蒙地卡罗模拟法在信用风险评量之应用

1 蒙地卡羅模擬法在信用風險評量之應用蒙地卡羅模擬法在信用風險評量之應用 以資產價值模型為例以資產價值模型為例 東吳大學商用數學系副教授洪明欽 一 前言前言 新版巴賽爾協定預計將於 2003 年底定案 2006 年施行 屆時對全球的金 融機構之風險控管實務及資金成本均將產生重大的影響 國內金融機構的風險 控管操作在實務及理論探討方面均仍有待加強 有需要及早準備因應之道 在新版巴賽爾協定的風險類別中 又以信用風險部分對金融機構影響最大 但其量化的工作又遠較市場風險困難 影響信用風險的因子 factor 很多 有 些因子又極難量化 其中包括違約機率 default probability 相關性 correlation 償還率 recovery rate 的估計等 再者 我們可以透過向後測 試 backtesting 評估一個市場風險模型的績效 但信用風險的良窳則受限於衡 量期間較長 longer horizon 及資料的稀少性 較難評估 模擬法 simulation method 主要乃相對於解析法 analytic method 而言 解析法中的輸入 input 與產出 output 之間存在某種數學方程式的關係 在風險評量的領域中 經常由於市場的不確定性 繁多的影響因子 資料的不 完整 及價值函數 value function 的缺乏封閉解 closed form solution 等等 原因 以致解析法通常無法完全滿足風險評量及管理上的需求 在評估大量風 險性資產之投資組合風險時 主要面臨的困難包括大量的風險影響因子 匯率 利率 指數等 及違約機率與市場風險因子間的相互影響問題 蒙第卡羅模擬 法在市場風險及信用風險評量上已有廣泛的應用 本文主要以 JP Morgan 的 CreditMetrics 為基礎 介紹蒙第卡羅模擬法應用在信用風險評量的操作流程及 基本想法 二 信用風險評量架構信用風險評量架構 資產價值模型資產價值模型 1 當投資組合只含單一 BBB 級 債券 假設現有一張 5 年期 每年付息 6 的 BBB 級債券 我們可以用三個步驟 說明此單一資產的信用風險評量過程 步驟一 信用評等移動 首先 我們需要一個類似於表 1 的信用轉換矩陣 表中 包含未來 此處為一年後 各項可能信用評等變化的發生機率 例如 表 1 中 2 的 BBB 列及 A 欄的 5 95 代表在一年後一個 BBB 級債券上升為 A 級的機率為 5 95 而 BBB 列及違約欄的 0 18 代表在一年後一個 BBB 級債券發生違約的 機率為 0 18 此信用轉換矩陣可能來自於 S P Moody 或 KMV 等專業機 構 表 1 一年期信用轉置矩陣 一年後各種評等機率 初期 評等 AAAAAABBBBBBCCC 違約 AAA90 818 330 680 060 12000 AA0 7090 657 790 640 060 140 020 A0 092 2791 055 520 740 260 010 06 BBB0 020 335 955 9586 935 301 170 120 180 18 BB0 030 140 677 7380 538 841 001 06 B00 110 240 436 4883 464 075 20 CCC0 2200 221 302 3811 2464 8619 79 資料來源 Standard Poor s CreditWeek 1996 表 2 信用評等別之一年遠期零息殖利率 forward zero curves 例子 Gategory 1 年期2 年期3 年期4 年期 AAA3 604 174 735 12 AA3 654 224 785 17 A3 723 724 324 324 934 935 325 32 BBB4 104 675 255 63 BB5 556 026 787 27 B6 057 028 038 52 CCC15 0515 0214 0313 52 資料來源 JP Morgan s CreditMetrics technical document 1997 步驟二 評價 接下來則須對轉置 一年 後的各種信用狀態之新的個別資產 價值重新評價 revaluation 因而需要各個信評等級的殖利率曲線 表 1 中各 種可能的信用狀態共有八種 欄 其又可大分成兩類 A 第一類為未發生違約 1 至 7 欄 其評價則以各信用等級一年後的零息遠 期合約殖利率曲線為基礎 