第二章--拉伸、压缩与剪切(4).ppt

教学要求 1 明确弹性模量E 泊松比 和截面抗拉 压 刚度的概念 熟练掌握用虎克定律计算拉 压 杆变形的方法 2 掌握用几何法 切线代替圆弧 求简单杆系结构节点位移的方法 3 掌握拉压与剪切应变能的计算 2 8轴向拉伸或压缩的变形 变形前纵向长度为l 横向长度为b 变形后纵向长度为l1 横向长度为b1 线变形和线应变纵向线变形 线应变表示单位长度内的线变形 正负号规定 拉应变为正 压应变为负 线应变是无量纲量 横向线变形 量纲 长度 线变形伸长 缩短 是正 负 值 纵向线应变 横向线应变 二 泊松比 式中 的是一个没有量纲的比例常数 叫做泊松比或横向变形系数 它属于材料的力学性质 其值因材料不同而异 实验证实 在弹性范围内 材料的横向应变 与纵向应变 成正比例关系 即 弹性模量E反映材料弹性变形的能力 量纲与正应力相同 一般通过实验测定 杆件的抗拉 压 刚度EA 标志着杆件抵抗弹性变形的能力大小 三 胡克定律 例题 一矩形截面的钢杆 其宽度a 80mm 厚度b 3mm 经拉伸试验测得 在纵向100mm长度内伸长了0 05mm 同时在横向60mm长度内缩短了0 0093mm 试求材料的泊松比和杆件所受的轴向外力 设钢材的弹性模量E 200GPa 解 1 计算泊松比 杆的纵向线应变为 l l相应的横向线应变为 b b材料的泊松比为 0 31 2 计算轴向外力P由虎克定律可得杆中的正应力为 E 杆中的轴力为FN A E A 24kN 该钢杆受到的轴向外力P FN 24kN 胡克 RobertHooke1635 1703 英国物理学家 1635年7月18仅生于英国怀特岛的弗雷斯沃特村 1703年3月3日卒于伦敦 胡克在1653年进入牛津大学 后在该校成为R 玻意耳的助手 1662年任伦教皇家学会实验所的评议员 次年选为皇家学会会员 1665年成为格雷沙姆学院教授 1677 1683年任皇家学会秘书 1678年在他的小册子 势能的恢复 论说明弹跳体能力的弹簧 公布 伸长量和力成正比 这是弹性体胡克定律的最早形式 胡克对万有引力定律的发现起了重要作用 1679年他写信给I 牛顿 信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果 而且认为引力与距离平方应成反比 按照这想法 地球的轨道应该是椭圆 而不是牛顿所说的 物体的轨迹是一条螺旋线 最终将绕到地心 牛顿对此没有复信 但接受胡克的观点 以后在J 开普勒关于行星运动的第三定律基础上用数学方法导出了万有引力定律 1686年牛顿将载有万有引力定律的 自然哲学的教学原理 卷一的稿件送给英国皇家学会时 胡克希望牛顿在序言中能提一下胡克成果 但遭到牛顿的拒绝 这是胡克控告牛顿剽窃他的成果的来由 胡克其他科学贡献很多 他用显微镇观察软木结构中的 微孔 或 细胞 cell 1665年发表 这是生物学中 细胞 一词的起源 他在1672年发现光的衍射现象 并采用光波理论解释这种现象 他认为热是物质粘性机械运动的结果 胡克制造过各种机械 包括万向接头在内 1666年伦效大火以后 他在重建城市中设计了一些重要建筑物 四 变形和位移的概念物体受外力作用后要发生形状和尺寸的改变 这种现象称为物体的变形 物体变形后 在物体上的一些点 一些线或面就可能发生空间位置的改变 这种空间位置的改变 称为位移 变形是指两个截面间 微体段或整体 的相对运动 移动或转动 位移由是杆件中指定点或截面对某一基准点或面的相对运动 它大小不仅与杆件变形有关 而且与约束情况有关 变形与位移是不同的概念 产生位移的原因是杆件的变形 而结构变形的结果引起杆件中的一些点 线 面发生位移 例 试求图示木柱的长度改变 已知木材 顺纹 的弹性模量E 10GP 木柱的横截面为200 200mm矩形 2 计算木柱长度改变 解 1 画轴力图 计算木柱长度改变 解 叠加原理 例 试求自由悬挂的直杆由于自重引起的最大正应力和伸长 设杆长l 截面积A 容重 弹性模量E均为已知 解 计算最大正应力 计算杆件的伸长由于各截面上的轴力是不等的 故计算整个杆件的伸长时 应先计算由微段的伸长 在离下端为x 用相距dx的m m和n n两截面从杆中切出微段 其受力情况如图所示 在略去高阶微量的条件 dx微段的伸长 整个杆件的总伸长为 桁架的节点位移 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 例题 几何法求简单杆系结构节点位移的步骤 1 由受力图求出各杆轴力 2 由胡克定律求出各杆变形 3 初始位置 假想解除节点约束 让杆自由变形 4 以切线代圆弧 由交点确定节点变形后的位置 5 根据变形图 