基本习题及答案-量子力学

量子力学量子力学习题习题 一一 单项选择题单项选择题 1 能量为 100ev 的自由电子的 De Broglie 波长是 A 1 2A 0 B 1 5A 0 C 2 1A 0 D 2 5A 0 2 能量为 0 1ev 的自由中子的 De Broglie 波长是 A 1 3A 0 B 0 9A 0 C 0 5A 0 D 1 8A 0 3 能量为 0 1ev 质量为 1g 的质点的 De Broglie 波长是 A 1 4A 0 B 1 9 10 12 A 0 C 1 17 10 12 A 0 D 2 0A 0 4 温度 T 1k 时 具有动能Ek T B 3 2 kB 为 Boltzeman 常数 的氦原子的 De Broglie 波长是 A 8A 0 B 5 6A 0 C 10A 0 D 12 6A 0 5 用 Bohr Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为 2 1 0 n A En n B En n 1 2 C En n 1 D En n 2 6 在 0k 附近 钠的价电子的能量为 3ev 其 De Broglie 波长是 A 5 2A 0 B 7 1A 0 C 8 4A 0 D 9 4A 0 7 钾的脱出功是 2ev 当波长为 3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时 光电子 的最大能量为 A 0 25 10 18 J B 1 25 10 18 J C 0 25 10 16 J D 1 25 10 16 J 8 当氢原子放出一个具有频率 的光子 反冲时由于它把能量传递给原子而产 生的频率改变为 A 2 c B 2 2 c C 2 2 2 c D 2 2 c 9 Compton 效应证实了 A 电子具有波动性 B 光具有波动性 C 光具有粒子性 D 电子具有粒子性 10 Davisson 和 Germer 的实验证实了 A 电子具有波动性 B 光具有波动性 C 光具有粒子性 D 电子具有粒子性 11 粒子在一维无限深势阱U x xa xxa 0 0 0 中运动 设粒子的状态由 sinxC x a 描写 其归一化常数 C 为 A 1 a B 2 a C 1 2a D 4 a 12 设 xx 在dxxx 范围内找到粒子的几率为 A x B x dx C 2 x D 2 x dx 13 设粒子的波函数为 x y z 在dxxx 范围内找到粒子的几率为 A x y zdxdydz 2 B x y zdx 2 C dxdydzzyx 2 D dx dy dzx yz 2 14 设 1 x和 2 x分别表示粒子的两个可能运动状态 则它们线性迭加的态 cxcx 1122 的几率分布为 A cc 11 2 22 2 B cc 11 2 22 2 2 121 cc C cc 11 2 22 2 2 121 2 cc D cc 11 2 22 2 c cc c 12121212 15 波函数应满足的标准条件是 A 单值 正交 连续 B 归一 正交 完全性 C 连续 有限 完全性 D 单值 连续 有限 16 有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是 A 波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波 B 微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包 C 单个微观粒子具有波动性和粒子性 D A B C 17 已知波函数 1 u x i Etu x i Et exp exp 21122 u x i E tux i E t exp exp 312 u x i Etux i Et exp exp 41122 ux i E tux i E t exp exp 其中定态波函数是 A 2 B 1和 2 C 3 D 3和 4 18 若波函数 x t归一化 则 A exp x ti 和 exp x ti 都是归一化的波函数 B exp x ti 是归一化的波函数 而 exp x ti 不是归一化的波函数 C exp x ti 不是归一化的波函数 而 exp x ti 是归一化的波函数 D exp x ti 和 exp x ti 都不是归一化的波函数 其中 为任意实 数 19 波函数 1 21 c c为任意常数 A 1与 21 c描写粒子的状态不同 B 1与 21 c所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 1 c C 1与 21 c所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 2 1 c D 1与 21 c描写粒子的状态相同 20 波函数 exp x tc p t i px dp 1 2 的傅里叶变换式是 A c p tx t i px dx exp 1 2 B c p tx t i px dx exp 1 2 C c p tx t i px dx exp 1 2 D c p tx t i px dx exp 1 2 21 量子力学运动方程的建立 需满足一定的条件 1 方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数 2 方程中仅含有波函数关于时间 的二阶以下的导数 3 方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的 4 方程 中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的 