空间中线线角-线面角-面面角成法原理与求法思路

1 D B AC 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括 异面直线所成的角 直线与平面所成的角以及二面角 1 异面直线所成的角 1 异面直线所成的角的范围是 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 2 0 直线 把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选择在特 殊的位置上 证明作出的角即为所求的角 利用解三角形来求角 简称为 作 证 求 2 线面夹角 直线与平面所成的角的范围是 求直线和平面所成的角用的是射影转化法 2 0 具体步骤如下 若线面平行 线在面内 线面垂直 则不用此法 因为角度不用问你也知道 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得出斜线在平面的射影 确定出所求的角 把该角置于三角形中计算 也是简称为 作 证 求 注 斜线和平面所成的角 是它和平面内任何一条直线所成的一切角 中的最小角 即若 为线面角 为斜线与平面内任何一条直线所成的角 则有 这个证明 需要用到正弦函数的单调性 请跳过 在右图的解释为 BADCAD 2 1 确定点的射影位置有以下几种方法 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平 分线上 已知 如图 在一个平面内 BAC 就是点 P 到角 PNAC PMABPNPM 且 两边的距离相等 过 P 作 说明点 O 为 PPO 点在面内的射影 求证 OANOAM 所以 AO 为的角OANOAM BAC 平分线 所以点 O 会在的角平分线上 BAC 证明 PA PA PN PM 90PNAPMA 斜边直角边定理 PNAPMA ANAM 2 PO NOMO PNPM 斜线长相等推射影长相等 所以 点 P 在面的射影为的角平 O ANAM AOAOAMOANONAOMAO OMN BAC 分线上 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等 那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线 上 已知 如图 在一个平面内BAC 斜线 AP 与的两边PANPAM BAC 所成角相等 ABAC PO 求证 说明点 O 在角 MAC 的角OAMOAN 平分线上 证明 在在 ABAB 上取点上取点 M M 在 在 ACAC 上取点上取点 N N 使 使 这步是关键 为我们自已所作的辅助线点 这步是关键 为我们自已所作的辅助线点 ANAM 线 线 AAN PANPAMPNPM AA M AP AP PAN PAM PO NOMO PNPM 斜线长相等推射影长相等 所以 点 P 在面的射影为的角平 O ANAM AOAOAMOANONAOMAO OMN BAC 分线上 两个平面相互垂直 一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上 这是两面垂直的性质 利用某些特殊三棱锥的有关性质 确定顶点在底面上的射影的位置 a 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心 已知 如图 三棱锥 P ABC 中 PA PB PC POABC 面 求证 O 点为 即证 OA OB OC ABC 的外心 注 外心为三角形的外接圆的圆心 也是三边中垂线的交 点 3 b 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上的射影是底面三 角形的内心 或旁心 已知 如图 PFABPDBCPEAC PFPDPE POABC 面 求证 O 为ABC 的内心 注 内心为三角形的内切圆的圆心 也为三角形 的三个内角的角平分线的交点 证明 连结 BO CO 易证DBOFBODBOFBO 所以 BO 为角 DBF 的角平分线 即点 O 在角 DBF 的角平分线上 同理可证点 O 为角 DCE 的角平分线 所以 O 为两内角平分线交点 从而为内心 c 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心 AEBCCDAB 已知 如图 PABCPBCA POABC 面 求证 1 就是三棱锥中有两组对棱垂直 PCAD 则可以推出第三组对夫棱垂直 所以 条件中各组对棱垂直 实际是有多了一组 2 点 O 为三角形 ABC 的垂心 注 垂心为三角形的三高交点 O 为垂心 相当于证 明 两高交点即可 AEBCCDAB 3 二面角 4 二面角的范围在课本中没有给出 一般是指 解题时要注意图形的位置和题目的要求 0 作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法 在棱上任取一点 过这点在两个平面内分别引棱的垂线 这两条射线所成的 角 就是二面角的平面角 面上一点三垂线法 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线 再由垂足向棱作垂线得到棱上的面上一点三垂线法 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线 再由垂足向棱作垂线得到棱上的 4 点 即垂足 点 即垂足 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角 即为二面角的平面角 边是最常用的方 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角 即为二面角的平面角 边是最常用的方 法法 空间一点垂面法 自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角得两条射线 