表 2 為一個含有各信用等級的一年遠期零息殖 利率曲線的例子 例如 表 2 中的 A 列及第 2 欄的 4 32 代表 A 級債券的兩 年遠期零息殖利率為 4 32 有關此債券重新評價的計算 舉例而言 如果 一年後此 BBB 級債券上升為 A 級後 其機率由表 1 可知為 5 95 則其 現金流量價值之計算公式為 3 1 66 108 0532 1 1006 0493 1 6 0432 1 6 0372 1 6 6 432 此數字將在後面的表 4 中使用 A 列 第二欄 B 另一種可能的信用狀態則為債權公司最不願意看到的現象 發生違約 此時 需要估計其償還率 Recovery Rate 如表 3 以作為資產的評價基礎 表 3 包 含不同類型 順位 擔保 債券之償還率 由表 3 可知償還率的標準差很大 亦即 償還率的估計相當不容易 表 3 不同順位別之償還率 recovery rates 佔面值之百分比 順位等級平均數標準差 Senior Secured53 8026 86 Senior Unsecured51 1351 1325 45 Senior Subordinated38 5223 81 Subordinated32 7420 18 Junior Subordinated17 0910 90 資料來源 Carty Lieberman 96 Moody s Investors Service 表 4 導因於信用品質變化之 BBB 級債券價值波動的計算 一年後評等各信用狀態之發生 機率 債券新價值 AAA0 02109 37 AA0 33109 19 A5 95108 66108 66 BBB86 93107 55 BB5 30102 02 B1 1798 10 CCC0 1283 64 違約 0 1851 13 平均數 107 09 變異數 8 9477 標準差 2 99 資料來源 同表 2 步驟三 有了各種信用狀態的發生機率及價值 見表 4 後 我們就可以得到 單一債券一年後的可能價值之分配 並可據以算出其平均數 標準差或是分配 的第分位數 quantile 表 4 中第 1 欄的數字來自表 1 信用轉置矩陣 th 4 的第 BBB 列 第二欄中前 7 個數字則由類似於公式 1 的計算而得 第 8 個 數字則來自表 3 2 當投資組合中含有兩個 或以上的 債券 續前例 如果我們的投資組合中另外有一張 3 年期 每年付息 5 的 A 級 債券 則可以仿照前例得到其一年後的可能價值之分配 如表 5 結合表 4 及 表 5 可以得到表 6 中合計種的各種可能之投資組合價值 例如 BBB 列6482 及 A 欄的 213 85 代表當 BBB 級債券及 A 級債券同時維持在原來等級的價值 107 55 106 30 表 5 信用評等變化後的 A 級債券價值 一年後評等各信用狀態 之發生機率 機率 債券新價值 AAA0 09106 59 AA2 27106 49 A91 05106 30 BBB5 52105 64 BB0 74103 15 B0 60101 39 CCC0 0188 71 違約 0 0651 13 資料來源 同表 2 表 6 兩個債券的投資組合一年後的所有可能價值 債務人 2 AAAAAABBBBBBCCC 違約債務人 1 106 59106 49106 30105 64103 15101 3988 7151 13 AAA109 37215 96215 86215 67215 01212 52210 76198 08160 50 AA109 19215 78215 68215 49214 83212 34210 58197 90160 32 A108 66215 25215 15214 96214 30211 81210 05197 37159 79 BBB107 55214 14214 04213 85213 85213 19210 70208 94196 26158 68 BB102 02208 61208 51208 33207 66205 17203 41190 73153 15 B98 10204 69204 59204 40203 74201 25199 49186 81149 23 CCC83 64190 23190 13189 94189 28186 79185 03172 35134 77 違約 51 13157 72157 62157 43156 77154 28152 52139 84102 