5 方程中不能含有决定体系状态 的具体参量 6 方程中可以含有决定体系状态的能量 则方程应满足的条件是 A 1 3 和 6 B 2 3 4 和 5 C 1 3 4 和 5 D 2 3 4 5 和 6 22 两个粒子的薛定谔方程是 A 2 1 21 2 2 21 2 i i trrtrr t i 2121 trrtrrU B 2 1 21 2 2 21 2 i i trrtrr t 2121 trrtrrU C 2 1 21 2 2 21 2 i i i trrtrr t 2121 trrtrrU D 2 1 21 2 2 21 2 i i i trrtrr t i 2121 trrtrrU 23 几率流密度矢量的表达式为 A J 2 B J i 2 C J i 2 D J 2 24 质量流密度矢量的表达式为 A J 2 B J i 2 C J i 2 D J 2 25 电流密度矢量的表达式为 A J q 2 B J iq 2 C J iq 2 D J q 2 26 下列哪种论述不是定态的特点 A 几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化 B 几率流密度矢量不随时间变化 C 任何力学量的平均值都不随时间变化 D 定态波函数描述的体系一定具有确定的能量 27 在一维无限深势阱U x xa xa 02 2 中运动的质量为 的粒子的能级为 A 222 2 4 n a B 222 2 8 n a C 222 2 16 n a D 222 2 32 n a 28 在一维无限深势阱U x xa xa 0 中运动的质量为 的粒子的能级为 A 222 2 2 n a B 222 2 4 n a C 222 2 8 n a D 222 2 16 n a 29 在一维无限深势阱U x xb xb 02 2 中运动的质量为 的粒子的能级为 A 222 2 2 n b B 222 2 n b C 222 2 4 n b D 222 2 8 n b 30 在一维无限深势阱U x xa xa 0 中运动的质量为 的粒子处于基态 其 位置几率分布最大处是 A x 0 B xa C xa D xa 2 31 在一维无限深势阱U x xa xa 0 中运动的质量为 的粒子处于第一激发 态 其位置几率分布最大处是 A xa 2 B xa C x 0 D 4 ax 32 在一维无限深势阱中运动的粒子 其体系的 A 能量是量子化的 而动量是连续变化的 B 能量和动量都是量子化的 C 能量和动量都是连续变化的 D 能量连续变化而动量是量子化的 33 线性谐振子的能级为 A nn 1 212 3 B nn 1012 C nn 1 2012 D nn 112 3 34 线性谐振子的第一激发态的波函数为 exp xNxx 1 22 1 2 2 其位置几 率分布最大处为 A x 0 B x C x D x 35 线性谐振子的 A 能量是量子化的 而动量是连续变化的 B 能量和动量都是量子化的 C 能量和动量都是连续变化的 D 能量连续变化而动量是量子化的 36 线性谐振子的能量本征方程是 A 2 2 2 222 2 1 2 d dx xE B 2 2 2 22 2 1 2 d dx xE C 2 2 2 22 2 1 2 d dx xE D 2 2 2 222 2 1 2 d dx xE 37 氢原子的能级为 A 2 2 2 2 e n s B 2 2 22 2 e n s C 2 4 2 n es D e n s 4 22 2 38 在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A rrRnl 2 B 2 2 rrRnl C rdrrRnl 2 D drrrRnl 2 2 39 在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A lm Y B 2 lm Y C dYlm D dYlm 2 40 波函数 和 是平方可积函数 则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A F dFd B F dFd C FdF d D FdFd 41 F和 G是厄密算符 则 A FG必为厄密算符 B FGGF 必为厄密算符 C i FGGF 必为厄密算符 D i FGGF 必为厄密算符 42 已知算符 xx 和 p i x x 则 A x和 p x都是厄密算符 B xpx必是厄密算符 C xpp x xx 必是厄密算符 D xpp x xx 必是厄密算符 43 自由粒子的运动用平面波描写 则其能量的简并度为 A 1 B 2 C 3 D 4 44 二维自由粒子波函数的归一化常数为 归到 函数 A 12 1 2 B 12 C 12 3 2 D 12 2 45 角动量 Z 分量的归一化本征函数为 A 1 2 exp im B exp 2 1 rk i C 1 2 exp im D exp 2 1 rk i 46 波函数 exp cos 1 imPNY m llm m lm A 是 L2的本征函数 不是 Lz的本征函数 B 不是 L2的本征函数 是 Lz的本征函数 C 是 L2 Lz的共同本征函数 D 即不是 L2的本征函数 也不是 Lz的本征函数 47 若不考虑电子的自旋 氢原子能级 n 3 的简并度为 A 3 B 6 C 9 D 12 48 氢原子能级的特点是 A 相邻两能级间距随量子数的增大而增大 B 能级的绝对值随量子数的增大而增大 C 能级随量子数的增大而减小 D 相邻两能级间距随量子数的增大而减小 49 一粒子在中心力场中运动 其能级的简并度为n2 这种性质是 A 库仑场特有的 B 中心力场特有的 C 奏力场特有的 