电磁场理论 实验

电磁场理论电磁场理论 实验实验 示例实验示例实验 1 利用利用 Matlab 模拟点电荷电场的分布模拟点电荷电场的分布 一 实验目的一 实验目的 1 熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况 2 学会使用 Matlab 进行数值计算 并绘出相应的图形 二 实验原理二 实验原理 根据库伦定律 在真空中 两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电 量乘积成正比 与它们之间距离的平方成反比 作用力的方向在两个电荷的连 线上 两电荷同号为斥力 异号为吸力 它们之间的力 F 满足 式 1 R R QQ kF 21 2 由电场强度 E 的定义可知 式 2 R R kQ E 2 对于点电荷 根据场论基础中的定义 有势场 E 的势函数为 式 3 R kQ U 而 式 4 UE 在 Matlab 中 由以上公式算出各点的电势 U 电场强度 E 后 可以用 Matlab 自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况 三 实验内容三 实验内容 1 画单个点电荷的平面电场线与等势线 正点电荷与负点电荷任选一个作 图 2 画一对点电荷的平面电场线与等势线 可以在一正一负 两个负电荷和 两个正电荷之中任选一组 3 画出 1 中的三维图形 四 实验步骤四 实验步骤 1 对于单个点荷的电力线和等势线 对于单个点荷的电力线和等势线 真空中点电荷的场强大小是 式 5 2 r kq E 其中 k 为静电力恒量 q 为点电荷的电量 r 为点电荷到场点 x y 的距 9 109 P 离 电场呈球对称分布 本实验中 取点电荷为正电荷 电力线是以电荷为起 点的射线簇 以无穷远处为零势点 点电荷的电势为 式 r kq U 6 当 U 取常数时 此式就是等势面方程 等势面是以电荷中心 以 r 为半径的球 面 1 平面电力线的画法 平面电力线的画法 在平面上 电力线是等角平分布的射线簇 取射线的半径为 0 12 其程 0 r 序如下 r0 0 12 射线的半径 th linspace 0 2 pi 13 电力线的角度 x y pol2cart th r0 将极坐标转化为直角坐标 x x 0 1 x 插入 x 的起始坐标 y y 0 1 y 插入 y 的起始坐标 plot x y b 用蓝色画出所有电力线 grid on 加网格 Hold on 保持图像 plot 0 0 o MarkerSize 12 画电荷 xlabel x fontsize 16 用 16 号字体标出 X 轴 ylabel y fontsize 16 用 16 号字体标出 Y 轴 title 正电荷的电力线 fontsize 20 添加标题 图 1 正电荷的电力线 2 平面等势面的画法平面等势面的画法 在过电荷的截面上 等势线就是以电荷为中心的圆簇 此实验中 由于 0 12 k 考虑到电势的大小 取 q C 且最大的等势线的半 0 r 9 109 9 101 径应该比射线的半径小一点 取 0 1 其电势为 等势线共取 7 条 0 r 0 0 r qk U 且最大的电势为最小电势的 3 倍 在电场线的基础上画出点电荷的等势线图 可以省略一些基本参数的设置 其图如图 2 所示 其程序如下 k 9e9 设定 k 值 q 1e 9 设定电荷电量 r0 0 1 设定最大等势线的半径 u0 k q r0 算出最小的电势 u linspace 1 3 7 u0 求出各条等势线的电势大小 x linspace r0 r0 100 将 X 坐标分成 100 等份 X Y meshgrid x 在直角坐标中形成网格坐标 r sqrt X 2 Y 2 各个网格点到电荷点的距离 U k q r 各点的电势 contour X Y U u 画出点电荷的电势面 title 正电荷的电场线和等势线 fontsize 20 显示标题 图 2 正电荷的电场线和等势线 3 点电荷的立体电力线点电荷的立体电力线 点电荷的立体等势线呈球形发射状的射线簇 因此要先形成三维单位球 面坐标 参数还是用前面画平面图的参数 因此其程序如下 r0 0 12 重新设定电力线的半径 X Y Z sphere 8 形成三维单位球面坐标 绕 Z 轴一周有 8 条电力 线 x r0 X 将 X 化成行向量 y r0 Y 将 Y 化成行向量 