【惠州一模】惠州市2018届高三4月模拟考试数学【文科】试题和参考答案

数学试题 文科 第 1 页 共 19 页 图图 1 惠州市惠州市 20182018 届高三模拟考试届高三模拟考试 文科数学文科数学 全卷满分 150 分 时间 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号 座位号 学校 班级等考生信息填写在 答题卡上 2 作答选择题时 选出每个小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 写在本试卷上无效 3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答 答案必须写在答题卡各题指定的位置上 写在 本试卷上无效 一一 选择题 选择题 本大题本大题共共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有分 在每个小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则集合 2 0 lg 21Ax xxBx yx AB A B C D 1 0 2 0 1 1 1 2 1 2 2 已知复数 则 2 1 1 i z i z A B C D 1235 3 甲乙两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种 则他们选择相 同颜色运动服的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 4 如图 1 九章算术 中记载了一个 折竹抵地 问题 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 问折者高几何 意思是 有一根竹子 原高一丈 1 丈 10 尺 现被风 折断 尖端落在地上 竹尖与竹根的距离三尺 问折断 处离地面的高为 尺 A B C D 5 454 554 25 8 2018 04 数学试题 文科 第 2 页 共 19 页 5 执行图 2 所示的程序框图 若输入的 2018x 则输出的 i A B C D 2345 6 将函数的图象上各点的横坐标变为原sin 6 yx 来的 纵坐标不变 再往上平移 1 个单位 所得图 1 2 象对应的函数在下面哪个区间上单调递增 A B 3 3 2 2 C D 3 6 2 63 7 设函数 若 则的取值范围是 1 2 21 0 0 x x f x xx 0 1f x 0 x A B C D 1 1 1 2 0 1 1 8 已知为双曲线的一个焦点 其关于双曲线的一条F 22 22 10 0 xy Cab ab C 渐近线的对称点在另一条渐近线上 则双曲线的离心率为 C A B C D 2325 9 某四面体的三视图如图 3 所示 正视图 俯视图都是 腰长为 2 的等腰直角三角形 侧视图是边长为 2 的 正方形 则此四面体的体积是 A B C D 4 3 8 3 48 10 已知数列的前项和为 且 则 n an n S21 nn Sa 6 6 S a A B C D 63 32 31 16 123 64 127 128 图图 3 图图 2 是 否 数学试题 文科 第 3 页 共 19 页 11 在中 点为边上一点 且 ABC 22 120ABACBAC DBC2BDDC 则 AB AD A B C D 32 7 3 2 3 12 已知是抛物线的焦点 为抛物线上的动点 且点的坐标为 则F4 2 x yPA01 的最小值是 PF PA A B C D 1 4 1 2 2 2 3 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共4小题 每小题小题 每小题5分 分 13 曲线在处的切线方程为 sin2 x Cf xxe 0 x 14 若变量 满足约束条件 则点到点的最小距离为 xy 4 2 00 xy xy xy 34 xy 15 已知数列对任意的有 若 则 n a m nN mnm n aaa 1 2a 2018 a 16 已知函数对任意的 都有 函数是奇函数 f xxR 11 22 fxfx 1f x 当时 则方程在区间内的所有零点之和 11 22 x 2f xx 1 2 f x 3 5 为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分 分 数学试题 文科 第 4 页 共 19 页 17 本小题满分 12 分 已知 分别为 三个内角 的对边 且 abcABCA BC 3cos1 sin aA cC 1 求角的大小 A 2 若 且 的面积为 求的值 5bc ABC3a 