D 普遍具有的 50 对于氢原子体系 其径向几率分布函数为Wr drR r dr 3232 22 则其几率分布最 大处对应于 Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A a0 B 4 0 a C 9 0 a D 16 0 a 51 设体系处于 1 2 3 2 31 1021 1 1 R YR Y状态 则该体系的能量取值及取值几率分 别为 A EE 32 1 4 3 4 B EE 32 1 2 3 2 C EE 32 1 2 3 2 D EE 32 3 4 1 4 52 接 51 题 该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A 2 1 B 1 C 21 2 D 21 2 53 接 51 题 该体系的角动量 Z 分量的取值及相应几率分别为 A 0 1 4 3 4 B 0 1 4 3 4 C 0 1 2 3 2 D 0 1 2 3 2 54 接 51 题 该体系的角动量 Z 分量的平均值为 A 1 4 B 1 4 C 3 4 D 3 4 55 接 51 题 该体系的能量的平均值为 A es4 2 18 B 31 288 4 2 es C 29 256 4 2 es D 17 72 4 2 es 56 体系处于 Ckxcos状态 则体系的动量取值为 A kk B k C k D 1 2 k 57 接上题 体系的动量取值几率分别为 A 1 0 B 1 2 1 2 C 1 4 3 4 D 1 3 2 3 58 接 56 题 体系的动量平均值为 A 0 B k C k D 1 2 k 59 一振子处于 cc 1133态中 则该振子能量取值分别为 A 3 2 5 2 B 1 2 5 2 C 3 2 7 2 D 1 2 5 2 60 接上题 该振子的能量取值EE 13 的几率分别为 A 2 3 2 1 cc B 2 3 2 1 2 1 cc c 2 3 2 1 2 3 cc c C 2 3 2 1 1 cc c 2 3 2 1 3 cc c D 31 c c 61 接 59 题 该振子的能量平均值为 A 2 3 2 1 2 3 2 1 53 2 1 cc cc B 5 C 9 2 D 2 3 2 1 2 3 2 1 73 2 1 cc cc 62 对易关系 pf x x 等于 f x 为x的任意函数 A i fx B i f x C i fx D i f x 63 对易关系 exp piy y 等于 A exp iy B iiy exp C exp iy D iiy exp 64 对易关系 x px等于 A i B i C D 65 对易关系 Ly x 等于 A i z B z C i z D z 66 对易关系 Lz y 等于 A i x B i x C x D x 67 对易关系 L z z 等于 A i x B i y C i D 0 68 对易关系 x py等于 A B 0 C i D 69 对易关系 pp yz 等于 A 0 B i x C i px D px 70 对易关系 LL xz 等于 A i Ly B i Ly C Ly D Ly 71 对易关系 LL zy 等于 A i Lx B i Lx C Lx D Lx 72 对易关系 LLx 2 等于 A Lx B i Lx C iLL zy D 0 73 对易关系 L Lz 2 等于 A Lz B i Lz C iLL xy D 0 74 对易关系 Lp xy 等于 A i Lz B i Lz C i pz D i pz 75 对易关系 pL zx 等于 A i py B i py C i Ly D i Ly 76 对易关系 Lp zy 等于 A i px B i px C i Lx D i Lx 77 对易式 L x y 等于 A 0 B i z C i z D 1 78 对易式 FF mn 等于 m n 为任意正整数 A F m n B F m n C 0 D F 79 对易式 F G等于 A FG B GF C FGGF D FGGF 80 对易式 F c等于 c 为任意常数 A cF B 0 C c D F 81 算符 F和 G的对易关系为 F Gik 则 F G的测不准关系是 A FG k 22 2 4 B FG k 22 2 4 C FG k 22 2 4 D FG k 22 2 4 82 已知 x pi x 则 x 和 p x的测不准关系是 A xpx 222 B xp 22 2 4 C xpx 22 2 D xpx 22 2 4 83 算符 Lx和 Ly的对易关系为 LLi L xyz 则 Lx Ly的测不准关系是 A LL L xy z22 2 2 4 B LL L xy 22 2 2 4 C FG Lz 22 2 2 4 D FG L 22 22 4 84 电子在库仑场中运动的能量本征方程是 A 2 2 2 2 ze r E s B 2 2 2 2 2 ze r E s C 2 2 2 2 ze r E s D 2 2 2 2 2 ze r E s 85 类氢原子体系的能量是量子化的 其能量表达式为 A z e n s 2 2 22 2 B 22 4 22 2 z e n s C ze n s 2 22 2 D z e n s 2 4 22 2 86 在一维无限深势阱U x xa xxa 00 0 中运动的质量 为的粒子 其状态为 4 2 aa x a xsincos 则在此态中体系能量的可测值为 A 2 22 2 22 2 9 2aa B 22 2 22 2 2 aa C 3 2 3 22 2 22 2 aa D 5 2 4 22 2 22 2 aa 87 接上题 能量可测值E1 E3出现的几率分别为 A 1 