外接球内切球问题答案

外接球内切球问题外接球内切球问题 1 1 球与柱体球与柱体 规则的柱体 如正方体 长方体 正棱柱等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两种形态进行 结合 通过球的半径和棱柱的棱产生联系 然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题 1 11 1 球与正方体球与正方体 发现 解决正方体与球的组合问题 常用工具是截面图 即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面 通过两个截面图的位置关系 确定好正方体的棱与球的半径的关系 进而将空间问题转化为平面问题 例例 1 1 棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的 8 个顶点都在球O的表面上 EF 分别是棱 1 AA 1 DD的中点 则直线EF被球O截得的线段长为 A 2 2 B 1 C 2 1 2 D 2 1 21 2 球与长方体球与长方体长方体各顶点可在一个球面上 故长方体存在外切球 但是不一定存在内切球 设长方体 的棱长为 a b c其体对角线为l 当球为长方体的外接球时 截面图为长方体的对角面和其外接圆 和正方体的外接球的道理是一样的 故球的半径 222 22 labc R 例例 2 2 在长 宽 高分别为 2 2 4 的长方体内有一个半径为 1 的球 任意摆动此长方体 则球经过的空 间部分的体积为 A B 4 C D 10 3 8 3 7 3 外接球内切球问题外接球内切球问题 2 1 31 3 球与正棱柱球与正棱柱 例例 3 3 正四棱柱 1111 ABCDABC D 的各顶点都在半径为R的球面上 则正四棱柱的侧面积有最 值 为 2 2 球与锥体球与锥体 规则的锥体 如正四面体 正棱锥 特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合 以外接和内切两 种形态进行结合 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系 然后考查几何体的体积或者表面积等相关问 题 2 12 1 球与正四面体球与正四面体 外接球内切球问题外接球内切球问题 3 2 2 22 2 33 a RraRrCE 解得 66 412 Ra ra 这个解法是通过利用两心合一的思路 建立含有两个球的半径的等量关系进行求解 同时我们可以发现 球心O为正四面体高的四等分点 如果 我们牢记这些数量关系 可为解题带来极大的方便 例例 4 4 将半径都为 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里 这个正四面体的高的最 小值为 A 32 6 3 B 2 2 6 3 C 4 2 6 3 D 4 32 6 3 球的外切正四面体 这个小球球心与外切正四面体的中心重合 而正四面体的中心到顶点的距离是中心 到地面距离的 3 倍 2 22 2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题 主要是体现在球为三棱锥的外接球 解决的基本方法是补 形 外接球内切球问题外接球内切球问题 4 例例 5 5 在正三棱锥SABC 中 MN 分别是棱SCBC 的中点 且AMMN 若侧棱2 3SA 则 正 2 32 3 球与正棱锥球与正棱锥 球与正棱锥的组合 常见的有两类 一是球为三棱锥的外接球 此时三棱锥的各个顶点在球面上 外接球内切球问题外接球内切球问题 5 根据截面图的特点 可以构造直角三角形进行求解 二是球为正棱锥的内切球 例如正三棱锥的内切球 球与正三棱锥四个面相切 球心到四个面的距离相等 都为球半径R 这样求球的半径可转化为球球心 到三棱锥面的距离 故可采用等体积法解决 即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 例例 6 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC 3 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 则该三棱锥外接球 的体积为 A B 3 C 4 D 4 3 接球的球心 则 2 SC R 例例 7 矩形ABCD中 4 3 ABBC 沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD 则四面体 ABCD的外接球的体积是 A 12 125 B 9 125 C 6 125 D 3 125 3 3 球与球球与球 对个多个小球结合在一起 组合成复杂的几何体问题 要求有丰富的空间想象能力 解决本类问题 需掌握恰当的处理手段 如准确确定各个小球的球心的位置关系 或者巧借截面图等方法 将空间问题 外接球内切球问题外接球内切球问题 6 转化平面问题求解 4 4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题 关键要抓住棱与球相切的几何性质 达到明确球心的位 置为目的 然后通过构造直角三角形进行转换和求解 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一 半 2 4 ra 例例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四 外接球内切球问题外接球内切球问题 7 综合上面的四种类型 解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体 解答时首先要找准切点 通过作截面来解决 如果外切的是多面体 则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 把一个 多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题 解决这类问题的关键是抓住内接的特点 即球心 到多面体的顶点的距离等于球的半径 发挥好空间想象力 借助于数形结合进行转化 问题即可得 解 如果是一些特殊的几何体 如正方体 正四面体等可以借助结论直接求解 此时结论的记忆必须 准确 1 1 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上 则该 正三棱锥的体积是 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 答案答案 B B 2 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 则此球 的表面积等于 解 在ABC 中2ABAC 120BAC 可得2 3BC 由正弦定 理 可得ABC 外接圆半径 r 2 设此圆圆心为 O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径5R 故此球的表为 2 420R 3 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距离为 则正三棱柱的体积为 答案 8 4 4 表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 外接球内切球问题外接球内切球问题 8 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 答案答案 A 解析解析 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由 2 3 82 3 4 a 知 1a 则此球的直径为2 故选 A 5 5 已知正方体外接球的体积是 3 32 那么正方体的棱长等于 A 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 答案答案 D 6 6 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A 1 3 B 1 3 C 1 33 D 1 9 答案答案 C 7 7 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱 柱的体积为 9 8 底面周长为 3 则这个球的体积为 答案答案 3 4 8 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 2 3 则此球的表面 积为 答案答案 14 9 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm 那么该棱 柱的表面积为 cm2 答案答案 24 2 10 如图 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF 则此正六棱锥的侧面积是 答案答案 6 7 11 11 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中 三角形 正四面体的截面 的面积是 答案答案 2 12 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体外接球的表面积为 A 3B 2 C 3 16 D 以上都不对答案 C 13 设正方体的棱长为 则它的外接球的表面积为 2 3 3 A 3 8 B 2 C 4 D 3 4 答案答案 C 1 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC