六年奥数综合练习题十二答案(比和比例关系)

六年奥数综合练习题十二答案 比和比例关系 比和比例 是小学数学中的最后一个内容 也是学习更多数学知识的重要基础 有了 比 这个概念和表达 方式 处理倍数 分数等问题 要方便灵活得多 我们希望 小学同学学完这一讲 对 除法 分数 比例实质 上是一回事 但各有用处 有所理解 这一讲分三个内容 一 比和比的分配 二 倍数的变化 三 有比例关系的其他问题 一 比和比的分配一 比和比的分配 最基本的比例问题是求比或比值 从已知一些比或者其他数量关系 求出新的比 例例 1 甲 乙两个长方形 它们的周长相等 甲的长与宽之比是 3 2 乙的长与宽之比是 7 5 求甲与乙的 面积之比 解 解 设甲的周长是 2 甲与乙的面积之比是 答 甲与乙的面积之比是 864 875 作为答数 求出的比最好都写成整数 例例 2 如右图 ABCD 是一个梯形 E 是 AD 的中点 直线 CE 把梯形分成甲 乙两部分 它们的面积之比 是 10 7 求上底 AB 与下底 CD 的长度之比 解 解 因为 E 是中点 三角形 CDE 与三角形 CEA 面积相等 三角形 ADC 与三角形 ABC 高相等 它们的底边的比 AB CD 三角形 ABC 的面积 三角形 ADC 的面积 10 7 7 2 3 14 答 AB CD 3 14 两数之比 可以看作一个分数 处理时与分数计算几乎一样 三数之比 却与分数不一样 因此是这一节 讲述的重点 例例 3 大 中 小三种杯子 2 大杯相当于 5 中杯 3 中杯相当于 4 小杯 如果记号表示 2 大杯 3 中杯 4 小杯容量之和 求与之比 解 解 大杯与中杯容量之比是 5 2 10 4 中杯与小杯容量之比是 4 3 大杯 中杯与小杯容量之比是 10 4 3 10 2 4 3 3 4 10 5 4 4 3 3 44 75 答 两者容量之比是 44 75 把 5 2 与 4 3 这两个比合在一起 成为三样东西之比 10 4 3 称为连比 例 3 中已告诉你连比的方法 再举一个更一般的例子 甲 乙 3 5 乙 丙 7 4 3 5 3 7 5 7 21 35 7 4 7 5 4 5 35 20 甲 乙 丙 21 35 20 花了多少钱 解 解 根据比例与乘法的关系 连比后是 甲 乙 丙 2 16 3 16 3 2 32 48 63 答 甲 乙 丙三人共花了 429 元 例例 5 有甲 乙 丙三枚长短不相同的钉子 甲与乙 而它们留在墙外的部分一样长 问 甲 乙 丙的长度之比是多少 解 解 设甲的长度是 6 份 x 5 4 乙与丙的长度之比是 而甲与乙的长度之比是 6 5 30 25 甲 乙 丙 30 25 26 答 甲 乙 丙的长度之比是 30 25 26 于利用已知条件 6 5 使大部分计算都整数化 这是解比例和分数问题的常用手段 例例 6 甲 乙 丙三种糖果每千克价分别是 22 元 30 元 33 元 某人买这三种糖果 在每种糖果上所花钱 数一样多 问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元 解一解一 设每种糖果所花钱数为 1 因此平均价是 答 这些糖果每千克平均价是 27 5 元 上面解法中 算式很容易列出 但计算却使人感到不易 最好的计算方法是 用 22 30 33 的最小公倍数 330 乘这个繁分数的分子与分母 就有 事实上 有稍简捷的解题思路 解二 解二 先求出这三种糖果所买数量之比 不妨设 所花钱数是 330 立即可求出 所买数量之比是甲 乙 丙 15 11 10 平均数是 15 11 10 3 12 单价 33 元的可买 10 份 要买 12 份 单价是 下面我们转向求比的另一问题 即 比的分配 问题 当一个数量被分成若干个数量 如果知道这些数量 之比 我们就能求出这些数量 例例 