26 資料來源 同表 2 5 但是 為了評量此投資組合之風險 除了前述各種信用等級的價值外 我 們仍須有各種可能評等組合的發生機率 而這將牽涉到信用評等共同移動的聯 合機率分配之決定的問題 因此 在估計資產組合的信用風險時 會有兩個問 題需要解決 A 如何估計信用評等共同移動的相關係數 B 假設有 8 個信用狀態 如表 1 在兩個債券時共有種信用狀態組合 在 2 8 三個債券時共有種信用狀態組合 則在 N 個債券時將會有種信用狀態 3 8 N 8 組合 亦即 信用狀態組合的個數將隨債券的個數呈幾何級數增加 通常不同的債券發行公司會具有某些共同的總體經濟變數 例如 位於同 一個國家或區域內 相同的產業別等 因此其信用評等或違約機率的變化將具 有某種程度的相關性 但由於實際違約資料的稀少特性 以致很難直接觀察或 估計信用等級的聯合變動狀況 令 R 表示資產報酬率 CreditMetrics 將債券的信用等級變動與發行公司的 權益價值變動相連結 透過原有的信用轉置機率 將信用評等的變化轉換成由 一些相對應的資產報酬率門檻值 threshold 來表示 其背後的基本想法為 發債公司於債務到期時 未來將以其所擁有的資產償還 因此不同的公司資產 價值將可以間接反應出不同的公司償債能力及其背後所隱含的可能信用評等變 動 因此我們可以假設如果在一年後公司的資產價值低於某個水準時 將導致 無法償付債款而發生違約 或信用評等產生變化 信用評等與資產報酬率間的 關係可由圖 1 及表 7 展現出來 圖 1 中橫軸的不同 Z 值表示各評等的資產報酬 率之門檻值 例如 表示債務人發生違約 表示發債 Def ZR CCCDef ZRZ 公司的評等被降為 CCC 等級 圖 1 資產報酬率分配及信用評等變化門檻值 Def Z CCC Z B Z BB Z BBB Z A Z AA Z 6 未來一年可能之資產報酬率 資料來源 同表 2 修正 後 假設我們現在的投資組合中含有多個債券 其中一個為 BB 等級債券 註 不同於前例之 BBB 等級債券 以下我們將以此 BB 級債券說明債券評等的報 酬率門檻值之決定過程 表 7 中的第 1 欄為 BB 評等債券未來一年的轉置機率 數字來自表 1 的 BB 列 假設資產報酬率 R 服從常態分配 則我們可以計算各信用評等 及違約 的發生機率如下 Pr Pr 06 1 DefDef ZZR約約 30 2 0106 0 1 Def Z Pr Pr 00 1 DefCCCCCCDef ZZZRZCCC 04 2 0206 0 0106 0 0100 0 CCCCCC ZZ 由以上推導 依次可求得各評等之報酬率門檻值 如表 7 之第 3 欄 上式中的 代表標準常態分配之累積分配函數 表 7 的債券評等之報酬率門檻值將會 在下一節的蒙第卡羅模擬法中用到 表 7 BB 評等發債公司之轉置機率及報酬率門檻值 信用 評等 轉置矩陣 機率 資產價值模型之發生機率資產報酬率門檻 值 AAA0 03 1 AA Z Z 3 43 AA AA0 14 AA Z A Z Z 2 93 A A0 67 A Z BBB Z Z 2 39 BBB BBB7 73 BBB Z BB Z Z 1 37 BB BB80 53 BB Z B Z Z 1 23 B B8 84 B Z CCC Z Z 2 042 04 CCC CCC1 00 CCC Z Def Z Z 2 302 30 Def 7 違約 1 06 Def Z 資料來源 同表 2 而在多 n 個債券的信用評等之聯合移動部分 資產價值模型則透過其相對應 的資產報酬率之相關係數加以描述 假設這些債券所對應的資產報酬率 服從多元常態 multivariate normal 分配 其中 n RRR 21 MN 2 2211 22 2 22112 112112 2 1 2 21 2 2 212 112 2 1 2 1 nnnnn nn nn nnn n n n 其中代表第 i 債券及第 j 債券所對應的發債公司資產報酬率之相關係數 這 ij 裡要特別強調此處代表的是資產報酬率的相關係數 而不是債券評等的相關 ij 係數 我們可以先估計個別資產報酬率的變異數 標準差 及其相互間的樣本 相關係數後 再透過蒙第卡羅模擬法模擬未來資產報酬率 間接決定未來債券 評等之 聯合 走勢 三 蒙地卡羅模擬法之應用 CreditMetrics 主要透過蒙地卡羅模擬法處理前述在估計 大量 債券資產 組合的信用風險時所面臨的兩個問題 