z r0 Z 将 Z 化成行向量 x x zeros size x 对 x 坐标插入原点 y y zeros size y 对 y 坐标插入原点 z z zeros size z 对 z 坐标插入原点 plot3 x y z b 画出所有电力线 Hold on 保持图像 xlabel x fontsize 16 用 16 号字体标出 X 轴 ylabel y fontsize 16 用 16 号字体标出 Y 轴 zlabel z fontsize 16 用 16 号字体标出 Z 轴 title 正电荷电场线的三维图形 fontsize 20 添加标题 其图形如下 图 3 正电荷电场线的三维图形 4 点电荷的等势面点电荷的等势面 画等势面时同样要先形成球面 不同的等势面对应不同的半径 而坐标所 形成的一个一维的行向量 而三维单位球面的每一维都是 21 21 的网格矩阵 矩阵的维度不一样 不能直接相乘 因此为减少计算量 只画 5 条等势面 其 程序如下 u linspace 1 3 5 u0 计算各面的电势 r k q u 计算各等势面的半径 X Y Z sphere 形成三维的单位球 Z X 0 把球面的四分之一设为非数 便于观察 surf r 1 X r 1 Y r 1 Z 画最外面的等势面 hold on 保持图形 surf r 2 X r 2 Y r 2 Z hold on surf r 3 X r 3 Y r 3 Z hold on surf r 4 X r 4 Y r 4 Z hold on surf r 5 X r 5 Y r 5 Z shading interp 将各球面的颜色设置成浓淡变化的 xlabel x fontsize 16 标记 X 坐标轴 ylabel y fontsize 16 标记 X 坐标轴 zlabel z fontsize 16 标记 X 坐标轴 title 正电荷等势面的三维图形 fontsize 20 添加标题 图 4 正电荷等势面的三维图形 2 对于一对点电荷的电力线与等势线对于一对点电荷的电力线与等势线 到于两个点电荷的电场分布 比一个点电荷的电场分布要复杂得多 电场 线的切线为该点电场强度 E 的方向 因此画电场线需要先计算出当前点的电场 强度 E 方向 而 E 又是一个矢量 没有像电势 U 那样可以直接进行标量计算 因此对于多个点电荷的电场来说 先画出其等势线会更方便一些 1 一对点电荷的平面等势线一对点电荷的平面等势线 对于两个点电荷 不妨取 正电荷在 x 轴的正方 9 2 9 1 101 101 qq 向 负电荷在 x 轴的负方向 它们到原点的距离定为 a 0 02 假设平面的范围 为 0 05 0 04 则其程序如下 0 xx 0 yy k 9e9 设定 k 值 q1 1e 9 设置正电荷电量 q2 1e 9 设置负电荷电量 a 0 02 设置电荷到原点的距离 xx0 0 05 设置 X 轴的范围 yy0 0 04 设置 Y 轴的范围 x linspace xx0 xx0 20 将 X 轴进行 20 等分 y linspace yy0 yy0 50 将 Y 轴进行 50 等分 X Y meshgrid x 形成网格坐标 r1 sqrt X a 2 Y 2 各点到正电荷的距离 r2 sqrt X a 2 Y 2 各点到负电荷的距离 U k q1 r1 k q2 r2 各点的电势 u0 500 设定最大电势的大小 u linspace u0 u0 11 计算各等势线的电势 contour X Y U u k 画出所有的等势线 Grid on 形成网格 Hold on 保持图形 plot a 0 o MarkerSize 12 plot a 0 o MarkerSize 12 画电荷 xlabel x fontsize 16 用 16 号字体标出 X 轴 ylabel y fontsize 16 用 16 号字体标出 Y 轴 title 一对相异电荷的等势线图 fontsize 20 添加标题 图 5 一对相异电荷的等势线图 2 一对点电荷的平面电场线一对点电荷的平面电场线 各点的电场强度方向代替电力线 根据电势的梯度可以求出各点的场强的 两个分量再在此方向上标上箭头 其程序如下所示 Ex Ey gradient U 各点的场强的两个分量 E sqrt Ex 2 Ey 2 各点的合场强 Ex Ex E 为使箭头等长 将场强归一化 Ey Ey E quiver