4 3 4 B 3 4 1 4 C 1 2 1 2 D 0 1 88 接 86 题 能量的平均值为 A 5 2 22 2 a B 2 22 2 a C 7 2 22 2 a D 5 22 2 a 89 若一算符 F的逆算符存在 则 F F 1 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 90 如果力学量算符 F和 G满足对易关系 F G 0 则 A F和 G一定存在共同本征函数 且在任何态中它们所代表的力学量可同时具 有确定值 B F和 G一定存在共同本征函数 且在它们的本征态中它们所代表的力学量可 同时具有确定值 C F和 G不一定存在共同本征函数 且在任何态中它们所代表的力学量不可能 同时具有确定值 D F和 G不一定存在共同本征函数 但总有那样态存在使得它们所代表的力学 量可同时具有确定值 91 一维自由粒子的能量本征值 A 可取一切实数值 B 只能取不为负的一切实数 C 可取一切实数 但不能等于零 D 只能取不为正的实数 92 对易关系式 ppf x xx 2 等于 A i pfx x 2 B i pfx x 2 C i pf x x 2 D i pf x x 2 93 定义算符 yx LiLL 则 LL 等于 A z L B 2 Lz C 2 Lz D z L 94 接上题 则 LLz 等于 A L B Lz C L D Lz 95 接 93 题 则 LLz 等于 A L B Lz C L D Lz 96 氢原子的能量本征函数 nlmnllm rRr Y A 只是体系能量算符 角动量平方算符的本征函数 不是角动量 Z 分量算符的 本征函数 B 只是体系能量算符 角动量 Z 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的 本征函数 C 只是体系能量算符的本征函数 不是角动量平方算符 角动量 Z 分量算符的 本征函数 D 是体系能量算符 角动量平方算符 角动量 Z 分量算符的共同本征函数 97 体系处于 c Yc Y 1 112 10态中 则 A 是体系角动量平方算符 角动量 Z 分量算符的共同本征函数 B 是体系角动量平方算符的本征函数 不是角动量 Z 分量算符的本征函数 C 不是体系角动量平方算符的本征函数 是角动量 Z 分量算符的本征函数 D 即不是体系角动量平方算符的本征函数 也不是角动量 Z 分量算符的本征函 数 98 对易关系式 FG H等于 A F H GF G H B F H G C F G H D F H GF G H 99 动量为p 的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是 exp 2 1 xp i x P 它在动量表象中的表示是 A pp B pp C p D p 100 力学量算符 x 对应于本征值为x 的本征函数在坐标表象中的表示是 A xx B xx C x D x 101 一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为 2 2 2 2 21 xxx 其中 1 x 2 x是其能量本征函数 则 x在能量表象中的表示是 A 0 2 2 2 2 B 0 2 2 2 2 C 22 22 0 0 D 22 22 0 0 102 线性谐振子的能量本征函数 1 x在能量表象中的表示是 A 0 0 1 B 0 1 0 C 1 0 0 0 D 0 1 0 0 103 线性谐振子的能量本征函数 10 xbxa 在能量表象中的表示是 A 0 22 22 bab baa B 0 0 22 22 bab baa C 0 b a D 0 0 a b 104 在 LLz 2 的共同表象中 波函数 2 2 1 0 1 在该态中 Lz的平均值为 A B C 2 D 0 105 算符 Q只有分立的本征值 Qn 对应的本征函数是 ux n 则算符 F x ix 在 Q表象中的矩阵元的表示是 A Fux F x ix ux dx mnnm B Fux F x ix ux dx mnmn C Fux F x ix ux dx mnnm D Fux F x ix ux dx mnmn 106 力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A 以本征值为对角元素的对角方阵 B 一个上三角方阵 C 一个下三角方阵 D 一个主对角线上的元素等于零的方阵 107 力学量算符 x 在动量表象中的微分形式是 A i px B i px C i px 2 D i px 2 108 线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 A p p 2 22 2 2 2 1 2 B p p 2 2 2 2 2 1 2 C 2 2 22 2 2 1 2p p D p p 2 2 2 2 2 1 2 109 在 Q表象中F 01 10 其本征值是 A 1 B 0 C i D 1 i 110 接上题 F的归一化本征态分别为 A 2 2 1 1 2 2 1 1 B 1 1 1 1 C 1 2 1 1 1 2 1 1 D 2 2 1 0 2 2 0 1 111 幺正矩阵的定义式为 A SS B SS C SS D SS 112 幺正变换 A 不改变算符的本征值 但可改变其本征矢 B 不改变算符的本征值 也不改变其本征矢 C 改变算符的本征值 但不改变其本征矢 D 即改变算符的本征值 也改变其本征矢 113 算符 ax i p 2 1 2 则对易关系式 a a 等于 A a a 0 B a a 1 C a a 1 D a ai 114 非简并定态微扰理论中第n个能级的表达式是 