些图形的面积计算公式是怎样推导出来的 学生回答 师用课件 演示 2 通过回忆这三种平面图形面积计算公式的推导 你发现了什么 发现这 三种平面图形都是转化为学过的图形来推导出它们的面积计算公式 3 能不能把圆转化为学过的图形来推导出它的面积计算公式呢 那么同学们想一想 圆可能转化为什么平面图形来计算呢 2 推导圆面积的计算公式 1 拿出已准备好的学具 说说你把圆剪拼成了什么图形 2 学生小组讨论 看拼成的长方形与圆有什么联系 学生汇报讨论结果 3 课件演示 请看大屏幕 把圆分成 16 等份 拼成了近似平行四边形 再 分成 32 等份 拼成近似的平行四边形 再分成 64 等份 拼成近似长方形 你 发现什么 如果分的份数越多 每一份就会越细 拼成的图形就会越接近于 长方形 4 你能根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式吗 小组讨论一 下 生边答师边演示课件 生答 因为拼成的长方形的面积与圆的面积相等 长方形的长相当于圆周长的 一半 宽相当于半径 因为长方形的面积 长 宽 所以圆的面积 周长的一半 半径 S r r S r2 师小结公式 S r2 让学生小组内说说圆的面积是怎样推导出来的 5 读公式并理解记忆 6 要求圆的面积必须知道什么 半径 3 利用公式计算 1 用新的方法算一算 刚才的玻璃到底有多大 看谁刚才猜得较接近 学 生计算并汇报 2 出示例 3 学生尝试练习 反馈评价 提问 如果这道题告诉的不是圆的半径 而是直径 该怎样解答 不计算 谁 知道结果是多少吗 3 完成第 95 页做一做的第 1 题 4 看书质疑 三 运用新知 解决问题 1 求下面各圆的面积 只列式不计算 CAI 课件出示 2 测量一个圆形实物的直径 计算它的周长及面积 3 课件演示 用一根绳子把羊栓在木桩上 演示羊边吃草边走的情景 生 看完提问题并计算 羊吃到草的最大面积即最大圆面积是多少 四 全课小结 这节课你自己运用了什么方法 学到了哪些知识 五 布置作业 1 第 97 页的第 3 题和第 4 题 2 找出身边的圆 同桌合作量一量半径 算一算面积 完成实验报告单 测量物 直径 厘米 半径 厘米 面积 平方厘米 板书设计 圆的面积 长方形的面积 长 宽 圆的面积 周长的一半 半径 S r r S r2 圆的面积 教学设计 湖北省荆州市实验小学 程 彦 教学内容 义务教育课程标准实验教科书 数学 六年级上册第 69 71 例 1 例 2 教学目标 1 学生通过观察 操作 分析和讨论 推导出圆的面积公式 2 能够利用公式进行简单的面积计算 3 渗透转化思想 初步了解极限思想 培养学生的观察能力和动手操作能力 教 学具准备 1 CAI 课件 2 把圆 8 等分 16 等分和 32 等分的硬纸板若干个 3 剪刀若干把 教学过程 一 尝试转化 推导公式 1 确定 转化 的策略 师 同学们 你们想一想 当我们还不会计算平行四边形的面积的时候 是利用什么方法推导 出了平行四边形的面积计算公式呢 预设 引导学生明确 我们是用 割补法 将平行四边形转化成长方形的方法推导出了平行四边形的 面积计算公式 师 同学们再想想 我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢 师 对了 我们将平行四边形 三角形 转化 成其它图形的方法来推导出它们的面积计算公 式 2 尝试 转化 师 那么 怎样才能把圆形转化为我们已学过的其它图形呢 板书课题 圆的面积 请大家看屏幕 利用课件演示 老师先给大家一点提示 师 教师配合课件演示作适当说明 如果我们把一个圆形平均分成 16 份 如图三 其中的 每一份 如图四 课件闪烁其中 1 份 都是这个样子的 同学们 你们觉得它像一个什么图形呢 师 是的 其中的每一份都是一个近似三角形 请同学们再想一想 这个近似三角形这一条边 教师指示 跟圆形有什么关系呢 预设 引导学生观察 明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径 师 如果我们用这些近似三角形重新拼组 就可以将这个圆形 转化 成其它图形了 同学们 老师为你们每个小组都准备了一个已经等分好了的圆形 请你们动手拼一拼 把这个圆形 转化 成我们已学过的其它图形 开始吧 预设 学生利用这种近似三角形拼组图形会有一定的难度 教师要加强巡视和有针对性的指导 既鼓 励学生拼出自己想象中的图形 又要引导他们拼出最简单 最容易计算面积的图形 一般情况下 学生会拼出如下几种图形 如图五 图六 图七 3 探究联系 师 同学们 转化 完了吗 好 请大家来展示一下你们 转化 后的图形 预设 分组逐个展示 并将其中 转化 成长方形的一组的作品贴在黑板上 如果有小组转化成了不 规则的图形 教师应及时引导他们转化为我们已学过的平面图形 师 好 各个小组都不错 现在请同学们思考一个问题 你们把一个圆形 转化 成了现在的 图形之后 它们的面积有没有改变 请小组内讨论 师 