X Y Ex Ey 标出各网点的电场强度方向 title 一对相异电荷的等势线图和电场线图 fontsize 20 标出标题 其图如图六所示 图 6 一对相异电荷的等势线图和电场线图 示例实验示例实验 2 电基本振子仿真实验电基本振子仿真实验 一 实验目的一 实验目的 通过 MATLAB 编程 熟悉电基本阵子和对称阵子的辐射特性 了解影响对称阵子辐射的 因素及其变化对辐射造成的影响 二 实验原理二 实验原理 1 1 电基本振子的辐射 电基本振子的辐射 电基本振子 Electric Short Dipole 又称电流元 它是指一段理想的高频电流直 导线 其长度 l 远小于波长 其半径 a 远小于 l 同时振子沿线的电流 I 处处等幅同相 用这样的电流元可以构 成实际的更复杂的天线 因而电基本振子的辐射特性是研究更复杂天线辐射特性的基础 y x z lO I r E H Er 图 2 1 电基本振子的坐标 电基本振子在无限大自由空间中场强的表达式为 2 1 2 23 0 2 23 0 0 0 1 sin 4 21 cos 4 11 sin 4 0 r jkr jkr r jkr H H Ilk Hje rr Ilk Eje rr Ilkk EAjje rrr E 电基本振子的辐射场可以分为近区场和远区场 如果 kr 1 即 r 1 即 r 2 的区域称为远区 在此区域内 电基本 振子满足条件 23 111 krkrkr 则远区场表达式为 2 2 sin 2 60 sin 0 jkr jkr rr Il Hje r Il Eje r HHEE 可见场强只有两个相位相同的分量 E H 根据方向函数可定义 2 3 60 E r f I r 可得电基本振子的方向函数为 2 4 sin l ff 根据归一化方向函数定义 2 5 maxmax Ef F fE 可得电基本阵子归一化方向函数为 F sin 2 6 将方向函数用曲线描绘出来 称之为方向图 Fileld Pattern 方向图就是与天线等 距离处 天线辐射场大小在空间中的相对分布随方向变化的图形 依据归一化方向函数而 绘出的为归一化方向图 在实际中 工程上常常采用两个特定正交平面方向图 在自由空间中 两个最重要的 平面方向图是 E 面和 H 面方向图 E 面即电场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面 H 面即磁场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面 方向图可用极坐标绘制 角度表示方向 矢径表示场强大小 2 2 对称阵子的辐射对称阵子的辐射 对称振子是中间馈电 其两臂由两段等长导线构成的振子天线 一臂的导线半径为 a 长度为 l 两臂之间的间隙很小 理论上可忽略不计 所以振子的总长度 L 2l 对称振 子的长度与波长相比拟 本身已可以构成实用天线 图 2 2 对称振子结构及坐标图 由教材可知对称阵子辐射场为 cos 6060cos cos cos sinsin sin jkr l jkzjkr mm l IIeklkl Ejk lz edzje r 2 7 根据方向函数的定义 对称振子以波腹电流归算的方向函数为 2 8 cos cos cos 60 sin m Eklkl f Ir 上式实际上也就是对称振子 E 面的方向函数 四 实验内容及步骤 四 实验内容及步骤 内容 根据电基本阵子和对称阵子的方向函数利用 MATLAB 编程并画出其方向图 步骤一 编写 MATLAB 程序 并保存为 M 文件 代表文件名自起 详细程序如下 l O l 2a z 此程序是通过输入偶极子天线的长度及工作波长绘出其方向图 lamda input enter the value of wave length 输入波长 l input enter your dipole length l 输入偶极子天线长度 2L 注意不是单 个振子长度 L ratio l lamda B 2 pi lamda theta pi 100 pi 100 2 pi if ratio 0 1 分析是否是短偶极子天线 E sin theta En abs E polar theta En 天线在方向图中水平放置 else f1 cos B l 2 cos theta 不是短偶极子天线则可用公式 2 8 进行计算 f2 cos B l 2 f3 sin theta E f1 f2 