考虑二级近似 A EH H EE nnn mn nm m 0 2 00 B EH H EE nnn mn nm m 0 2 00 C EH H EE nnn mn mn m 0 2 00 D EH H EE nnn mn mn m 0 2 00 115 非简并定态微扰理论中第n个能级的一级修正项为 A H mn B H nn C H nn D H nm 116 非简并定态微扰理论中第n个能级的二级修正项为 A H EE mn nm m 2 00 B H EE mn nm m 2 00 C H EE mn mn m 2 00 D H EE mn mn m 2 00 117 非简并定态微扰理论中第n个波函数一级修正项为 A H EE mn nm m m 00 0 B H EE mn nm m m 00 0 C H EE mn mn m m 00 0 D H EE mn mn m m 00 0 118 沿x方向加一均匀外电场 带电为q且质量为 的线性谐振子的哈密顿为 A H d dx xq x 2 2 2 22 2 1 2 B H d dx xq x 2 2 2 2 2 1 2 C H d dx xq x 2 2 2 2 2 1 2 D H d dx xq x 2 2 2 22 2 1 2 119 非简并定态微扰理论的适用条件是 A H EE mk km 00 1 B H EE mk km 00 1 C H mk 1 D EE km 00 1 120 转动惯量为 I 电偶极矩为 D的空间转子处于均匀电场 中 则该体系的哈密 顿为 A D I L H 2 2 B D I L H 2 2 C D I L H 2 2 D D I L H 2 2 121 非简并定态微扰理论中 波函数的一级近似公式为 A nn nm nm m m H EE 0 00 0 B nn mn nm m m H EE 0 00 0 C nn mn mn m m H EE 0 00 0 D nn nm mn m m H EE 0 00 0 122 氢原子的一级斯塔克效应中 对于n 2的能级由原来的一个能级分裂为 A 五个子能级 B 四个子能级 C 三个子能级 D 两个子能级 123 一体系在微扰作用下 由初态 k跃迁到终态 m的几率为 A 2 0 2 exp 1 t mkmk dttiH B 2 0 exp t mkmk dttiH C 2 0 2 exp 1 t mkmk dttiH D 2 0 exp t mkmk dttiH 124 用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A 写出体系的哈密顿 B 选取合理的尝试波函数 C 计算体系的哈密顿的平均值 D 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分 125 Stern Gerlach 实验证实了 A 电子具有波动性 B 光具有波动性 C 原子的能级是分立的 D 电子具有自旋 126 S为自旋角动量算符 则 SS yx 等于 A 2i B i C 0 D i Sz 127 为 Pauli 算符 则 xz 等于 A i y B i y C 2i y D 2i y 128 单电子的自旋角动量平方算符 S 2的本征值为 A 1 4 2 B 3 4 2 C 3 2 2 D 1 2 2 129 单电子的 Pauli 算符平方的本征值为 A 0 B 1 C 2 D 3 130 Pauli 算符的三个分量之积等于 A 0 B 1 C i D 2i 131 电子自旋角动量的x分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A Sx 2 10 01 B S i i x 2 0 0 C Sx 2 01 10 D Sx 2 10 01 132 电子自旋角动量的 y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A Sy 2 10 01 B S i y 2 01 10 C S i i i y 2 0 0 D S i i y 2 0 0 133 电子自旋角动量的 z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A Sz 2 10 01 B Sz 2 01 10 C Sz 2 10 01 D S i z 2 10 01 134 JJ 12是角动量算符 JJJ 12 则 JJ 2 1 2 等于 A J1 B J1 C 1 D 0 135 接上题 JJ z1 2 等于 A iJJ xy 11 B i J z 1 C J z1 D 0 136 接 134 题 12z JJ 等于 A iJJ xy 11 B i J z 1 C J z1 D 0 137 一电子处于自旋态 asbs zz1 21 2 中 则sz的可测值分别为 A 0 B 0 C 2 2 D 22 138 接上题 测得sz为 22 的几率分别是 A a b B ab 22 C ab 22 22 D aabbab 222222 139 接 137 题 sz的平均值为 A 0 B 2 22 ba C 22 2222 baba D 140 在sz表象中 3 2 1 2 则在该态中sz的可测值分别为 A B 2 C 22 D 2 141 接上题 测量sz的值为 22 的几率分别为 A 3 21 2 B 1 2 1 2 C 3 4 1 4 D 1 4 3 4 142 接 140 题 sz的平均值为 A 2 B 4 C 4 D 2 143 下列有关全同粒子体系论述正确的是 A 氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系 