谁来告诉大家 它们的面积有没有改变 师 是的 没有改变 就是说 这个近似的长方形的面积 圆的面积 师 虽然我们现在拼成的是一个近似的长方形 但是如果把圆等分成 32 份 64 份 128 份 256 份 一直这样下去分成很多很多份 拼成的图形就变为真正的长方形 课件演示 如图八 4 推导公式 师 现在我们就来看这个长方形 同学们 如果圆的半径为 r 你们知道这个长方形的长和宽 分别是多少吗 现在请小组为单位进行讨论讨论 师 好 同学们 谁能首先告诉老师 这个长方形的宽是多少 预设 根据学生的回答 教师演示课件 同时闪烁圆的半径和长方形的宽 并标示字母 r 如图九 师 那这个长方形的长是多少呢 教师边演示课件边说明 这个长方形是由两个半圆展开后 拼成的 请大家看屏幕 这个红色的半圆展开后 其中这条黄色的线段就是长方形的长 如图十 请同学们仔细观察 课件继续演示如图十一 半圆展开后再还原 再展开 这个长方形的长究 竟与圆的什么有关 究竟是多少呢 预设 教师引导学生明白 这个长方形的长与圆的周长有关 并且是圆的周长的一半 如果学生有困 难的话 教师利用课件演示 如图十二 并且让学生通过计算得出长方形的长就是 r 师 现在我们已经知道了这个长方形的长和宽 如图十三 它的面积应该是多少 那圆的面 积呢 预设 老师根据学生的回答进行相关的板书 师 你们真了不起 学会了 转化 的方法推导出圆的面积计算公式 现在请大家读一读 记 一记 写一写圆的面积计算公式 二 运用公式 解决问题 1 教学例 1 师 同学们 从这个公式我们可以看出 要求圆的面积 必须先知道什么 出示例 1 如果 我们知道一个圆形花坛的直径是 20m 我们该怎样求它的面积呢 请大家动笔算一算这个圆形花坛的 面积吧 预设 教师应加强巡视 发现问题及时指导 并提醒学生注意公式 单位使用是否正确 2 完成做一做 师 真不错 现在请同学们翻开数学课本第 69 页 请大家独立完成做一做的第 1 题 订正 3 教学例 2 师 出示例 2 这是一张光盘 这张光盘由内 外两个圆构成 光盘的银色部分是一个圆环 请同学们小声地读一读题 开始 师 怎样求这个圆环的面积呢 大家商量商量 想想办法吧 师 找到解决问题的方法了吗 师 好的 就按同学们想到的方法算一算这个圆环的面积吧 预设 教师继续对学困生加强巡视 如果还有问题的学生并给予指导 交流 订正 三 课堂作业 教材第 70 页第 2 3 4 题 四 课堂小结 师 同学们 通过这节课的学习 你有什么收获 教学过程 一 开门见山 揭示课题 师 黑板上出示一个圆 大家看 这是什么图形 生 圆形 师 我们已经认识了圆 学习了圆的周长 这节课我们一起来学习圆的面积 板书课题 圆的面积 评 由于学生熟悉了研究平面图形的思路 认识特征 周长 面积 所以老师采用了开门见山 直奔主题的引入方式 既有利于学生形成研究问题的思路 把新知识纳入已有的认知结构 又简洁明快 结构紧凑 为学生后面的探究提供了时间上的保证 二 第一次探究 明确思路 体会 转化 的数学思想方法 1 圆面积概念 师 请你想一想 什么是圆的面积呢 生 圆的大小就是圆的面积 2 唤醒记忆 实现方法迁移 师 就是说圆所占平面的大小就是圆的面积 那怎么求圆的面积呢 学生沉默 大家好像遇到了困 难 请你在大脑中搜索一下 以前我们研究一个图形的面积时 用到过哪些好的方法 生 可以把新图形转化成已学过的图形 比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积 3 布置第一次探究任务 师 那圆能不能转化成我们学过的图形呢 能 空说无凭 请你用手中的工具 圆纸片试一试 4 学生活动 教师巡视 约五分钟 评 圆与学生以前探究的长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯形等都有所不同 因为它是平 面上的曲线图形 因此当老师提出 怎么求圆的面积呢 学生并不能马上找到解决的方法 有的学生一开 始无从下手 这时 老师没有作指导 而是把时间给学生 把探究的空间给学生 充分相信学生能行 引 导学生从头脑里检索已有的知识和方法 让学生把 圆 这个看似特殊的图形 用曲线围成的图形 与以前学 过的图形 用直线段围成的图形 有机地联系起来了 沟通了知识之间的联系 促成了迁移 5 学生反馈 师 刚才老师发现有的小组已经有想法了 我看你们小组的想法就很好 谁代表小组上来说一说 大家认真听 看看他们是怎么想的 生 1 我们把圆纸片对折得到 4 个扇形 求出一个扇形的面积 但是扇形面积不会求 可以再继续 折 师 你们折成 4 个扇形后 为什么还要继续折 师 看来你们已经发现问题了 继续折 折成的图形就更像三角形了 把学生的作品贴在黑板上 评 其实这种方法也能推导出圆的面积 而且推导方法比较简单 但在以往 圆的面积 的教学设 计中却很少出现 麻老师能深入了解学生探究圆面积的心理 知道有的学生脑子里不是一片空白的 会根 据生活经验自然而然地把圆片进行对折 