7 一个分数 分子与分母之和是 100 如果分子加 23 分母加 32 解 解 新的分数 分子与分母之和是 10 23 32 而分子与分母之比 2 3 因此 例例 8 加工一个零件 甲需 3 分钟 乙需 3 5 分钟 丙需 4 分钟 现有 1825 个零件要加工 为尽早完成任 务 甲 乙 丙应各加工多少个 所需时间是多少 解 解 三人同时加工 并且同一时间完成任务 所用时间最少 要同时完成 应根据工作效率之比 按比例 分配工作量 三人工作效率之比是 他们分别需要完成的工作量是 所需时间是 700 3 2100 分钟 35 小时 答 甲 乙 丙分别完成 700 个 600 个 525 个零件 需要 35 小时 这是三个数量按比例分配的典型例题 例例 9 某团体有 100 名会员 男会员与女会员的人数之比是 14 11 会员分成三个组 甲组人数与乙 丙 两组人数之和一样多 各组男会员与女会员人数之比是 甲 12 13 乙 5 3 丙 2 1 那么丙有多少名男会员 解 解 甲组的人数是 100 2 50 人 乙 丙两组男会员人数是 56 24 32 人 答 丙组有 12 名男会员 上面解题的最后一段 实质上与 鸡兔同笼 解法一致 可以设想 兔 例例 10 一段路程分成上坡 平路 下坡三段 各段路程长之比依次是 1 2 3 小龙走各段路程所用时间之 比依次是 4 5 6 已知他上坡时速度为每小时 3 千米 路程全长 50 千米 问小龙走完全程用了多少时间 解一 解一 通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度 先求出走各段路程的速度比 上坡 平路 下坡的速度之比是 走完全程所用时间 答 小龙走完全程用了 10 小时 25 分 上面是通常思路下解题 1 2 3 计算中用了两次 似乎重复计算 最后算式也颇费事 事实上 灵活运用 比例有简捷解法 解二 解二 全程长是上坡这一段长的 1 2 3 6 倍 如果上坡用的时 设小龙走完全程用 x 小时 可列出比例式 二 比的变化二 比的变化 已知两个数量的比 当这两个数量发生增减变化后 当然比也发生变化 通过变化的描述 如何求出原来 的两个数量呢 这就是这一节的内容 例例 11 甲 乙两同学的分数比是 5 4 如果甲少得 22 5 分 乙多得 22 5 分 则他们的分数比是 5 7 甲 乙原来各得多少分 解一 解一 甲 乙两人的分数之和没有变化 原来要分成 5 4 9 份 变化后要分成 5 7 12 份 如何把这两种分 法统一起来 这是解题的关键 9 与 12 的最小公倍数是 36 我们让变化前后都按 36 份来算 5 4 5 4 4 4 20 16 5 7 5 3 7 3 15 21 甲少得 22 5 分 乙多得 22 5 分 相当于 20 15 5 份 因此原来 甲得 22 5 5 20 90 分 乙得 22 5 5 16 72 分 答 原来甲得 90 分 乙得 72 分 我们再介绍一种能解本节所有问题的解法 也就是通过比例式来列方程 解二 解二 设原先甲的得分是 5x 那么乙的得分是 4x 根据得分变化 可列出比例式 5x 22 5 4x 22 5 5 7 即 5 4x 22 5 7 5x 22 5 15x 12 22 5 x 18 甲原先得分 18 5 90 分 乙得 18 4 72 分 解 解 其他球的数量没有改变 增加 8 个红球后 红球与其他球数量之比是 5 14 5 5 9 在没有球增加时 红球与其他球数量之比是 1 3 1 1 2 4 5 9 因此 8 个红球是 5 4 5 0 5 份 现在总球数是 答 现在共有球 224 个 本题的特点是两个数量中 有一个数量没有变 把 1 2 写成 4 5 9 就是充分利用这一特点 本题也可以列 出如下方程求解 x 8 2x 5 9 例例 13 