B 氢原子中的电子 质子 中子组成的体系是全同粒子体系 C 光子和电子组成的体系是全同粒子体系 D 粒子和电子组成的体系是全同粒子体系 144 全同粒子体系中 其哈密顿具有交换对称性 其体系的波函数 A 是对称的 B 是反对称的 C 具有确定的对称性 D 不具有对称性 145 分别处于p态和d态的两个电子 它们的总角动量的量子数的取值是 A 0 1 2 3 4 B 1 2 3 4 C 0 1 2 3 D 1 2 3 二二 填空题填空题 1 Compton 效应证实了 2 Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 3 Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 4 一质量为 的粒子的运动速度远小于光速 其动能为Ek 其德布罗意波长为 5 黑体辐射和光电效应揭示了 6 1924 年 法国物理学家 De Broglie 提出了微观实物粒子具有 7 自由粒子的 De Broglie 波函数为 8 用 150 伏特电压加速的电子 其 De Broglie 波的波长是 9 玻恩对波函数的统计解释是 10 一粒子用波函数 r t描写 则在某个区域dV内找到粒子的几率为 11 描写粒子同一状态的波函数有 个 12 态迭加原理的内容是 13 一粒子由波函数 exp x tc p t i px dp 1 2 描写 则c p t 14 在粒子双狭缝衍射实验中 用 1和 2分别描述通过缝 1 和缝 2 的粒子的状 态 则粒子在屏上一点 P 出现的几率密度为 15 一维自由粒子的薛定谔方程是 16 N 个粒子体系的薛定谔方程是 17 几率连续性方程是由 导出的 18 几率连续性方程的数学表达式为 19 几率流密度矢量的定义式是 20 空间 V 的边界曲面是 S w和 J分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量 则 VS SdJdV t w 的物理意义是 21 量子力学中的质量守恒定律是 22 量子力学中的电荷守恒定律是 23 波函数应满足的三个标准条件是 24 定态波函数的定义式是 25 粒子在势场U r 中运动 则粒子的哈密顿算符为 26 束缚态的定义是 27 线性谐振子的零点能为 28 线性谐振子的两相邻能级间距为 29 当体系处于力学量算符 F的本征态时 力学量 F 有确定值 这个值就是相应 该态的 30 表示力学量的算符都是 31 厄密算符的本征值必为 32 pp rr d 33 角动量平方算符的本征值为 34 角动量平方算符的本征值的简并度为 35 氢原子能级n 5的简并度为 36 氢原子的能级对角量子数l简并 这是 场所特有的 37 一般来说 碱金属原子的价电子的能级的简并度是 38 氢原子基态的电离能为 39 氢原子体系n 2的能量是 40 处于 200 r态的氢原子 其电子的角向几率分布是 41 厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式是 42 厄密算符属于不同本征值的本征函数 43 力学量算符 F的本征函数系为 nx 则本征函数系 nx的完全性是 44 当体系处于 xcx nn n 态时 其中 nx为 F的本征函数系 在 x态中测量力学量 F 为其本征值 n的几率是 45 一力学量算符 F既有分立谱又有连续谱 则 F在任意态 x的平均值为 46 如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数 则这两个算符 47 完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量 它们是 48 测不准关系反映了微观粒子的 49 若对易关系 A Bic 成立 则 A B的不确定关系是 50 如果两个力学量算符对易 则在 中它们可同时具有确定值 51 电子处于 2 3 2 1 1110 YY态中 则电子角动量的z分量的平均值为 52 角动量平方算符与角动量x分量算符的对易关系等于 53 角动量x分量算符与动量的z分量算符的对易关系等于 54 角动量y分量算符与坐标的z分量算符的对易关系等于 55 y py 56 粒子的状态由kxxcos 描写 则粒子动量的平均值是 57 一维自由粒子的动量本征函数是 58 角动量平方算符的本征值方程为 59 若不考虑电子的自旋 描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是 60 氢原子能量是考虑了 得到的 61 量子力学中 称为表象 62 动量算符在坐标表象的表达式是 63 角动量算符在坐标表象中的表示是 64 角动量 y 分量的算符在坐标表象中的表示是 65 角动量 z 分量的算符在坐标表象中的表示是 66 波函数 tx 在动量表象中的表示是 67 在动量表象中 具有确定动量p 的粒子 其动量算符的本征方程是 68 已知 Q具有分立的本征值 Qn 其相应本征函数为 ux n 则任意归一化 波函数 x t可写为 x tat ux nn n 则 x t在Q表象中的表示是 69 量子力学中 Q的本征函数为 ux n n 1 2 3 有无限多 称为 Hilbert 空间 70 接 68 题 力学量算符 F x ix 在Q表象中的矩阵元的数学表达式为 71 量子力学中 表示力学量算符的矩阵是 矩阵 72 接 68 题 力学量算符 Q x ix 在自身表象中的表示是 73 力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵 74 力学量算符 F x ix 在坐标表象中的矩阵元为 75 幺正矩阵满足的条件是 