这是儿童生活经验作用下的原发思维 发现和三角形类似 说 明麻老师很尊重学生的原创思维 师 这种方法多好呀 有的小组采用的方法不一样 也请他们上来展示一下 生 2 我们把一个圆剪成 4 个相等的扇形 把这些扇形重新拼一拼 拼出的图形有些像平行四边形 老师也把学生的作品贴黑板上 师 这个小组很有创意 把圆剪成 4 份 又重新拼成了新的图形 板书 剪拼 刚才拼出的图形像 平行四边形吗 生 不像 6 方法比较 师 有点轮廓了 看来要怎么让拼出的图形更像一个平行四边形 值得研究 刚才我们有两种思路 可以把圆折一折 转化成三角形 也可以通过剪拼把圆转化成平行四边形 这两种思路有什么共同点 生 都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积 评 通过第一次探究 学生产生了两种很有价值的思路 即通过折一折 把圆转化成近似的三角形 通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形 教师设计了 你们发现这两种方法的共同点了吗 这一关键问题 旨在引导学生通过回顾反思 达到渗透 转化 这一数学思想方法的目的 三 第二次探究 明确方法 体验 极限思想 1 布置第二次研究任务 师 刚才我们发现不管是折成的三角形 还是剪拼成的平行四边形都不是很像 怎么才能更像呢 值得我们继续研究研究 请每个小组在两种思路中选择一种继续研究 2 小组合作 教师巡视指导 3 学生反馈 师 各个小组都研究出结果了 谁想先来展示一下 请你们小组先说 生 1 我们把圆对折平均分成 16 份 折出的形状很像是三角形 师 为什么要折这么多份 生 1 因为折成 4 份的话 折出的形状是扇形 和三角形相差太大 折的份数越多 折出的形状越 像三角形 师 把一个圆对折平均后 16 份的形状 确实更像三角开了 能让折成的图形更像三角形吗 生 折成 32 份 师 你再折试试看 生 不动 师 看来同学们再继续折纸有困难了 老师在电脑上给大家演示一下 这是同学们刚才把圆平均分 成 16 份的形状 课件演示 正十六边形 这一份看起来像是三角形了 现在我们再把它平均分成 32 份 有什么变化 课件演示正 32 边形 并突出其中一份的形状 师 如果折成 64 份 128 份 闭上眼睛想一下 会怎么样 师 大家请看屏幕 把圆平均分成 4 份 其中的一份和三角形差得确实比较大 请大家观察把圆继 续分下去时会发生什么变化 利用课件从 4 份开始演示 分的份数逐渐增加 生 感觉很神奇 越来越接近三角形了 师 和大家想的一样 把圆分的份数越多 其中的一份越接近三角形 三角形的底可以看成这段弧 三角形的高可以看成是圆的半径 你们会求三角形的面积吗 生 能 评 操作 演示 追问 想像 贯通 层次分明 通过课件的动态演示 弥补了动手操作过程中的 不足 让学生清晰地体验到随着等分的份数增加 得到的扇形的圆弧 逐渐在变直 并且也感受到当等分 的份数无限地多下去 那么最后得到的扇形也就无限地接近三角形 师 用这个方法 我们成功地把求圆转化成三角形 求出了圆的面积 刚才有的小组方法不一样 上来说一说 生 2 我们把圆平均分成 8 份 剪下来是 8 个近似的三角形 拼在一起是个近似的平行四边形 师 把这个小组的作品贴在黑板上 和刚才剪成 4 份拼成的图形相比 有什么变化呢 生 更像了 师 能更像吗 有的小组有新的方法了 生 3 我们把圆剪成 16 份 拼成了平行四边形 把这个小组的作品贴在黑板上 师 和前两次拼成的图形比 又有什么变化 生 4 更像平行四边形了 师 这两种和刚才第一种比 更像平行四边形了 如果还要更像呢 怎么办 生 4 可以继续分下去 分成 32 份 师 再像呢 生 把圆平均分成 64 份 128 份 师 现在如果老师让你把圆剪成 128 份 有什么感觉 生 太麻烦了 师 我们让电脑来帮忙 大家看 老师在电脑上把这个圆平均分了 32 份 看拼成新的图形 你有 什么发现呢 课件演示 生 拼成的图形更接近于平行四边形 师 如果把圆平均分成 64 份呢 课件演示 生 更接近于平行四边形了 有些像是长方形了 师 把圆平均分成 64 份 拼成的图形有些像长方形了 大家想象一下 如果把圆分的份数再多呢 生 拼成的图形更接近长方形 师 大家请看屏幕 课件演示 把圆平均分成 128 份 拼成的图形看起来很像长方形了 分的份数 再多呢 生 简直就是长方形了 师 把圆剪一剪 拼一拼 得到的图形越来越接近于长方形 这样就把求圆的面积转化成了求长方 形的面积 我们把圆转化成了长方形 形状变了 什么没变呢 生 面积 师 只要求出长方形的面积 就可以求出圆的面积 评 当动手操作已经无法再完成时 老师用课件动态演示 弥补操作与想象的不足 帮助学生进一 步感知平均分的份数越多 剪拼成的图形越来越像平行四边形 麻老师围绕着 怎样更像 进行了一次又一 次的追问 让学生充分地体验了 极限思想 四 第三次探究 深化思维 推导公式 1 布置第三次探究任务 师 