f3 En abs E polar theta En 天线在方向图中水平放置 end 步骤二 在 MATLAB 中打开编写的 M 文件 阅读并分析整个程序 分析每条语句的作用 学习 每个命令函数的用法 将程序中的内容和原理部分相对照 找出所编写程序的理论依据 分析程序为什么对公式这样处理 步骤三 输入波长 10 天线长度 2L 2 画出天线方向图 图 2 4 天线长度为 2 时的方向图 步骤四 输入波长 10 振子长度 2L 4 画出天线方向图 图 2 5 天线长度为 4 时的方向图 步骤五 输入波长 10 振子长度 2L 13 画出天线方向图 图 2 6 天线长度为 13 时的方向图 步骤六 输入波长 10 振子长度 2L 15 画出天线方向图 图 2 7 天线长度为 15 时的方向图 步骤七 输入波长 10 振子长度 2L 20 画出天线方向图 图 2 8 天线长度为 20 时的方向图 步骤八 输入波长 10 振子长度 2L 30 画出天线方向图 图 2 9 天线长度为 30 时的方向图 步骤九 体会振子长度对方向图的影响 方向图发生了哪些变化 分析为什么常用天线多为半 波偶极子天线和全波偶极子天线 将实验过程及结果连带分析总结写入实验报告 注 以下实验注 以下实验 1 和实验和实验 2 任选一个任选一个 实验实验 1 利用利用 Matlab 模拟带电粒子在磁场中的运动模拟带电粒子在磁场中的运动 一 实验目的一 实验目的 1 理解数值模拟研究物理问题的思路 能独立地运用此方法研究物理问 题 掌握数值模拟的编程 2 运用 Matlab 数值模拟的方法研究三维空间中带电粒子在复杂磁场环 境下的运动行为 二 实验原理二 实验原理 带电粒子在磁场中运动时会受到洛伦兹力的作用 且随着初始运动方向 和磁场分布的不同 其运动轨迹会发生不同的变化 由洛伦兹力的推导公式可知 它垂直于粒子的运动速度 不对运动粒子 作功 只改变其运动方向 其大小为 sinBqF 因此 综合牛顿运动定律就可以精确确定带电粒子在磁场中的运动轨迹 3 实验内容实验内容 1 用 Matlab 数值模拟的方法模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动 即 带电粒子进入磁场的方向与磁场方向的角度 900 2 用 Matlab 数值模拟的方法模拟磁聚焦现象 即在均匀磁场中某点引入 一发散角不大的带电粒子束 并使束中粒子的速度 v 大致相同 四 实验步骤四 实验步骤 1 粒子的螺旋运动粒子的螺旋运动 当粒子以与磁场方向呈一定角度的初速度入射磁场后 我们可以将速度 分解来平行磁场方向和垂直磁场方向的速度 其中平行磁场方向的速度不受磁 场影响 垂直磁场方向的速度会受洛伦兹力的影响而为匀速直线运动 因此 其运动轨迹是匀速直线运动与匀速圆周运动的合成 利用这个原理 在 Matlab 里面进行仿真 2 磁聚焦现象的模拟 磁聚焦现象的模拟 磁聚焦现象 我们可以看作是一束粒子 在磁场中的运动 只是初速度与 磁场的角度很小 且不一定相同 对粒子的初速度进行分解后 可得到 vv sin cos 因此对于以不同的入射角进入磁场的粒子 它们都做螺旋运动的圆半径 R 是不同的 但由于它们的近似相等 使得这些螺旋圆运动的螺距近似相等 这样 经过一个回旋周期后 这些粒子将重新全聚穿过另一点 利用这个原理 在 Matlab 里面进行仿真 五 实验要求五 实验要求 1 实验应认真进行 熟悉 Matlab 相应的计算与绘图函数 能够独立完成实 验内容中的 1 和 2 2 分析 Matlab 绘出的电场分布图 并与教材中 P127 的图形进行比较 完成实验报告 实验报告包括实验目的 实验原理 实验内容 实验总结统一 封面 实验实验 2 磁偶极子仿真实验磁偶极子仿真实验 一 实验目的一 实验目的 1 熟悉磁偶极子的磁场分布情况 2 学会使用 Matlab 绘图 二 实验内容 二 实验内容 根据毕奥 萨伐尔定律 利用 Matlab 强大的绘图功能画出磁偶极子的磁场 分布情况 包括磁力线 三 实验原理 三 实验原理 简单地讲 磁偶极子就是一个圆电流 当其尺寸远远小于场点到该回路的距 离时 此圆电流可以视为一个矢量点源 如图 1 所示 图 1 磁偶极子及其坐标系 设电流强度为I I 圆半径为R R 对一个磁偶极子来说 往往用 磁矩 矢量来 表示一个磁偶极子的量级 磁矩的定义为 1 其中 S 为圆电流所围平面的面积 即 为圆电流平面的正法向量