76 幺正变换不改变力学量算符的 77 幺正变换不改变矩阵F的 78 力学量算符 x 在动量表象中的微分形式是 79 坐标表象中的薛定谔方程是 2 2 2 trrUtr t i 它在动量 表象中的表示是 80 线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 81 非简并定态微扰理论中 能量二级近似值为 82 非简并定态微扰理论中 波函数的一级近似表示为 83 非简并定态微扰理论的适用条件是 84 Stark 效应是 85 氢原子处于弱电场 中 其体系的微扰哈密顿是 86 在微扰作用下 t时刻由 k态到 m态的跃迁几率是 87 1925 年 Ulenbeck 和 Goudsmit 提出每个电子具有自旋角动量 S 它在空间 任何方向的投影只能取两个数值 即是 88 Stern Gerlach 实验证实了 89 Pauli 算符 xz的反对易关系式是 90 自旋角动量算符的定义式为 91 自旋角动量算符 Sx在 z S表象中的矩阵表示是 92 自旋角动量算符 Sy在 z S表象中的矩阵表示是 93 自旋角动量算符 Sz属于本征值 2 的本征函数 在Sz表象中的矩阵表示是 94 Pauli 算符 xz的积算符在z 表象中的矩阵表示是 95 全同性原理的内容是 96 全同粒子体系的哈密顿具有 对称性 97 全同粒子体系的波函数具有确定对称性 这种对称性不随 改变 98 如果全同粒子体系的波函数是反对称的 则组成该体系的全同粒子一定是 99 Pauli 原理的内容是 100 自旋算符无经典对应力学量 这纯属于 三 判断题 说明必要的理由 三 判断题 说明必要的理由 1 量子力学是 18 世纪 20 年代诞生的科学 2 量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识 3 量子的概念是由爱因斯坦提出的 4 光量子的概念首先由普朗克引入 5 按照光的电磁理论 光的强度与频率有关 6 黑体必须是表面很黑的物体 7 普朗克常数起重要作用的现象可称为量子现象 8 按玻尔理论 谐振子不存在零点能 9 玻尔理论认为微观粒子是质点 10 微观实物粒子的波粒二象性由玻尔首先提出 11 自由粒子的能级是简并的 12 任意态的几率流密度都与时间无关 13 波函数归一化后就完全确定 14 波函数通常不可能是纯实数或纯虚数 15 波函数就是描写系统状态的态函数 16 波函数不是物理量 17 由波函数可以确定微观粒子的轨道 18 量子力学中自由粒子的概念比经典力学宽广的多 19 量子力学中的物理量都是分立的 20 无限深势阱越宽就越接近经典规律 21 量子力学中用算符表示微观粒子的力学量 22 量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量 23 量子力学中的算符都是幺正算符 24 角量子数为零的态称为s态 25 角量子数为 1 的态称为p态 26 当氢原子体系的能量大于零时 其电子的状态是束缚态 27 辏力场就是库仑场 28 库仑场一定是辏力场 29 辏力场一定是库仑场 30 约化质量又称为折合质量 31 无论是属于相同本征值还是不同本征值的本征函数都必定相互正交 32 若A 与B 对易 且B 与C 对易 则A 与C 对易 33 力学量的平均值一定是实数 34 若两个算符不对易 则它们不可能同时有确定值 35 正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系 36 测不准关系只适用于不对易的物理量 37 量子力学中力学量算符的对易关系没有传递性 38 量子力学的矩阵力学首先由薛定谔建立 39 对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并 40 归一化包括真实归一和归到 函数 41 泡利首次提出电子具有自旋的假设 42 自旋角动量算符与轨道角动量算符的引入方式不同 因而不能满足同一个对 易关系 43 塞曼效应与电子的自旋有关 44 电子是玻色子 光子是费米子 45 全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变 46 泡利不相容原理仅适用于玻色子系统 47 两电子的自旋反平行态为三重态 48 对单电子来说 三个泡利矩阵相乘的结果为单位矩阵 49 电子的波函数是三行一列的矩阵 50 泡利矩阵的表示不因表象的改变而改变 四四 名词解释名词解释 1 量子现象 2 光的波粒二象性 3 德布罗意公式 4 光子 5 脱出功 6 黑体 7 微观实物粒子的波粒二象性 8 Bohr 的原子量子论 9 态迭加原理 10 波函数的标准条件 11 定态 12 束缚态 13 几率波 14 归一化波函数 15 几率流密度矢量 16 线性谐振子的零点能 17 厄密算符 18 简并度 19 力学量的完全集合 20 箱归一化 21 函数的正交性 22 角动量算符 23 力学量算符的本征函数的正交归一性 24 氢原子的赖曼线系 25 表象 26 希耳伯特空间 27 幺正变换 28 狄喇克符号 29 占有数表象 30 粒子的湮灭算符和产生算符 31 厄密矩阵及其特点 32 能量表象 五 证明题 五 证明题 1 证明在定态中 几率流密度矢量与时间无关 2 证明厄密算符的本征值为实数 3 证明坐标算符 x 和动量算符 p x为厄密算符 4 证明对于非简并情况 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 5 已知力学量算符 F的本征函数系 nx具有完全性 有一归一化的波函数 xcx nn n 证明cn n 2 1 6 已知 Fxx nnn 则算符 