刚才同学们借助学具通过动手操作 找到了解决问题的方法 可以折一折 也可以剪一剪 拼 一拼 得到学过的图形 但数学学习不能仅停留在动手操作上 还要借助数字 字母和符号等进行动脑思 考和推理 现在 老师想给大家提个更高的要求 能不能在动脑思考的基础上推导出圆的面积计算公式呢 这可是一个很有挑战性的任务 大家有没有信心完成 生 有 师 刚才大家利用圆纸片折的 剪拼的图形都不太标准 老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方 法的示意图帮助你思考 大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面 2 教师按照每个小组选择的方法分发学具 学生讨论 教师巡视指导 评 操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法 但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推 理 因此在这里 麻老师用下面的这段话 数学学习不仅需要动手操作 更需要借助数字 字母和符号等 进行动脑思考和推理 把学生的思考推向深入 同时 针对学生操作结果不标准的问题 麻老师为了提高 推导的正确性 设计了示意图 帮助学生更加有效地推导圆面积的计算公式 3 学生反馈 师 这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了 我们一起来看看 生 1 剪拼法 把圆剪一剪 拼一拼变成了长方形 它们的面积是相等的 长方形的长相当于圆周长 的一半 用 C 2 r 表示 宽相当于半径 用 r 表示 长方形的面积 长 宽 圆的面积 r r r2 实物投 影呈现 师 大家听清楚了吗 谁愿意再起来说一说 教师再请一个同学说自己的想法 师 边讲边板书 老师也听明白了 把圆转化成长方形 面积是相等的 长方形的长相当于圆周长 的一半 宽相当于半径 因为长方形的面积 长 宽 所以圆的面积 r r r2 现在要求圆的面积是不是 很简单了 知道什么条件就可以求出圆的面积了 生 圆的半径 师 你们表现得真好 我们再来听一听这个小组的想法 生 2 圆的面积 C 32 r 2 32 2 r r 2 r2 师 你们的式子还挺复杂 能说一说每一步表示什么吗 4 反思小结 师 你们可真聪明呀 刚才两个小组推导的结果都是 r2 真是条条大路通罗马呀 圆的面积可以 用 S 表示 圆的面积计算公式就是 S r2 现在看来 求圆的面积需要什么条件就可以了 生 圆的半径 师 知道了半径 用 乘半径的平方就求出了圆的面积 五 解决问题 1 师 现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧 需要什么条件 这个圆的半径是 10 厘米 面积是多少呢 请大家做在练习本上 请一名学生到黑板上板演 教师组织交流 2 师 知道圆的半径可以求出圆的面积 那么 知道直径和周长能不能求出圆的面积呢 教师 出示直径为 6 分米的圆和周长为 12 56 厘米的圆 学生思考后说出求面积的方法 即要求圆的面积必须先 根据直径或周长求出圆的半径 师 这些问题下一节课我们还要继续进行研究 这节课先做到这里 评 本课重点是引导学生去经历探究圆的面积公式的过程 充分体验 转化 和 极限思想 所以安排 比较少 虽然这节课只设计了几个基本练习来检验学生对圆的面积的理解和掌握程度 但这并不妨碍这节 课的精彩 六 全课总结 师 时间过得很快 一节课就要结束了 大家有什么收获 生 我会求圆的面积了 公式是 S r2 师 这是知识上的收获 在解决问题的方法上有没有什么收获呢 生 可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式 师 同学们不仅学会了怎样计算圆的面积 更重要的是大家运用转化的方法 把圆这个新图形转化 成了已经学过的图形 从而求出了圆的面积 以后大家遇到新问题 都可以尝试一下 看看能否把它转化 成已经学过的知识来解决 评 数学学习 不仅是数学知识的学习 更重要的是数学思想与方法的学习 因此全课总结时 当 学生回答出知识技能上的收获后 麻老师通过 这是知识上的收获 在解决问题的方法上有没有什么收 获呢 这样的设问 引导学生一起回顾了解决问题的思想方法 这一 画龙点睛 之笔 进一步强化了本节 课的设计意图 全课赏析 听麻老师的课 有一种很让我震撼的感觉 之所以震撼 是因为麻老师的课是我们一直想要追求的 一种理想的数学课堂 他的课 大气洒脱 精彩纷呈 真正地视学生为学习的主人 真正地体现了学生的 主体地位 一 把探究作为本课重中之重 这节课 就我认为 在探索圆的面积计算公式时 最有价值的 最具有思维含量的地方是怎样让学 生自己去想到把圆转化成已经学过的平面图形 而接下来的怎样让折出的图形更像三角形 怎样让剪拼出 的图形更像平行四边形等等 都只是技术层面上的改进而已 