18 本小题满分 12 分 如图 直角中 分别是边的中ABC 90ACB 24BCAC DE AB BC 点 沿将折起至 且 DEBDE FDE 60CEF 1 求四棱锥的体积 FACED 2 求证 平面 平面 ADFACF 19 本小题满分 12 分 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系 现在从 4 月份的 30 天 中随机挑选了 5 天进行研究 且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸 泡后的发芽数 得到如下表格 日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日 温差 x 101113128 发芽数 y 颗2325302616 1 从这 5 天中任选 2 天 记发芽的种子数分别为 求事件 均不小于 25 的概 m n m n 数学试题 文科 第 5 页 共 19 页 率 2 若由线性回归方程得到的估计数据与 4 月份所选 5 天的检验数据的误差均不超过 2 颗 则认为得到的线性回归方程是可靠的 请根据 4 月 7 日 4 月 15 日与 4 月 21 日这三 天的数据 求出关于的线性回归方程 并判定所得的线性回归方程是yx ybxa 否可靠 参考公式 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx a ybx 参考数据 33 2 11 977 434 iii ii x yx 20 本小题满分 12 分 已知抛物线的焦点为 点满足 2 20ypx p F 2P pp3PF 1 求抛物线的方程 2 过点的直线 交抛物线于两点 当时 求直线 的方程 1 0 lAB 3FAFB l 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 4ln1f xxmxmR 1 讨论函数的单调性 f x 数学试题 文科 第 6 页 共 19 页 2 若对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 1 xe 0f x m 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一 题计分题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 且 xoyC cos sin xaa ya 0a 以为极点 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 直线 的极坐标方程为Oxl 3 cos 32 1 若曲线与 只有一个公共点 求的值 Cla 2 为曲线上的两点 且 求 的面积最大值 ABC 3 AOBOAB 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1f xx 1 求不等式的解集 211f xx M 2 设 证明 a bM f abf afb 数学试题 文科 第 7 页 共 19 页 惠州市惠州市 2018 届高三模拟考试届高三模拟考试 数学 文科 参考答案与评分标准数学 文科 参考答案与评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 分 题号123456789101112 答案CBABBCDCAADC 1 解析 因为 所以 选 C 1 01 2 AxxBxx 1 1 2 ABxx 2 解析 选 B 2 1 2 11 ii z ii 2 2 2 2 1 1 2 ii ii z 3 解析 甲 乙两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种有 9 种 不同的结果 分别为 红 红 红 白 红 蓝 白 红 白 白 白 蓝 蓝 红 蓝 白 蓝 蓝 他们选择相同颜色运动服有 3 种不同的结果 即 红 红 白 白 蓝 蓝 故他们选择相同颜色运动服的概率为 选 A 31 93 4 解析 如图 已知 AC AB 10 尺 BC 3 尺 222 9ABACBC 所以 解得 9ABACABAC 0 9ABAC 因此 解得 10 0 9 ABAC ABAC 5 45 4 55 AB AC 故折断后的竹干高为 4 55 尺 选 B 5 解析 第一次执行循环体后 第二次执行循环体后 11 2 20172017 bia 第三次执行循环体后 输出选 B 20172017 3 20182018 bia 2018 b 3i 6 解析 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的 