解直角三角形典型例题 (2)

典型例题典型例题 例例 1 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状 交警队在一些主 要路口设立了交通路况显示牌 如图 已知立杆 AB 的高度是 3 m 从侧面 D 点 测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60 和 45 求路况显示牌 BC 的 高度 解 解 在 Rt ABD 中 AB 3 m ADB 45 所以 AD 3 m AB tan ADB 3 tan 45 3 1 Rt ACD 中 AD 3 m ADC 60 所以 AC ADtan ADC 3 tan 60 3 3 m 33 所以路况显示牌 BC 的高度为 3 3 m 3 练习练习 1 如图 2 小山上有一电视塔 CD 由地面上一点 A 测得塔顶 C 的 仰角为 30 由 A 向小山前进 100 米到 B 点 又测得塔顶 C 的仰角为 60 已 知 CD 20 米 求小山高度 DE 例例 2 如图 3 有长为 100m 的大坝斜坡 AB 坡角 45 现要改造成坡角 30 求伸长的坡度 DB 的长 练习练习 2 水务部门为加强防汛工作 决定对程家山水库进行加固 原大坝的 横断面是梯形 ABCD 如图所示 已知迎水面 AB 的长为 10 m B 60 背 水面 DC 的长度为 10 m 加固后大坝的横断面为梯形 ABED 若 CE 的长为 5 3 m 1 已知需加固的大坝长为 100 m 求需要填方多少立方米 2 求新大坝背水面 DE 的坡度 计算结果保留根号 解 解 1 分别过 A D 作 AF BC DG BC 垂足分别为 F G 如图所示 在 Rt ABF 中 AB 10 B 60 sin B AF AB AF 10 5 DG 5 3 233 S DCE CE DG 5 5 1 2 1 23 25 2 3 需要填方 100 1 250 m3 25 2 3 3 2 在直角三角形 DGC 中 DC 10 3 GC 15 DC2 DG2 10 r 3 2 5 r 3 2 GE GC CE 20 坡度 i DG GE 5 3 20 3 4 答 1 需要添方约 1 250 m3 3 2 背水坡坡度为 3 4 点拨 点拨 对于梯形问题 经常需添加辅助线 梯形中辅助线的作法分为作高 平移一腰 平移对角线 延长两腰等不同类型 与直角三角形有关的梯形问题 通常作出高 例例 3 聊城市中考题 美丽的东昌湖滨于江北水城以灵性 周边景点密 布 如图所示 AB 为湖滨的两个景点 C为湖心一个景点 景点B在景点 C的正东 从景点A看 景点B在北偏东75 方 向 景点C在北偏东30 方向 一游客自景点 A驾船以每分钟20米的速度行驶了10分钟到达 景点C 之后又以同样的速度驶向景点B 该游 客从景点C到景点B需用多长时间 精确到1分 钟 解 解 根据题意 得20 10200AC 过点A作AD垂直于直线BC 垂足为D 如图 2 在RtADC 中 cosADACCAD 200 cos30100 3 sin200 sin30100DCACCAD 在RtADB 中 tan100 3tan75DBADBAD 100 3tan75100CBDBDC 5 3tan75527 20 CB 即该游客自景点C驶向景点B约需 27 分钟 练习练习 3 如图 海平面上灯塔 O 方圆 100 千米范围内有暗礁 一艘轮船自 西向东方向航行 在点 A 处测量得灯塔 O 在北偏东 60 方向 继续航行 100 米 后 在点 B 处测量得灯塔 O 在北偏东 37 方向 请你作出判断 为了避免触礁 这艘轮船是否要改变航向 参考数据 sin37 0 6018 cos37 0 7986 tan37 0 7536 cot37 1 327 3 1 732 75 30 C B A 北 东 图 2 75 30 C B A 北 东 图 1 例例4 如图 28 2 12 某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD 当光线与地面的夹 角是 22 时 教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE 而当光线与地面夹 角是 45 时 教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离 B F C 在一条直线上 1 求教学楼 AB 的高度 2 学校要在 A E 之间挂一些彩旗 请你求出 A E 之间的距离 结果保留整数 参考数据 sin22 cos22 tan22 3 8 15 16 2 5 图 28 2 12 练习练习 4 四川省 如图 小丽的家住在成都市锦江河畔的 电梯公寓 AD 内 她家的河对岸新建了一座大厦 BC 为了测得 大厦的高度 小丽在她家的楼底 A 处测得大厦顶部 B 的仰角为 60 爬上楼顶 D 处测得大厦顶部 B 的仰角为 30 已知小丽所 住的电梯公寓高 82 米 请你帮助小丽计算出大厦高度 BC 及大 厦与小丽所住电梯公寓间的距离 AC 解解 过点 D 作 DE BC 于 E 则四边形 ACED 是矩形 AC DE DA EC 82 米 BDE 30 在 Rt BDE 中 tan BDE BE DE BE DE tan BDE DE 3 3 在 Rt BAC 中 tan BAC BC AC 即 tan60 AC ECDE 3 3 AC AC 82 解得 AC 41 米 3 3 3 3 BC BE EC DE EC 41 82 123 米 3 3 3 3 3 答 大夏 BC 高为 123 米 小丽所住的电梯公寓与大厦间的距离 AC 为 41 米 3 例例 5 自贡市中考题 如图所示 我市某中学数学课外活动小组的同学 利用 所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽 小凡同学在点 A 处观测到对岸 C 点 测得 CAD 45 又在距 A 处 60 米远的 B 处测得 CBA 30 请你根据这些数据算出河 宽是多少 精确到 0 01m 分析 分析 此类问题的解题思路是构建直角三角形模型 一 般需要将两个直角三角形联系起来 通过列方程解决问题 解 解 过 C 作 CE AB 于 E 则 CE 为河宽 设 CE x 米 于是 BE x 60 米 在 Rt BCE 中 tan30 EB CE 3x x 60 x 30 3 1 81 96 米 所以河宽约为 81 96 米 练习练习 5 如图 28 2 13 小明家在 A 处 门前有一口池塘 隔着池塘有一条公路 l AB 是 A 到 l 的小路 现新修一条路 AC 到公路 l 小明测量出 ACD 30 ABD 45 BC 50 m 请你