而平时听的很多课 包括我们国标本苏教版 的教学用书 都是老师先示范演示把一个圆平均分成 16 份后剪拼的过程 再让学生动手实践一次 而不 是去启发学生自己想办法 本节课 整个探究活动都是以学生为主体 教师在充分尊重学生思维发展的过程中 适时地加以引 导 点拨 使学生学习的方向始终清晰明确 课中能让学生的探的尽量让学生去探 能让学生说的就尽量 让学生去说 在探究的过程中 学生思维活跃 争相交流 不断迸发出创新思维的火花 真正体会到了数 学探究的魅力 二 非常注重数学思想方法渗透 这节课设计了三次探索 把重心放在了让学生经历探索过程 体验数学思想方法等过程性目标上 至于通过练习形成计算技能及解决实际问题的能力等都安排在以后的几个课时中去完成 初听感觉好像练 习量太少了 好像忽略了知识技能的习得 但细想 知识与技能的习得可以在下节课继续通过练习获得 而学生思想方法的培养却是无法课后再补的 相对于数学知识与技能而言 数学思想方法在学生今后的生活与工作中更具有普遍性 尤其是本节 课中的转化的数学思想方法 非常有现实意义 花再多的时间也不过份 总之 整节课 麻老师把数学之美 思维之美 探究之美 演绎得淋漓尽致 在佩服与感慨之余 也让我深深的思索 随着课程改革的不断推进 我们每一位数学老师的理念还要更新一些 步子还要更大 一些 多学多思 多练多磨 多探多研 才会生成如 圆的面积 这般流水般灵动的课堂 评论这张 转发至微博 转发至微博 圆圆 的的 面面 积积 教学内容教学内容 北师大版小学数学第十一册第一单元 16 页 18 页 圆的面积 教学目标教学目标 1 了解圆的面积的含义 经历圆面积计算公式的推导过程 掌握圆面积计 算公式 2 能正确运用圆的面积公式计算圆的面积 并能运用圆面积知识解决一些 简单实际的问题 3 在估一估和探究圆面积公式的活动中 体会 化曲为直 的思想 初步 感受极限思想 教学重点教学重点 圆面积概念的建立 公式的推导及应用 教学难点教学难点 理解把圆转化为平行四边形 长方形推倒出圆的面积的计算公式的过程 教具准备教具准备 投影仪 多媒体课件 等分好的圆形纸片 学具准备学具准备 等分好的圆形纸片 教学设计 一 创设情境 出示 出示 P16P16 中草坪喷水插图 中草坪喷水插图 提出问题 师 同学们 这是现代化农田里的一个自动喷水头 喷射的距离为 5 米 你们谁知道喷水头喷射一周 我们得到了一个什么样的图形 学生回答 圆形 课件演示喷射过程 理解什么是圆的面积课件演示喷射过程 理解什么是圆的面积 你们想知道这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少吗 这 节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大 板书 圆的面 积 二 探究思考 解决问题 1 估计圆面积大小 出示 出示 P16P16 中插图 中插图 用边长等于半径的小正方形透明塑料片 直接度量圆面积 如图 观察后得 出圆面积比 4 个小正方形小 好象又比 3 个小正方形大一些 初步猜想 圆的面 积相当于 r2 2的 3 倍多 由此看出 要求圆的精确面积通过度量是无法得出的 三 探索规律 1 由旧知引入新知 我们在学习推导几何图形的面积公式时 总是把新的图形经过分割 拼合 等办法 将它们转化成我们熟悉的图形 大家还记得我们以前学习的平行四边形 三角形 梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗 今天我们能不能也用 这样的方法推导出圆面积的计算公式呢 这一探索性地设问 使学生产生悬念 引入深思 它与得出圆面积计算公 式后的验证 前后呼应 融为一体 使学生对圆面积与 r2 2的倍数关系 获得十分 鲜明的表象 而且有助于避免与圆周长的计算公式 C 2 r 产生混淆 2 探索圆面积公式 1 学生操作 师 请大家拿出准备好的 16 等分的圆 和小组同学一起剪一剪 拼一拼 看看能拼成一个什么图形 并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系 同学们开始操作 教师巡视 2 指名汇报 初步汇报 你们把圆转换成了什么图形 在学生说的同时教师课件演示教师课件演示 学生可能出现的 3 种情况 随机出示课件随机出示课件 3 操作反思 小组内拿出 32 等分的圆形 剪一剪 拼成一个平行四边形 和用 16 等分 的圆拼成的平行四边形比较你发现了什么 32 等份后拼成的图形更接近于平 行四边形 课件演示课件演示 如果把一个圆等分成 64 份 128 份 拼成的平行四边形会怎样呢 圆 等分的份数越多 拼成的图形越接近于长方形 4 转化思考 近似平行四边形的底相当于圆的哪一部分 怎样用字母表 示 圆周长的一半 C 2 r 它的高是圆的哪一部分 半径 r 课件演示 课件演示 5 观察汇报 你能否由平行四边形的面积公式得到圆形面积公式呢 并说出你的理由 