圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 专题 1 椭圆 考点 1 椭圆的定义 椭圆的定义 平面内与两个定点 的距离的和等于常数 2 大于 的点 1 F 2 Fa 21 FF 的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距 特别提示 椭圆的定义中特别要注意条件 否则规矩不是椭圆 当时 动点的ca22 ca22 轨迹是两定点间的线段 当时 动点的轨迹不存在 ca22 必备方法 1 掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力 椭圆的集合语 言表述如下 2 2 2121 FFaaMFMFMP 若为椭圆上任意一点 则有 M 21 2MFMFa 2 一般地 遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决 典例导悟 例 1 已知 是椭圆 C 的两个焦点 过且垂直于轴的直线交 C 于 0 1 1 F 0 1 2 F 2 Fx A B 两点 且 则 C 的方程为 3 AB A B C D 1 2 2 2 y x 1 23 22 yx 1 34 22 yx 1 45 22 yx 例 2 已知点 直线与椭圆相交于 A B 两点 则 0 3 M 3 xky1 4 2 2 y x 的周长为 ABM A 4 B 8 C 12 D 16 例 3 设椭圆的左 右焦点分别为 是上的点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 1 F 2 FPC 则的离心率为 212 FFPF o 30 21 FPFC A B C D 6 3 3 1 2 1 3 3 考点 2 椭圆的标准方程 1 椭圆的标准方程 1 焦点在 x 轴上时 22 22 1 xy ab 0ab 2 焦点在 y 轴上时 1 2 2 2 2 b x a y 0ab 2 在椭圆的标准方程中 都有 且 0ab 222 bac 必备方法 1 给出椭圆方程时 判断椭圆焦点的位置的方法是 椭圆的焦点在 x 轴上1 22 n y m x 时 椭圆的焦点在轴上时 这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方nm ynm 法 2 在求解椭圆问题时 首先要判断焦点 的位置 这是椭圆的定位条件 它决 1 F 2 F 定椭圆标准方程的类型 而方程中的两个参数 确定椭圆的形状和大小 是椭圆的定ab 形条件 3 当焦点的位置不能确定时 椭圆方程可设为 且 1 22 n y m x 0 m0 nnm 典例导悟 例 1 已知中心在原点的椭圆的右焦点为 离心率等于 则的方程是 C 0 1 F 2 1 C A B C D 1 43 22 yx 1 34 22 yx 1 24 22 yx 1 34 22 yx 例 2 已知椭圆的离心率为 双曲线的渐近线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C 2 3 1 22 yx 与椭圆有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16 则椭圆的方程为 CC A B C D 1 28 22 yx 1 612 22 yx 1 416 22 yx 1 520 22 yx 例 3 对于常数 是 方程的曲线是椭圆 的 mn0 mn1 22 nymx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 3 椭圆的几何性质 必备方法 1 在求解有关离心率的问题时 一般并不是直接求出和的值 而是根据题目中给ca 出的椭圆的几何特征 建立关于参数 的方程或不等式 通过解方程或不等式求cab 得离心率的值或范围 2 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 解决焦点三角形问题常利 用椭圆的定义和正弦 余弦定理 3 涉及直线与椭圆相交问题 常将直线方程与椭圆方程联立方程组 消元转化为一元 二次方程 然后结合判别式 根与系数关系 解题 a b xx 21 a c xx 21 4 涉及中点弦问题 常用点差法来解决 一 设点 二 代点 三 作差 标准方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 简 图 范 围 byax bxay 顶点 0 0 ba 0 0 ba 对称轴 轴 轴xy 对称中心 坐标原点 O 焦点坐标 0 c 0 c 轴 长轴长为 短轴长为a2b2 焦距 cFF2 21 离心率 a c e 10 e 间关abc 系 222 bac 焦点三角形 2 tan 2 21 bS PFF 21PF F 弦长公式 21 2 21 2 21 2 21 2 21 4 1 1 4 1 yyyy k xxxxkPP 椭圆上点到焦点的最小距离为 最大距离为 ca ca 典例导悟 例 1 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若 1 F 2 F 2 FP 为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 21PF F A B C D 2 2 2 12 22 12 例 2 已知 是椭圆的两个焦点 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 两 1 F 2 F 1 FAB 点 若是正三角形 则这个椭圆的离心率是 2 ABF A B C D 3 3 3 2 2 2 2 3 例 3 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A B C D 5 2 5 1 5 3 5 4 例 4 从椭圆上一点向轴作垂线 垂足恰为左焦点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x CPx 1 F 是椭圆与轴正半轴的交点 是椭圆与轴正半轴的交点 且 是坐标AxByOPAB O 原点 则该椭圆的离心率是 A B C D 4 2 2 1 2 2 2 3 例 5 椭圆的左 右顶点分别为 左 右焦点分别为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x CAB 1 F 若 成等比数列 则此椭圆的离心率为 2 F 1 AF 21F F 1B F A B C D 4 1 5 5 2 1 25 例 6 已知椭圆的左焦点为 右顶点为 点在椭圆上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x CFAB 且轴 直线交轴于点 若 则椭圆的离心率是 xBF A ByPPBAP2 A B C D 2 3 2 2 2 1 3 1 专题 2 双曲线 考点 1 双曲线的定义 双曲线的定义 平面上与两个定点 距离的差的绝对值为非零常数 2 小于 1 F 2 Fa 