可得 sin 6 yx 1 2 的图象 再往上平移 个单位 得函数的图象 其单 sin 2 6 yx 1 sin 21 6 yx 数学试题 文科 第 8 页 共 19 页 调区间与函数相同 令 解得 sin 2 6 yx 2 22 Z 262 kxkk 当时 为 选 C Z 36 kxkk 0k 3 6 另 用五点画出另 用五点画出的函数图象 如下 的函数图象 如下 可直接观察出单调区间 可直接观察出单调区间 sin 2 6 yx 7 解析 令 0 x 不符合题意 排除 A B 1x 时 1f x 不符合题意 排除 C 选 D 另 画出 另 画出 1 2 21 0 0 x x f x xx 的大致图象如下 也可观察出答案为的大致图象如下 也可观察出答案为 D 8 解析 如右图所示 由题意可知 OPQOPF POQPOF60QOM 1 2 cos60 e 选 C 9 解析 由三视图知该几何体为棱锥 其中平面 ABCD SABD SC 数学试题 文科 第 9 页 共 19 页 此三棱锥的 体积 选 A 114 2 2 2 323 V 10 解析 由得 111 21 1 aaa 1nnn aSS 21 n n S 66 665 63 32 SS aSS 选 A 11 解析 因为 11112 33333 ADCDACCBACABACACABAC 选 D 另 本小题也可以建立坐标系去计 另 本小题也可以建立坐标系去计 212422 33333 AB ADABAB AC 算 算 12 解析 由题意可得 抛物线 x2 4y 的焦点 F 0 1 准线方程为 y 1 过点 P 作 PM 垂直于准线 M 为垂足 则由抛物线的定义可得 PF PM 则 sin PAM PAM 为锐角 故当 PAM 最小时 最小 故当 PA 和抛物线相切时 最小 设切点 P 2 a 由 y x2的导数为 y x 则 PA 的斜率为 2 求得 a 1 可得 P 2 1 PM 2 PA 2 sin PAM 故选 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 14 15 4036 16 423yx 3 2 2 13 解析 由 得 切线的斜率 sin2 x f xxe cos x fxxe 03f 为 故切线方程为 02kf 23yx 数学试题 文科 第 10 页 共 19 页 14 解析 由约束条件作出可行域如图 点 3 4 到点 x y 的最小距离为 P 3 4 到直线 x y 4 0 的距离 为 15 解析 令 m 1 则可知 为等差数列 首项和公差均为 111 2 nnnn aaaaa n a 2 22 1 2 n ann 2018 4036a 16 解析 因为函数是奇函数 所以函数的图象关于点对称 把函 1f x 1f x 0 0 数的图象向右平移 1 个单位可得函数的图象 即函数的图象关于点 1f x f x f x 对称 则 又因为 所以 1 0 2fxf x 11 22 fxfx 从而 再用替换可得 1fxf x 21fxfx x1x 1f xf x 所以 即函数的周期为 2 且图象关于直线对 21f xf xf x f x 1 2 x 称 如图所示 区间内有 8 个零点 所有零点之和为 1 2 f x 3 5 1 2 44 2 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分 12 分 数学试题 文科 第 11 页 共 19 页 解析 由正弦定理得 2 3sincos1 sinsin AA CC 分 由于 sin0C 3sincos1AA 3sincos1AA 即 4 分 1 sin30 2 A 0180A 3030150A 3030A 660A 分 由 可得 83 ABC S 1 sin3 2 SbcA 4bc 分 由余弦定理得 10 2 222 2cos313abcbcAbcbc 分 1213a 分 18 本小题满分 12 分 解析 分别是边的中点 D E AB BC 平行且等于的一半 1DEAC 1DEBC DE 分 依题意 2DEEF BEEF 于是有 3 DEBC DEEF DECEF EFECE EF ECCEF 平面 平面 分 DECEF 平面 数学试题 文科 第 12 页 共 19 页 4ACEDCEF 平面平面 分 过点作于 则FFMEC M 5 ACEDCEFCE FMECFMACED FMCEF 平面平面且交线为 平面 平面 分 60CEF 3FM 梯形的面积ACED 11 12 23 22 SACEDEC 四棱锥的体积 6FACED 11 333 33 VSh 分 法一 如图 设线段的中点分别为 连 AF CF N Q 接 则 于是 