因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半 平行四边形的高就是圆 形的半径 而平行四边形面积 底 高 那么 圆形面积 圆周长的 1 2 半径 即可 生说 教师板书 用字母怎么表示圆面积公式呢 课件演示 课件演示 S r2 指导学生自己动手 并通过课件演示 把一个圆剪拼成近似的平行四边形 从 平行四边形面积公式 推出圆面积计算公式 这样 可以培养学生初步的空间想 象力 也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点 你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢 课件演示 课件演示 并说出 你的理由 引导学生通过多次不同的实验 采用转化的方法 利用等积变形把圆面积 转化成近似的长方形 从而推导出圆面积计算公式 同时 利用计算机的演示 化静为动 化虚为实 帮助学生把抽象的内容具体化 进一步加深对圆面积公式推 导过程的理解 6 练习 教材 18 页第一题 学生练习 教师巡视指导 集体交流 7 升华 今天我们探究出了圆的面积计算公式 真了不起 在人们没 有总结出这个公式的时候 如何计算圆的面积 是各国数学家共同关心的问题 老师这里有一段小故事 大家一起来读一读 课件出示内容课件出示内容 刘徽在校注 九章算术 时 创立了一种新的数学方法 割圆术 来进行有关圆的计算 九章算术 中已有圆面积的计算公式 但没有说明是怎么来的 刘徽为此苦苦思索 有一次他看见石匠在加工石料 石匠把一块方石砍去四角 就变成八角形的石头 再去掉八个角又变成了十六 角形 这样一凿一斧地干下去 一块方形石料就被加工成一根光滑的圆柱了 刘徽因此得到启发 原来圆与直线是可以相互转化的 他认为一个圆的内接正 多边形的边数越多 其周长就会越接近于圆的周长 同时 通过求圆内接正多 边形的边长和圆的直径之比 可以越来越精确地求得圆周率 即圆周与直径之 比 这就是所谓 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不 可割 则与圆周合体而无所失矣 这句话简明扼要地概括了刘徽割圆术的实 质 同时 刘徽在这里还用了 极限 这个数学概念 今天我们知道 极限 是高等数学的基础 后来 祖冲之和他的儿子祖恒 利用割圆术 得出了 3 1415926 3 1415927 没有前人这样艰苦的努力 我们现在就不可能精 确地计算出圆的面积和周长 一切与圆有关的计算无疑也要大打折扣了 读了这个故事 你想说点什么 学生谈谈感受 看来生活中处处有数学 我们要培养自己热爱数学 善于 观察的良好习惯哦 下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问题 看谁能过关斩将笑到最后 四 拓展应用 第一关 圆的周长计算公式为 圆的面积计算公式为 一个圆的半径是 3 厘米 求它的周长 列式 求它的面 积 列式 一个圆的周长是 18 84 分米 这个圆的直径是 分米 面积 是 平方分米 第二关 半径是 厘米的圆 周长和面积相等 让孩子知道得数虽 然相同 但计量单位不同 不能进行比较 一个圆形纽扣的半径是 1 5 厘米 它的面积是多少 列式 3 14 X 1 52 2 3 14 X 9 42 平方厘米 此题在计算 1 52 2的时候把 1 52 2看作 1 5 2 是不正确的 而 1 52 1 5 X 1 5 3 直径相等的两个圆 面积不一定相等 4 一个圆的半径扩大 倍 面积也扩大 倍 5 两个不一样大的圆 大圆的圆周率比小圆的圆周率大 第三关 1 如下图 绳长 2 17 米 问小狗的活动面积有多大 2 北京天坛公园的回音壁是世界闻名的声学奇迹 它是一道圆形围墙 圆的直径约为 65 2 米 周长和面积分别是多少 结果保留一位小数 同学们 经过一番激烈的竞争 个个都是最棒的 我们在以后的学习中还 应发扬竞争精神 合作学习 争取更大进步 五 课下实践练习 师 经过一节课的学习 你们能计算出喷水头转动一周可以浇灌多大面积 的农田了吗 学生独立解答 指名回答 圆形的物体生活中随处可见 公园的露天广场是个圆形 怎样才能计算广 场的面积呢 你有哪些方案 让学生讨论 并留给学生课后去实践 这样 使学生意犹未尽 感到课 虽尽 但疑未了 为下一课已知周长求面积埋下伏笔 板书设计 板书设计 3 3 圆圆 的的 面面 积积 平行四边形的面积平行四边形的面积 底底 高高 圆的面积圆的面积 r r r r r r2 S r2 教学目标 教学目标 1 学生通过观察 操作 分析和讨论 找出拼前圆形和拼后图形各部分之间的联系 从而推导出圆 的面积公式 能够利用公式进行简单的面积计算 2 渗透转化思想 初步了解极限思想 培养学生的观察能力和动手操作能力 3 利用课堂中生成的各种错误进行巧妙的评价和利用 培养无差错意识 从而达到没有差错的目的 4 培养学生集体观念 利用小组合作学习 使学生养成互相合作 互相帮助的好品质 