以下我們將以一個包含三張債券的投資 組合進行說明 前兩張債券為前節所提及的 4 億 BBB 評等債券及 2 億 A 評等 債券 第三張則為一個 CCC 評等公司所發行的兩年期 面值 1 億 年息 10 的 債券 有關資產價值模型的蒙第卡羅模擬法之執行過程 可以歸納成以下 7 個 步驟 1 由表 1 的 BBB 列 A 列及 CCC 列可以得到這三張債券的信用轉置機 率如表 8 所示 表 8 轉置機率 轉置機率 信用評等 公司 1 BBB 公司 2 A 公司 3 CCC AAA0 020 090 22 AA0 332 270 00 A5 9591 050 22 8 BBB86 935 521 30 BB5 300 742 38 B1 170 2611 24 CCC0 120 0164 86 違約 0 180 0619 79 資料來源 同表 2 2 由類似於公式 1 的計算 表 2 的一年遠期零息殖利率曲線及債券面 值三者 可以得到如表 9 的債券在各種信用狀態 含違約 之價值 例如 表 9 中第 A 列及公司 1 欄的 4 346 等於公式 1 所得的 108 66 乘以債券面值 4 億而得 表 9 未來不同信用評等之債券價值 一年後債券價值一年後之公 司信用狀態公司 1公司 2公司 3 AAA4 3752 1321 162 AA4 3682 1301 161 A4 3464 3462 1261 161 BBB4 3022 1131 157 BB4 0814 0812 0631 142 B3 9242 0281 137 CCC3 3461 7741 056 違約 2 1251 0230 551 資料來源 同表 2 3 接下來 仿照表 7 中各信用評等的資產報酬率門檻值之計算方法求得 表 10 值得注意的是表 10 中的門檻值中並未包含如表 7 中的 其原 因為我們在以下的模擬中可以採用標準化的資產報酬率 因此不需用 到 且在下一個步驟中有關信用評等共同移動的部分也只需用到報 酬率的相關係數 表 10 資產報酬率門檻值 門檻值公司 1公司 2公司 3 Z AA 3 543 122 86 Z A 2 781 982 86 9 ZBBB 1 53 1 512 63 ZBB 1 49 1 49 2 302 11 ZB 2 18 2 18 2 721 74 ZCCC 2 75 3 191 02 Def Z 2 91 3 24 0 85 資料來源 同表 2 4 假設投資組合內的債券所對應的資產報酬率具有多元常態分配 表示 為 一般又假定各資產的報酬率平均數 我們可以使用 MN0 各公司的資產報酬率之歷史資料 先估計出樣本標準差及相關係數 則可求得樣本變異共變異矩陣 variance nji iji 2 1 covariance matrix 接下來 進一步將 標準化成樣本相關係數 矩陣 也就是說 將原來的之第 i 列及第 j 行之元素 element 分別 除以 經由這些步驟 我們可以得到這些債券所對應的標準化資 ji 產報酬率服從 其中為資產報酬率的樣本相關 n RRR 21 0 MN 係數矩陣 5 首先 由模擬產生 6 個 不同情境的資產報酬率資料如表 0 MN 11 左半部之數字所示 其次 將這些數字與表 10 之各信用評等的門檻 值相比較 以決定這些模擬所得的資產報酬率資料之新的信用評等等 級 如表 11 中間部分之等級所示 例如 表 11 中第 2 情境及公司 1 欄的資產報酬率為 2 106 對照表 10 的第 1 欄為介於 之間 因此其所對應的新債券評等為 BBB ZZ 49 1 106 2 18 2 表 11 中新信用評等的 BB 級 接下來 由表 9 可以得到此公司 1 債券 之重新評等價值為 4 081 表 11 右方的新評價之公司 1 欄第 2 列 最 右一欄的投資組合價值則為三張債券的新評等價值之總合 6 重複執行步驟 5 多次 例如 10000 次 則我們可以得到 10000 個可能 的未來投資組合價值 將之由小到大排序 形成一個一年後的可能資 產價值樣本分配 7 評估投資組合所面臨的信用風險並進行風險管理 例如 如果我們想 計算第 1 個百分位數 percentile level 所需要的經濟資本 st 1 10 economic capital 也就是說 希望有 99 的把握在一年內的投資組 合信用風險損失不會超過此一金額 則第 100 一萬的百分之一 低的 投資組合價值與目前投資組合價值的差額也就是我們想計算的經濟資 本 表