DN NQ EQ 1 2 NQAC 1 2 1 2 DEAC DE NQDEQN NQAC DNEQ 是平行四边形 又 是等边三角形 EQ FC 8 60 ECEF CEF CEF 分 由 1 知 DECEF EQCEF 平面平面DEEQ ACEQ 于是 10 ACEQ FCEQ EQACF ACFCC AC FCACF 平面 平面 分 数学试题 文科 第 13 页 共 19 页 DNACF 平面 又 DNADF 平面 平面 平面 12ADFACF 分 法二 连接 是边长为 2 等边三角形 BF 60ECEFCEF CEF 8 BEEF 1 30 2 EBFCEF 90BFC BFFC 分 又 DEBCF DE 平面 ACACBCF 平面 10BFBCF 平面ACBF 分 又 FCACC 又 BFACF 平面BFADF 平面 平面 平面 12ADFACF 分 19 本小题满分 12 分 解析 所有的基本事件为 23 25 23 30 23 26 23 16 25 30 25 26 25 16 30 26 30 16 26 16 共 10 个 2 分 设 m n均不小于 25 为事件 A 则事件 A 包含的基本事件为 25 30 25 26 30 26 共 3 个 故由古典概型概率公式得 P A 3 10 5 分 由题意得 11 13 1225 30 26 12 27 33 xy 2 3972 3432 xyx 数学试题 文科 第 14 页 共 19 页 且 33 2 11 977 434 iii ii x yx 所以 1 22 1 97797255 27123 4344322 2 n ii i n i i x ynx y ba xnx 所以关于的线性回归方程 9yx 5 3 2 yx 分 且 当时 10 x 22 y 2223 2 当时 11x 49 2 y 49 25 2 2 当时 13x 59 2 y 59 30 2 2 当时 12x 27 y 2726 2 当时 8x 17 y 17 16 2 所以所得到的线性回归方程是可靠的 12 分 20 本小题满分 12 分 解析 由条件易知在抛物线上 1 2P pp 2 2ypx 分 3 分 3 3 22 p pp PFx 故 即抛物线的方程为 42p 2 4yx 分 易知直线 斜率必存在 设 5l 1l yk x 11 A x y 22 B xy 分 6 12 3131FAFBxx 分 联立得即 8 分 2 4 1 yx yk x 2 2 14kxx 2222 24 0k xkxk 数学试题 文科 第 15 页 共 19 页 由得 9 2 16 160k 2 1k 分 且 10 2 12 2 24k xx k 12 1x x 分 由 得 即直线 12 2 3 1 4 k 3 1 2 l yx 分 21 本小题满分 12 分 解析 由题知 1 2 442 2 0 mx fxmxx xx 分 当时 在时恒成立0m 0fx 0 x 在上是增函数 2 分 f x 0 当时 0m 2 22 2 442 2 0 m xx mm mx fxmxx xxx 令 得 令 得 0fx 2 0 x m 0fx 2 x m 在上为增函数 在上为减函数 5 分 f x 2 0 m 2 m 法一 由题知 在上恒成立 2 4ln10 xmx 1 xe 即在上恒成立 7 分 2 4ln1x m x 1 xe 令 所以 8 分 2 4ln1 1 x g xxe x 3 2 1 4ln x gx x 数学试题 文科 第 16 页 共 19 页 令得 令得 9 分 0gx 1 4 1xe 0gx 1 4 exe 在上单调递增 在上单调递减 10 分 g x 1 4 1 e 1 4 ee 11 分 1 1 4 4 2 max 1 4 4ln12ee g xg e e e 12 2 e m e 分 法二 要使恒成立 只需 6 0f x max0f x 分 1 当时 在上单调递增 所以 0m f x 1 e 2 max 410f xf eme 即 这与矛盾 此时不成立 7 2 5 m e 0m 分 2 当时 0m 若即时 在上单调递增 2 e m 2 2 0m e f x 1 e 所以 即 这与矛盾 此时不成立 2 max 410f xf eme 2 5 m e 2 2 0m e 8 分 若即时 在上单调递增 在上单调递减 2 1e m 2 2 2m e f x 2 1 m 2 e m 所以即 max 22 4ln10f xf mm 1 4 2 e m 解得 又因为 所以 10 2 e m e 2 2 2m e 2 2 e m e 分 数学试题 文科 第 17 页 共 19 页 即时 在 递减 则 2 1 m 2m f x 1 e max 110f xfm 又因为 所以