教学重点和难点 教学重点和难点 1 学生通过自己的观察 操作 找出拼前圆的各部分与拼后图形各部分之间的联系 2 推导出圆的面积公式 并正确的运用公式解决生活中的问题 教学用具 教学用具 每组两个同样大的等分成相同的偶数份 如 8 份 16 份 32 份的圆 教学过程设计教学过程设计 一 创设情景 激发兴趣一 创设情景 激发兴趣 1 回忆圆的周长公式并求周长 1 已知直径怎样求圆的周长 2 已知半径怎样求圆的周长 3 已知半径怎样求半圆的周长 2 创设情景 引入课题 你还想学习圆的什么知识 师 这节课我们就来满足你们的愿望 一起研究圆的面积 板书课题 圆的面积 3 回忆平面图形公式转化过程 1 以前我们学过哪几种平面图形 你会计算他们的的面积吗 学生回答各个平面图形的面积公式后教 师只板书 长方形的面积 长 宽 2 想一想 我们用什么方法推导他们的面积公式的 电脑展示过程 设计意图 创设问题情景 启发学生回忆平行四边形 三角形 梯形的面积公式推导过程 利用课件 的演示 通过对旧知的回忆 达到激发学生探索新知的兴趣 并明确的思想方向 二 合作探究 交流经验 推导公式二 合作探究 交流经验 推导公式 1 建立圆的面积的概念 1 感知圆的面积 师 圆的大小是由什么决定的 半径 2 感知圆面积的大小 师随手拿出学生准备的大小不同的两个圆 师 大家看这两个圆的面积一样大吗 说明圆的面积有大小 师 那谁能说说什么叫圆的面积呢 揭示圆所占平面的大小叫圆的面积 3 区别圆的面积和周长 同桌用手摸一摸 指一指 哪儿是圆的周长 哪儿是圆的面积 指导学生 圆的周长是指围城圆的一周 的曲线的长 圆的面积是圆所占平面的大小 设计意图 圆的周长和面积在实际的教学中学生很容易混淆 因此 特意设计了通过摸一摸 指一指 让学生在初步感知圆的面积和周长的区别的同时 让学生充分感知面积的含义 为初步建立面积的概念打 下了基础 有意的对容易错的地方进行对比和强化 目的尽可能的让学生减少差错 2 充分发挥学生的主动性 将圆转化成学过的图形 1 质疑 圆与我们以前学过的平面图形有什么不同 我们已经能够用割补 平移的方法把平行四边形 三角形 梯形转化成我们学过的图形来推导他们的面 积 那我们能不能也用转化的方法 通过剪一剪 拼一拼的方法推导出它的面积公式呢 你们想用什么方 法把圆转化成学过的图形 难题是如何能把曲线转化成近似的线段呢 这就是我们首先要研究的问题 设计意图 激发学生的求知欲 对由直线图形过度到曲线图形有了初步的感知 同时培养他们的问题 意识 让他们在民主 愉悦 生动的气氛中开始学习 为展开想象提供了广阔的空间 2 师 沿半径把圆平均分成若干份 剪开拉直 你会发现什么 3 学生模仿操作 模仿书上的方法把圆分别平均分成 4 份 8 份 16 份 把它拉直 看看曲线的变化 4 继续分 32 份 64 份 看曲线的变化 你发现了什么规律 生 平均分的份数越多 曲线越趋近于直的线段 设计意图 渗透化曲为直的转化的思想 为成功的进行转化打下坚实的基础 5 各组商量一下 你们想剪拼成什么图形 怎么剪 怎么拼 各组动手操作 设计意图 给学生充分的时间动手操作 使得他们在交流合作中获取经验 为学生个体发展提供空间 让每一个人都有着不同的收获和体会 6 小组为单位 展示合作成果 我们试着把圆分割 拼摆 可以转化成以前学过近似的什么图形 请把各自的拼图展示给大家 鼓励不同拼法 介绍各组派代表说拼的是近似的什么图形 是用什么方法 学生拼的可能是近似的长方形 平行四边形 三角形 梯形等 看一看那个小组拼成图形最接近平行四边形 设计意图 让学生自己想办法把圆剪拼成各种图形 鼓励不同方法 引导发挥联想 让他们通过比较 发现通过沿半径剪是比较科学的 给他们提供了自行探究 创造性的寻找解决问题的方法和途径 使他们 不仅仅会知法 而且会选法 3 电脑演示 推导验证并总结公式 师 刚才同学在操作过程中误差比较大 现在老师给大家准备了一个课件 我们一起来看一看 你能发现 什么 课件演示把圆等份成 8 16 32 等份的剪拼过程 用省略号表示继续往下分最后圆可以拼成近似的长 方形 通过观察你们发现剪拼后的圆可以拼成的图形近似什么图形 电脑展示各小组拼的图形 观察这些拼的近似的平行四边形 你发现了什么规律呢 通过讨论得出 平均分的份数越多就越接近平行四边形 师电脑展示验证 使学生明确 如果象这样一直分下去 分得的份数就越多 最终就弧度就越来越小 最 终曲线就会变成直线 倾斜的角度就越来越小 最终就会变成四四方方的长方形 这样我们就可以把圆形 剪拼成我们学过的长方形 设计意图 在剪拼的过程中 由于剪的份数有限 再加上由于操作的误差 学生一般只能将圆转化成 近似的平行四边形 明明拼的是平行四边形 却要说是近似的长方形 没有说服力 因此 通过电脑展示 验证 生动的展示了化曲为直 化圆为方的转化过程 使学生清晰的直观的看到逐渐由拼成的近似的平行 四边形 逐渐逐渐的转化成近似的的长方形 再联想到由近似的长方形变成四四方方的长方形 7 师 