的动点轨迹是双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 21 FF 12 2PFPFa 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 特别提示 定义中的 绝对值 与不可忽视 若 则轨迹是以 为 2 21F Fa 2 21F Fa 1 F 2 F 端点的两条射线 若 则轨迹不存在 若 则轨迹为线段的垂直 2 21F Fa 02 a 1 F 2 F 平分线 另外 若去掉定义中的绝对值 则轨迹仅表示双曲线的一支 如 方程表示的双曲线是双曲线的左支 8 6 6 2222 yxyx 必备方法 1 类比椭圆 双曲线定义的集合语言表述如下 2 2 2121 FFaaMFMFMP 2 在运用双曲线的定义解题时 应特别注意定义中的条件 差的绝对值 典例导悟 例 1 已知双曲线 点 为其两个焦点 点为双曲线上一点 若1 22 yx 1 F 2 FP 则的值为 21 PFPF 21 PFPF 例 2 已知 为双曲线的左 右焦点 点在上 1 F 2 F1 22 yxCPC 则 o 60 21 PFF 21 PFPF A 2 B 4 C 6 D 8 例 3 已知 为双曲线的左 右焦点 点在上 1 F 2 F2 22 yxCPC 则 2 21 PFPF 21 cosPFF A B C D 4 1 5 3 4 3 5 4 考点 2 双曲线的标准方程 1 双曲线的标准方程 1 焦点在 x 轴上时 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 焦点在 y 轴上时 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 特别提示 在双曲线方程中和的大小关系不定 这一点与椭圆是不同的 ab 2 在双曲线的标准方程中 有关系式成立 且 222 bac 0 0 0 cba 必备方法 1 双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正 双曲线的焦点在轴上x 2 xy 标准方程中项的系数为正 这是判断双曲线的焦点所在坐标轴的重要方法 2 y 2 双曲线标准方程的求解方法是 先定型 后计算 所谓 定型 是指确定类型 也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是轴还是轴 从而设出相应的标准方程的形式 xy 所谓 计算 是指利用待定系数法求出方程中的 的值 最后写出双曲线的标准方 2 a 2 b 程 3 在求双曲线的方程时 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或直接设双曲线的方程 为 1 22 nymx0 mn 典例导悟 例 1 在平面直角坐标系中 已知双曲线上一点 M 的横坐标为 3 则点xoy1 124 22 yx M 到此双曲线的右焦点的距离为 例 2 已知双曲线 C 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上 则 C 的方程为 A B C D 1 520 22 yx 1 205 22 yx 1 2080 22 yx 1 8020 22 yx 例 3 已知双曲线 C 和椭圆有相同的焦点 且双曲 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 916 22 yx 线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 例 4 已知抛物线的准线过双曲线 C 的一个焦点 且xy8 2 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 双曲线的离心率为 2 则该双曲线的方程为 考点 3 双曲线的几何性质 必备方法 1 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚 轴的端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 对称中心 一个焦点以及一个 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点和两焦点构成的三角形 研究它们之间的相互关 系 2 双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题 已知双曲线方程求其渐近线方程时 一方面可以应用公式求得 另一方面 也可将双曲线方程中的 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 改为 0 便可得到其渐近线方程 另外与双曲线具有共 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 同渐近线的双曲线的方程都可以设为 然后再根据其他条件求 1 0 2 2 2 2 b y a x 出 代入便可求出双曲线方程 3 与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 且 2 2 2 2 2 1a b y a x 2 b 标准方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 简 图 范 围 ax ay 顶点 0 a 0 a 对称轴 轴 轴xy 对称中心 坐标原点 O 焦点坐标 0 c 0 c 轴 实轴长为 虚轴长为a2b2 焦距 cFF2 21 渐近线方程 x a b y x b a y 离心率 a c e 10 e 间关abc 系 222 bac 焦点到渐近线的 距离 b 焦点三角形 2 tan 2 21 bS PFF 21PF F 弦长公式 21 2 21 2 21 2 21 2 21 4 1 1 4 1 yyyy k xxxxkPP 典例导悟 例 1 已知双曲线 C 的离心率为 则 C 的渐近线方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 5 A B C D xy 4 1 xy 3 1 xy 2 1 xy 例 2 已知 F 为双曲线 C 的左焦点 P Q 为 C 上的点 若 PQ 的长等于虚轴1 169 22 yx 长的 2 倍 点 A 5 0 在线段 PQ 上 则的周长为 PQF 例 3 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 1 22 yx A B C 1 D 2 1 2 2 2 例 4 已知双曲线的右焦点为 3 0 则该双曲线的离心率等于 1 5 2 2 2 y a x A B C D 14 143 4 23 2 3 3 4 例 5 设 P 为直线与双曲线左支的交点 是左焦点 x a b y 3 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 F 垂直于轴 则双曲线的离心率 1 PFx e 例 6 