F在归一化波函数 x中的平均值为 Fx Fx dx 证明Fx Fx dxc nn n 2 其中 cxx dx nn 7 证明 pf xi fx x 其中f x 为x的任一函数 8 证明如果两个算符有完全的共同本征函数系 则这两个算符必对易 9 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是JJ ere 0 J e m r enlm sin 2 10 证明在Ylm 态中 p x和 p y的平均值等于零 11 一维体系的哈密顿算符 H p U x 2 2 具有分立谱 证明该体系的动量在能 量本征态中的平均值等于零 12 证明对易关系 L Lz 2 0 13 在 Lz的本征态下 证明LL xy 0 14 证明力学量算符的矩阵是厄密矩阵 15 仿上题 并由此证明力学量算符在自身表象中的矩阵表示是对角阵 对角线上 的元素依次按其本征值排列 16 粒子作一维运动 其能量本征方程为 2 2 2 2 d dx U xxEx nnn 试证 p i EEx mnnmmn 17 证明动量算符的属于本征值为 p的本征函数在动量表象中的表示是 pp 18 已知力学量算符 Q的本征方程为 QuxQ ux nnn 试证明力学量平均值公 式Fx t F x ix x t dx 在 Q表象中的矩阵表示是 nm nmnm taFtaF 其中 dxxuFxuF nmmn dxtxxuta nn 3 2 1 nm 19 已知力学量算符 Q的本征方程为 QuxQ ux nnn 试证明薛定谔方程 i t x tH x ix x t 在 Q表象中的矩阵表示是 n nmn m taH dt tda i 其中 dxxuHxuH nmmn dxtxxuta nn 3 2 1 nm 20 试证明线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的表示是 2 2 2 22 2 1 2 1 p mdp d mH 21 在 2 z LL表象中 算符 010 101 010 2 2 x L 试证明其本征值为 0 22 在 2 z LL表象中 算符 00 0 00 2 2 i ii i Ly 试证明其本征值为 0 23 定义 1 2 xy i 证明 1 22 0 2 z 24 证明在 z表象中 xyz i 25 证明在自旋态 1 2 1 S z 中 Sx和Sy的测不准关系是 SS xy 22 4 16 六 计算题 六 计算题 1 氦原子的动能为EkT 3 2 k为 Boltzman 常数 求TK 1时氦原子的波长 2 利用 Bohr Sommerfeld 量子化条件求一维线性谐振子的能量 3 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对 如果两个光子的能量相等 问要实现这种转化 光子的波长最大是多少 4 一粒子由 1 r ikrexp 描写 计算其几率流密度 并说明其物理意义 5 一粒子由 2exp 1 kri r 描写 计算其几率流密度 并说明其物理意义 6 求在一维势场U x xxa xa 0 0 0 中运动的粒子的能级和本征函数 7 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置 8 求在一维势场U x x xx 0 1 2 0 22 中运动的粒子的能级和本征函数 9 试导出几率连续性方程 10 求在一维势场U x xxa xa 0 0 中运动的粒子的能级 11 求在二维势场 ayax ayyaxx yxU 0 0 0 0 0 中运动的粒子的能级和本征函数 12 试求 Li z 的本征值和本征函数 13 设氢原子处于状态 rrr 1 2 3 2 21021 1 中 求氢原子的能量 角动量及角动 量的 z 分量的可测值 以及这些值出现的的几率和它们的平均值 14 一粒子在硬壁球形空腔中运动 势能为U r ra ra 0 求粒子的能级和定 态波函数 l 0 15 设t 0时粒子的状态为 sin cos xAkxkx 2 1 2 求此时粒子的平均动 量和平均动能 16 线性谐振子处于 2 1 2 2 2 1 420 xxxx 其中 x n 为线性谐振子的能量本征函数 试求能量的可测及平均值 17 氢原子处于基态 exp 1 0 3 0 a r a r 求径向坐标和势能的平均值 18 氢原子处于基态 exp 1 0 3 0 a r a r 求最可几半径和动能平均值 19 一粒子的状态由kxA 2 sin 描写 求动量的平均值 20 求在 Lz的本征态下 角动量沿与 z 轴成 角的方向上的分量的平均值 21 一量子体系的哈密顿算符为 2 2 22 1 2 1 2 1 zyx L I LL I H 其中 21 I I为常量 试计算该体系的能级 22 厄密算符 A与 B 满足 ABABBA 22 10 求 1 在 A 表象中 求 A与 B的矩阵表示 并求 B的本征值和本征函数 2 在 A 表象中 求 A与 B的 矩阵表示 并求 A的本征值和本征函数 23 设 KLM LMML 1 为 K的本征函数 即 K 为本征值 则UL 与V M 也是 K的本征函数 并求其本征值 24 转动惯量为I 电耦极矩为 D的平面转子处在均匀电场 中 电场在转动平 面内 若电场较小 试用微扰法求转子能量的二级近似值 25 设体系的哈密顿在 H 0 表象中的表示为H Eba aEb 1 0 2 0 其中 EE 1 0 2 0 为H 0 的能级 a b 为小实数量 试用微扰公式计算体系能量的二级 近似值 26 设体系的哈密顿在 H 0 表象中的表示为 HHH ab bac ca 0 1 2 3 1 2 3 00 00 00 0 0 试用微扰公式计算体系能量的二 级近