张家与李家的收入钱数之比是 8 5 开支的钱数之比是 8 3 结果张家结余 240 元 李家结余 270 元 问每家各收入多少元 解一 解一 我们采用 假设 方法求解 如果他们开支的钱数之比也是 8 5 那么结余的钱数之比也应是 8 5 张家结余 240 元 李家应结余 x 元 有 240 x 8 5 x 150 元 实际上李家结余 270 元 比 150 元多 120 元 这就是 8 5 中 5 份与 8 3 中 3 份的差 每份是 120 5 3 60 元 因此可求出 答 张家收入 720 元 李家收入 450 元 解二 解二 设张家收入是 8 份 李家收入是 5 份 张家开支的 3 倍与李家开支的 8 倍的钱一样多 我们画出一个示意图 张家开支的 3 倍是 8 份 240 3 李家开支的 8 倍是 5 份 270 8 从图上可以看出 5 8 8 3 16 份 相当于 270 8 240 3 1440 元 因此每份是 1440 16 90 元 张家收入是 90 8 720 元 李家收入是 90 5 450 元 本题也可以列出比例式 8x 240 5x 270 8 3 然后求出 x 事实上 解方程求 x 的计算 与解二中图解所示是同一回事 图解有算术味道 而且一些数量 关系也直观些 例例 14 A 和 B 两个数的比是 8 5 每一数都减少 34 后 A 是 B 的 2 倍 求这两个数 解 解 减少相同的数 34 因此未减时 与减了以后 A 与 B 两数之差并没有变 解题时要充分利用这一点 8 5 就是 8 份与 5 份 两者相差 3 份 减去 34 后 A 是 B 的 2 倍 就是 2 1 两者相差 1 将前项与后 项都乘以 3 即 2 1 6 3 使两者也相差 3 份 现在就知道 34 是 8 6 2 份 或 5 3 2 份 因此 每份是 34 2 17 A 数是 17 8 136 B 数是 17 5 85 答 A B 两数分别是 136 与 85 本题也可以用例 13 解一 假设 方法求解 不过要把减少后的 2 1 改写成 8 4 例例 15 小明和小强原有的图画纸之比是 4 3 小明又买来 15 张 小强用掉了 8 张 现有的图画纸之比是 5 2 问原来两人各有多少张图画纸 解一 解一 充分利用已知数据的特殊性 4 3 7 5 2 7 15 8 7 原来总数分成 7 份 变化后总数仍分成 7 份 总数多了 7 张 因此 新的 1 份 原来 1 份 1 原来 4 份 新的 5 份 5 4 1 因此 新的 1 份有 15 1 4 11 张 小明原有图画纸 11 5 15 40 张 小强原有图画纸 11 2 8 30 张 答 原来小明有 40 张 小强有 30 张图画纸 解二 解二 我们也可采用例 13 解一的 假设 方法 先要将两个比中的前项化成同一个数 实际上就是通分 4 3 20 15 5 2 20 8 但现在是 20 8 因此这个比的每一份是 当然 也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法 解三 解三 设原来小明有 4 份 小强有 3 份 图画纸 把小明现有的图画纸张数乘 2 小强现有的图画纸张数乘 5 所得到的两个结果相等 我们可以画出如下示 意图 从图上可以看出 3 5 4 2 7 份 相当于图画纸 15 2 8 5 70 张 因此每份是 10 张 原来小明有 40 张 小强有 30 张 例 11 至 15 这五个例题是同一类型的问题 用比例式的方程求解没有多大差别 用算术方法 却可以充分利 用已知数据的特殊性 找到较简捷的解法 也启示一些随机应变的解题思路 另外 解方程的代数运算 对小 学生说来是超前的 不容易熟练掌握 例 13 的解一 也是一种通用的方法 假设 这一思路是很有用的 希望 读者能很好掌握 