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C1 164 22 2 yx C 且的右焦点为 则 1 C 0 5 F a b 例 7 中心在原点 焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点 则它的离心率为x 2 4 A B C D 65 2 6 2 5 例 8 设 O 为坐标原点 是双曲线的焦点 若在双曲线 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上存在点 P 满足 则该双曲线的渐近线方程为 o 60 21 PFFaOP7 A B C D 03 yx03 yx02 yx02 yx 例 9 设双曲线的一个焦点为 F 虚轴的一个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 2 13 2 15 例 10 如图 是椭圆与双曲线的公共焦点 1 F 2 F1 4 2 2 1 y x C 2 C A B 分别为与在第二 四象限的公共点 若四边形为矩 1 C 2 C 21BF AF 形 则的离心率是 2 C 考点 1 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定 直线 l 上 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 特别提示 抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线 要求这个定点不能在定直线上 否则轨 迹就不再是一条抛物线 而是一条直线 过定点且与定直线垂直的直线 必备方法 抛物线定义的集合语言表述如下 即 1 d MF MP dMFP 2 抛物线的定义实质上实现了一种转化 即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个 点到准线的距离 或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点的到焦点的距离 这种 转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用 因此要特别注意抛物线的定义在解题中的 重要作用 典例导悟 例 1 已知 F 是抛物线的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段xy 2 AB 的中点到轴的距离为 y A B 1 C D 4 3 4 5 4 7 例 2 设抛物线上一点 P 到轴的距离是 4 则点 P 到抛物线焦点的距离是 xy8 2 y A 4 B 6 C 8 D 12 例 3 已知抛物线的准线与圆相切 则的值为 0 2 2 ppxy16 3 22 yxp A B 1 C 2 D 4 2 1 例 4 已知过抛物线的焦点 F 的直线交该抛物线于 A B 两点 AF 2 则 BF xy4 2 例 5 动点 P 到点 F 2 0 的距离与它到直线的距离相等 则点 P 的轨迹方程02 x 为 例 6 O 为坐标原点 F 为抛物线 C 的焦点 P 为 C 上一点 若 xy24 2 24 PF 则的面积为 POF A 2 B C D 42232 例 7 设抛物线 C 的焦点为 F 直线 过 F 且与 C 交于 A B 两点 若xy4 2 l AF 3 BF 则 的方程为 l A 或 B 或1 xy1 xy 1 3 3 xy 1 3 3 xy C 或 D 或 1 3 xy 1 3 xy 1 2 2 xy 1 2 2 xy 考点 2 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种形式 1 焦点在轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 焦点坐标为x 0 2 2 ppxy 准线方程为 0 2 p 2 p x 2 焦点在轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 焦点坐标为x 0 2 2 ppxy 准线方程为 0 2 p 2 p x 3 焦点在轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 焦点坐标为y 0 2 2 ppyx 准线方程为 2 0 p 2 p y 4 焦点在轴的负半轴上的抛物线的标准方程为 焦点坐标为y 0 2 2 ppyx 准线方程为 2 0 p 2 p y 必备方法 1 抛物线的标准方程中参数的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离 所以的值pp 永远大于 0 当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时 不要误以为 0 p 2 抛物线的标准方程的求解方法是 先定型 后计算 所谓 定型 是指确定类型 也就是确定抛物线的焦点所在坐标轴是轴还是轴 是正半轴还是负半轴 从而设出相xy 应的标准方程的形式 所谓 计算 就是指根据题目的条件求出方程中参数的值 从而p 得出抛物线的标准方程 典例导悟 例 1 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 则抛物线的方程是 2 x A B C D xy8 2 xy4 2 xy8 2 xy4 2 例 2 动点 P 到点 F 2 0 的距离与它到直线的距离相等 则点 P 的轨迹方程02 x 为 例 3 已知双曲线的离心率为 2 若抛物线 0 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x C 2 C 的焦点到双曲线的渐近线的距离为 2 则抛物线的方程为 0 2 2 ppyx 1 C 2 C A B C D yx 3 38 2 yx 3 316 2 yx8 2 yx16 2 例 4 设斜率为 2 的直线 过抛物线的焦点 F 且和轴交于点 A 若l 0 2 aaxyy O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 OAF A B C D xy4 2 xy8 2 xy4 2 xy8 2 考点 3 抛物线的几何性质 标准方程 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 图形 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 离心率1e 1e 1e 1e 必备方法 1 抛物线不同于椭圆 它是一种不封闭的曲线 它只有一条对称轴 一个顶点 一个 焦点 没有对称中心 它的离心率不变 恒为 1 2 过抛物线的焦点 F 作一条直线交抛物线于 两 0 2 2 ppxy 11 yxA 22 yxB 点 则称线段为抛物线的焦点弦 设直线的倾斜角为 则有如下结论 ABAB 1 2 21 pyy 4 2 21 p xx o Fx