下面我们就来研究这个长方形和圆的面积有什么关系 出示讨论题 在剪拼的过程中什么没变 什么变了 让学生明白面积没变周长变了 拼成的长方形的面积与原来的圆的面积有什么关系 拼成的长方形的长和宽和圆半径有什么关系 同组互相讨论 把讨论的结果汇报一下 根据学生的发言 老师在长方形的面积公式下面板书 圆的面积 圆周长的一半 半径 师 谁能根据刚才的讨论说一说怎么计算圆的面积呢 多个学生回答后教师在刚才的板书上补写 如下 圆的面积 圆周长的一半 半径 进一步简化公式并板书公式 如果用 S 表示面积 圆的面积公式怎么表示 4 前面有同学把圆拼成了近似的三角形 平行四边形 梯形 根据这些图形我们同样可以推倒出圆的面 积公式 这个问题我们留到数学活动课来进一步探讨 设计意图 在推导过程中再次创设合作学习的机会 通过小组讨论 分组汇报 试写推导过程等不同形 式来调动学生多种感官参与 使他们进一步明确了圆与长方形之间的关系 有效的突破本课的难点 三 运用公式 解决实际问题三 运用公式 解决实际问题 师 我们自己想办法推导出了圆的面积公式 你们很聪明 以后求圆的面积就不用这么麻烦了 直接根据 公式来求就可以拉 那么圆的面积怎么求 求圆的面积必须知道什么条件呢 1 口头听题 学生求圆的面积 利用学生在学习过程中产生的各种错误进行及时的巧妙的评价和利用 一个圆的半径是 4 厘米 这个圆的面积是多少平方厘米 1 学生独立完成 2 指名板书并订正 3 利用板书中的差错进行讨论 学生肯定有把半径的平方算成半径的 2 倍的 根据学生的板书讨论谁做的正确 他们错在那里 在计算圆的面积是应该先算什么 半径的平方和半径的 2 倍有什么区别 教师强调 在计算是要特别注意先算半径的平方 半径的平方是半径乘半径 千万不能算成半径乘 2 2 自学例 1 刚才知道半径会求面积 那如果知道直径你会求圆的面积吗 打开书 看一看例题 1 这些题你会算吗 学生独立完成 指名板书 根据板书中的差错进行讨论和纠正 有可能把 10 的平方算成 20 有可能直接用 20 的平方乘 设计意图 在实际的教学中 学生在计算圆的面积时很容易把半径的平方算成半径的两倍 或者直接 用直径的平方来求面积 还有可能吃掉一个 鸡蛋 此处巧妙根据学生生成中的错误来进行评价和利用 从而引起学生的重视 达到没有差错或者减少差错的目的 3 自主学习例 2 VCD 光盘的外半径是 内半径是 求光盘的面积 讨论 怎么求光盘的面积呢 尝试做并指名板书不同做法 全班把正确和错误两种方法都在仔细的计算一遍 再根据板书中的差错纠正说明 使学生清晰的看到半径 的平方的差和半径的差的平方是完全不同的 在比较的基础上明确那种方法更简便 设计意图 根据经验 在以往的教学中 求圆环的面积错误率也是相当高的 典型的错误是 把平方 的差算成差的平方 此处根据不同的板书 特别积极利用是错题的板书来进行进一步的引导和强化 明确 正确的方法 培养无差错意识 达到尽量减少或者不出差错的目的 4 提高练习 一个圆的周长是 6 28 分米 怎么样求它的面积 独立思考题并练习 反馈 问 已知直径或周长 怎样求圆的面积 生 必须先求出半径 再求面积 设计意图 学生已经掌握圆的面积公式 此时老师可以大胆放手 让学生尝试解答 经过多次尝试 他们的观察力 动手操作的能力 想象力会得到进一步发展 从而促进理论与实践的结合 培养学生灵活 运用所学知识解决实际问题的能力 四 课堂小结四 课堂小结 这节课你都学习了哪些知识 圆的面积怎么求 圆的面积与谁有关 有怎样的关系 还有什么问题 五 巩固练习五 巩固练习 上一篇作业 下一篇作业 课题名称课题名称 圆的面积 科科 目目数学年级年级小学六年级 教学时间教学时间1 课时 40 分钟 学习者分析学习者分析教学对象是六年级的学生 教学内容是六年级数学 圆的面 积 按照学生的平均水平进行教学设计 学生的年龄在 10 到 12 岁之间 大多数学生的数学成绩良好 学生学习氛围比较浓 六年级的学生具备以下知识和技能 认识圆的特征 会用圆 规设计美丽的图案 能正确的计算一些平面图形的周长及圆的周 长 这个班的学生喜欢小组共同学习的方式 喜欢制作学具 使 用教具和学具教学能够激发学生的学习兴趣 学生能够取得比较 好的学习效果 学习圆面积的计算是学生第一次接触的曲线图形的面积 它 和以前学过的直线图形在性质上有很大的不同 是学生探究平面 图形的另一个新阶段 但在研究方法上有着密切的联系 体现在 圆面积计算的推导过程能 化曲为直 化圆为方 将圆剪 一剪 拼一拼得到一个以前学过的图形 教学时 我让学生在观 察 操作 探究 交流 反思等活动中 逐步体会圆面积推导的 形成过程 渗透数学的转化思想和方法 另外 结合练习之间的 对比与分析 寻找求圆的面积的规律 鼓励学生独立思考正确解 决问题 获得积极的情感体验 借助 化曲为直 的转化思想 把圆转化成已学过的图形是 突破这个难点的一个正面的迁移 但这一过程对于学生来说是很 有难度的 教师要给学生一个明确的提示 帮助学生实现这个转 化过程