应变花计算公式

1 概述 1 平面应变状态 即受力构件表面一点处的应变情况 2 测试原理 一般最大应变往往发生在受力构件的表面 通常用应变仪测出受力构件表面一点处三 个方向的线应变值 然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程 2 公式推导 1 选定坐标系为 xoy 如图示 2 设 0 点处 为已知 规定伸长为正 切应变 以 xoy 直角增 大为正 3 求任意方向 方向 规定逆时针方向为正 的线应变 和切应变 即 直角的改变量 4 叠加法 求 方向的线应变 和切应变 由于 而引起 ds 的长度改变 方向 即 方向 的线应变 求 的切应变 即 方向的直角改 坐标轴偏转的角度 以 代替式 c 中的 求得 坐标轴偏转角度 3 结论 1 已知 可求得任意方向 的 2 已知 求得 3 主应变和主应变方向 比较上述公式 可见 故 4 应变圆 5 应变的实际测量 用解析法或图解法求一点处的主应变时 首先必须已知 然而用应变仪直 接测量时 可以测试 但 不易测量 所以 一般是先测出任选三个方向 的线应变 然后利用一般公式 将 代入 得出 联解三式 求出 于是再求出主应变的方向与数值 由 式求出 当 时 与二 四相限的角度相对应 6 直角应变花 45 应变花 测量 为了简化计算 三个应变选定三个特殊方向 测得 代入 一般公式 求得 故 讨论 若 与二 四相限的角度相对应 见 P257 7 21 题 6 等角应变花测量 一般公式 测定值 代入式 a 得 主应变方向 故 于是由主应变公式 穿过二 四相限 见 P258 7 22 题 Example 1 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变 Find 主应变及其方向 Solution 故 过二 四相限 Example2 若已测得等角应变花三个方向的线 试求主应变及其 方向 Solution 即 应力测量 measurement of stress 测量物体由于外因或内在缺陷而变形时 在它内部任一单位截面积上内外两方的相互 作用力 应力是不能直接测量的 只能是先测出应变 然后按应力与应变的关系式计算出 应力 若主应力方向已知 只要沿着主应力方向测出主应变 就可算出主应力 各种受力 情况下的应变值的测量方法见表 1 轴向拉伸 或压缩 时 沿轴向力方向粘贴应变片 表 l 之 1 4 测出应变 按单 向虎克定律算出测点的拉 压 应力 E 式中 为应变 E 为弹性模量 弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片 见表 1 之 5 6 测出应变 e 可计算弯曲 应力 扭转时沿与圆轴母线成 45 角的方向贴片 表 1 之 7 9 测出主应变 em 再代入 虎克定律公式算出主应力 45o 即得最大剪应力 rmax 式中 为泊松比 拉 压 弯曲 扭转 其中两种或三种力的联合作用下 不同测量要求的应变值测量 方法分别见表 1 的 10 14 主应力方向未知时的应力测量如图 1 所示 在该测点沿与某坐标轴 X 夹角分别为 1 2 和 3 的 3 个方向 各粘贴一枚应变片 分别测出 3 个方向的应变 1 2 和 3 根据下式 可解出 x y 和 z 再代入下式求出主应变 1 2 和主方向与 x 轴夹角 a 最后 再根据广义虎克定律公式 求出主应力 1 2 和 Tmax 实际上为了简化计算 3 枚应变片与 z 轴的夹角 a1 a2 和 a3 总是选取特殊角 如 0o 45o 60o 90o 和 120o 并将 3 枚应变片的敏感栅制在同一基底上 形成应变花 常 用的应变花有直角应变花 00 一 45 一 90 和等角应变花 O 一 60 一 120o 不同 形式的应变花的计算公式见表 2 用应变片测量的应变值一般是很小的 因而电阻值的变化同样是很小的 为此 有必 要把应变计连接到一定的测量系统中 以精确测定应变片电阻值的变化 用应变片测量应 变的测量系统框图见图 2 电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法 电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应 变 还需通过换算才能得到应力 根据不同的应力状态确定应变片贴片方位 有不同的换算公式 8 7 18 7 1 单向应力状态单向应力状态 在杆件受到拉伸 或压缩 情况下 如图 8 31 所示 此时只有一个主应力s1 它的方向是平行于外加载荷 F的方向 所以这个主应力s1 的方向是已知的 该方向的应变为el 而垂直于主应力s1 方向上的应力虽 然为零 但该方向的应变e2 0 而是e2 el 由此可知 在单向应力状态下 只要知道应力s1 的方向 虽然s1 的大小是未知的 可在沿主应力s1 的方向上贴一个应变片 通过测得el 就可利用s1 Ee1 公式 求得s1 8 7 28 7 2 主应力方向巳知平面应力状态主应力方向巳知平面应力状态 平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸 或压缩 作用而产生的应力状态 如图 8 31 所示 图中单元体受已知方向的平面应力s1 和s2 作用 在 X 和 Y 方向的应变分别为 s1 作用 X 方向的应变el 为s1 E Y 方向的应变e2 为 s1 E s2 作用 Y 方向的应变e2 为e2 E X 方向的应变el 为 e2 E 由此可得 X 方向的应变和 Y 方向的应变分别为 8 72 上式变换形式后可得 8 73 由此可知 在平面应力状态下 若已知主应力s1 或s2 的方向 s1 与s2 相互垂直 则只要沿s1 和s2 方 向各贴一片应变片 测得 l 和 2 后代入式 8 73 即可求得s1 和s2 值 8 7 38 7 3 主应力方向未知平面应力状态主应力方向未知平面应力状态 当平面应力的主应力s1 和 2 的大小及方向都未知时 需对一个测点贴三个不同方向的应变片 测出三 个方向的应变 才能确定主应力s1 和s2 及主方向角q三个未知量 图 8 33 表示边长为x和y 对角线长为l的矩形单元体 设在平面应力状态下 与主应力方向成q角的 任一方向的应变为 即图中对角线长度l的相对变化量 由于主应力sx sy的作用 该单元体在 X Y 方向的伸长量为 x y 如图 8 33 a b 所示 该方 向的应变为ex x x ey y y 在切应力 xy作用下 使原直角 XOY 减小gxy 如图 8 33 c 所示 即切应变gxy x y 这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为 xcosq ysinq ygxy cosq 其应变分别为excos2q eysin2q gxysinqcosq 当ex ey gxy同时发生时 则对角线的总应变 为上述三者之和 可表示为 8 74 利用半角公式变换后 上式可写成 8 75 由式 8 75 可知e 与ex ey gxy之间的关系 因ex ey gxy未知 实际测量时可任选与 X 轴成 q1 q2 q3 三个角的方向各贴一个应变片 测得e1 e2 e3 连同三个角度代入式 8 75 中可得 8 76 由式 8 76 联立方程就可解出ex ey gxy 再由ex ey gxy可求出主应变e1 e2 和主方向与X轴的 夹角q 即 8 77 将上式中主应变e1 和e2 代入式 8 73 中 即可求得主应力 在实际测量中 为简化计算 三个应变片与 X 轴的夹角q1 q2 q3 总是选取特殊角 如 0 45 和 90 或 0 60 和 120 角 并将三个应变片的丝栅制在同一基底上 形成所谓应变花 图 8 34 所示是丝式应变花 设应变花与 X 轴夹角为q1 0 q2 45 q3 90 将此q1 q2 q3 值分 别代人式 8 76 得 8 78 由式 8 78