由几何关系确定节点位移 注意 1 根据受力 画各杆变形 2 变形图是几何关系 即线段间关系 在节点位移图中各线段之间的关系仅是一般的几何关系 计算位移时就要以各杆伸长或缩短的绝对值代入 几何法 位移图解法 是计算桁架位移重要辅助手段 由法国工程师威里沃特 J V Williot 于是1877年首先提出 1 怎样画小变形放大图 变形图严格画法 图中弧线 求各杆的变形量 Li 如图 变形图近似画法 图中弧之切线 小变形放大图与位移的求法 2 写出图中B点位移与两杆变形间的关系 解 变形图如图 B点位移至B 点 由图知 例设横梁ABCD为刚梁 横截面面积为76 36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 设P 20kN 试求刚索的应力和C点的垂直位移 设刚索的E 177GPa 解 1 求钢索内力 以ABCD为对象 D D 3 变形图如图 2 钢索的应力和伸长分别为 C点的垂直位移为 分析讨论 l 解本题的关键之一是正确作出横梁的受力图 因为不计滑轮外的摩擦力 所以钢索在B处及D处对横梁的拉力是相等的 2 作变形位移图也是至关重要的一步 应该注意到小变形条件下可 以切线代替圆弧 及刚性杆不变形的特点 初学时易犯的错误之一是将BB DD 误认为相等 讨论与思考题 已算得图示两杆的伸长分别为 l1和 l2 有人认为 结点位移是向量 所以按照平行四边形定律 以位移分量 l1 l2为两边作平行四边形 则对角线就表示A点的 总位移 这样做对吗 为什么 图示对称结构 CC 为C点在铅垂力P作用下的位移 CE垂直于BC 由 小变形 知EC 等于BC杆伸长 LBC EC C仍近似等于 试指出下列两种算法正确与否 若有错误则指出错在哪里 讨论与思考题 讨论与思考题 图示行架 当节点B处受外力P作用时 节点B的垂直位移和水平位移分别为 2 9轴向拉伸或压缩的应变能 1 外力功W2 变形能 用V 或U表示在弹性范围内 当卸载时 变形能全部释放出来而使物体弹性恢复 因此 弹性变形能是可逆的 当超过弹性范围后 物体将发生塑性变形 并消耗一部分能量 这部分能量是不可逆的 3 功能原理 物体在外力作用下发生变形 根据能量守恒定律 当忽略其它能量损耗时 物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所的做功 即U W4 利用能量原理求解固体力学问题的方法 称为能量法 外力功的计算 P P P广义力 广义位移材料线弹性 几何线性 小变形 注意 常力做功与变力做功区别 P 静载 由零逐渐增加到最终值 作用下 外力在弹性体上所作的功 等于力的最终值与相应位移的最终值的乘积之半 当弹性体上作用有几个外力P1 P2 Pn 这时所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半 即 由零逐渐增加到最终值的力是变力 已经加在杆件上不变的力是常力 当外力为变力时 功的表达式中的系数为1 2 而当外力为常力时 功的表达式中的系数为1 一 轴向拉压变形能 1 变形能只与荷载的最终值有关 而与加载的中间过程或加载的先后次序无关 2 一般说来 变形能不能简单叠加 但是如果杆件受到两种荷载作用 其中任何一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功 则可以把这两种荷载单独作用时的变形能进行叠加 从而得到它们共同作用时杆件的变形能 变形能的性质 利用功能原理计算加力点的位移 利用U W可以计算杆件或结构的位移 但是只限于单一荷载作用 而且所求位移只是荷载作用点 或作用面 沿着荷载的作用方向与荷载对应的位移 例 等截面直杆AB和BC组成的构架受力如图所示 若两杆的抗拉 压 刚度均为EA 设P l EA都已知 试求B点的竖直位移 B 解 由节点B的静力平衡条件求得各杆内力 构架的变形能等于AB和BC两杆变形能之和 二 拉压与剪切应变能密度 单位体积内的应变能称为应变能密度 并用u或v 表示 设微体的边长分别为dx dy与dz 在正应力 作用下 微体沿应力作用方向的伸长为 dy 因此 作用微体上的拉力所作之功或微体的应变能为 适用于压应力情况 拉伸应变能密度为 在切应力 作用下 微体发生切应变为 顶面与底面间的相对位移为 dy 因此 作用在微体上的剪力所作之功或微体的应变能为 剪切应变能密度为 解 能量法 外力功等于变形能 1 求钢索内力 以ABD为对象 例 设横梁ABCD为刚梁 横截面面积为76 36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 设P 20kN 试求刚索的应力和C点的垂直