这两条射线所成的角就 是二面角的平面角 备注 还有一个投影法求二面角 高考不作要求 所以此处略去 配套练习 练习难度不大 所以只给简答 见最后一页 配套练习 练习难度不大 所以只给简答 见最后一页 1 1 两个对角面都是矩形的平行六面体是 两个对角面都是矩形的平行六面体是 A A 正方体 正方体B B 正四棱柱 正四棱柱C C 长方体 长方体D D 直平行六面体 直平行六面体 2 2 正三棱柱 正三棱柱 ABC AABC A1 1B B1 1C C1 1中 异面直线中 异面直线 ACAC 与与 B B1 1C C1 1所成的角是所成的角是 A A 30300 0B B 60600 0 C C 90900 0 D D 1201200 0 3 3 已知一个正六棱柱的底面边长是 已知一个正六棱柱的底面边长是 最长的对角线长为 最长的对角线长为 8 8 那么这个正六棱柱的高是 那么这个正六棱柱的高是 32 A A B B C C 4 4 D D 32334 4 4 正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是 正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是 A A 锐角 锐角 B B 钝角 钝角 C C 直角 直角 D D 以上均有可能 以上均有可能 5 5 一棱锥被平行于底面的平面所截 若截面面积与底面面 一棱锥被平行于底面的平面所截 若截面面积与底面面积之比是积之比是 1 21 2 则此棱锥的高 自上而下 则此棱锥的高 自上而下 被分成两段长度之比为被分成两段长度之比为 A A 1 1 B B 1 41 4 C C 1 1 D D 1 1 2 12 12 6 6 在四棱锥的四个侧面中 可 在四棱锥的四个侧面中 可以是直角三角形的个数最多是以是直角三角形的个数最多是 A A 4 4 个个 B B 3 3 个个 C C 2 2 个个 D D 1 1 个个 7 7 三棱锥 三棱锥 P ABCP ABC 中 若中 若 PA PB PCPA PB PC 则顶点 则顶点 P P 在底面三角形的射影是底面三角形的在底面三角形的射影是底面三角形的 A A 内心 内心 B B 外心 外心 C C 重心 重心 D D 垂心 垂心 8 8 四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是 四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是 A A 底面是矩形 底面是矩形 B B 底面是平行 底面是平行四边形四边形 C C 有一个侧面为矩形 有一个侧面为矩形 D D 两个相邻侧面是矩形 两个相邻侧面是矩形 9 9 已知 已知 ADAD 是边长为是边长为 2 2 的正三角形的正三角形 ABCABC 的边上的高 沿的边上的高 沿 ADAD 将将 ABC ABC 折成直二面角后 点折成直二面角后 点 A A 到到 BCBC 5 的距离为的距离为 A A B B C C D D 2 3 2 7 2 14 4 14 1010 已知异面直线 已知异面直线 a a b b 所成所成的角为的角为 50500 0 P P 为空间一定点 则过点为空间一定点 则过点 P P 且与且与 a a b b 所成角都是所成角都是 30300 0的的 直线有且仅有直线有且仅有 A A 1 1 条条 B B 2 2 条条 C C 3 3 条条 D D 4 4 条条 1111 二面角 二面角 是直二面角 是直二面角 设直线 设直线 ABAB 与与所成的角分别为所成的角分别为 BABA 1 则则 2 A A B B 0 21 90 0 21 90 C C D D 0 21 90 0 21 90 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 1313 长方体 长方体 ABCD AABCD A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 AB 3 BC 1 CCAB 3 BC 1 CC1 1 则平面则平面 A A1 1BCBC 与平面与平面 ABCDABCD 所成的角的度所成的角的度 3 数是数是 1414 正三棱锥 正三棱锥 V ABCV ABC 的各棱长均为的各棱长均为 a a M NM N 分别是分别是 VC ABVC AB 的中点 则的中点 则 MNMN 的长为的长为 1515 有一个三角尺 有一个三角尺 ABCABC BC BC 贴于桌面上 当三角尺与桌面成贴于桌面上 当三角尺与桌面成 45450 0角时 角时 ABAB 00 90 30 CA 边与桌面所成角的正弦值是边与桌面所成角的正弦值是 1919 在三棱锥 在三棱锥 D ABCD ABC 中 中 DA DA 平面平面 ABCABC ACB 90 ACB 900 0 ABD 30 ABD 300 0 AC BC AC BC 求异面直线求异面直线 ABAB 与与 CDCD 所所 成的角的余弦值 成的角的余弦值 注 题目未配图 请自行画图 注 题目未配图 请自行画图 6 R Q P C D B A C1 A1 B1 D1 2020 正方体 正方体 ABCD AABCD A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为 a a P Q RP Q R 分别为棱分别为棱 AAAA1 1 AB BC AB BC 的中点 试求二面角的中点 试求二面角 P QR P QR A A 的正弦值 的正弦值 分析 求二面角 主要思路就是作 证 求 分析 求二面角 主要思路就是作 证 求 作二面角的基本方法 主要用三垂线法 明显有 作二面角的基本方法 主要用三垂线法 明显有 所以只要过点 所以只要过点 A A 作作 PAABCD 面AHQR 垂足为垂足为 H H 则 则 要过 要过 A A 作作 QRQR 的垂线 的垂线 P