灵活运用 从课外的角度 我们更应启发小同学善于思考 去找灵巧的解法 这就要充分利 用数据的特殊性 因此我们总是先讲述灵巧的解法 利于心算 促进思维 例例 16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样 粗蜡烛可以点 5 小时 细蜡烛可以点 4 小时 同时点燃这两支蜡烛 点了 一段时间后 粗蜡烛长是细蜡烛长的 2 倍 问这两支蜡烛点了多少时间 我们把问题改变一下 设细蜡烛长度是 2 每小时点 等需要时间是 答 这两支蜡烛点了 3 小时 20 分 把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以 2 使原来要考虑的 2 倍 变成 相等 思考就简捷了 解 这类问题这是常用的技巧 再请看一个稍复杂的例子 例例 17 箱子里有红 白两种玻璃球 红球数是白球数的 3 倍多 2 只 每次从箱子里取出 7 只白球 15 只红 球 经过若干次后 箱子里剩下 3 只白球 53 只红球 那么 箱子里原来红球数比白球数多多少只 解 解 因为红球是白球的 3 倍多 2 只 每次取 15 只 最后剩下 53 只 所以对 3 倍的白球 每次取 15 只 最后应剩 51 只 因为白球每次取 7 只 最后剩下 3 只 所以对 3 倍的白球 每次取 7 3 21 只 最后应剩 3 3 9 只 因此 共取了 51 3 3 7 3 15 7 次 红球有 15 7 53 158 只 白球有 7 7 3 52 只 原来红球比白球多 158 52 106 只 答 箱子里原有红球数比白球数多 106 只 三 比例的其他问题三 比例的其他问题 这里必须用分数来说 而不能用比 实际上它还是隐含着比例关系 甲 7 乙 2 3 因此 有些分数问题 就是比例问题 加 33 张 他们两人取的画片一样多 问这些画片有多少张 答 这些画片有 261 张 解 解 设最初的水量是 1 因此最后剩下的水是 样重 就有 因此原有水的重量是 答 容器中原来有 8 4 千克水 例 18 和例 19 通常在小学数学中 叫做分数应用题 比 有前项和后项 当两项合在一起写成一个分数 后 才便于与其他数进行加 减运算 这就是把比 或除法 写成分数的好处 下面一个例题却是要把分数写成 比 计算就方便些 例例 20 有两堆棋子 A 堆有黑子 350 个和白子 500 个 B 堆有黑子 堆中拿到 A 堆黑子 白子各多少个 子 100 个 使余下黑子与白子之比是 40 100 100 3 1 再要从 B 堆拿出黑子与白子到 A 堆 拿出 的黑子与白子数目也要保持 3 1 的比 现在 A 堆已有黑子 350 100 450 个 与已有白子 500 个 相差 从 B 堆再拿出黑子与白子 要相差 50 个 又要符合 3 1 这个比 要拿出白子数是 50 3 1 25 个 再要拿出黑子数是 25 3 75 个 答 从 B 堆拿出黑子 175 个 白子 25 个 人 问高 初中毕业生共有多少人 解一 解一 先画出如下示意图 6 5 1 相当于图中相差 17 12 5 份 初中总人数是 5 6 30 份 因此 每份人数是 520 30 17 40 人 因此 高 初中毕业生共有 40 17 12 1160 人 答 高 初中毕业生共 1160 人 计算出每份是 例 21 与例 14 是完全一样的问题 解一与例 14 的解法也是一样的 你是否发现 解二是通常分数应用 题的解法 显然计算不如解一简便 例 18 19 20 21 四个例题说明分数与比例各有好处 你是否从中有所心得 当然关键还是在于灵活运 用 下的钱共有多少元 解 解 设钢笔的价格是 1 这样就可以求出 钢笔价格是 张剩下的钱数是 李剩下的钱数 答 张 李两人剩下的钱共 28 元 题中有三个分数 但它们比的基准是不一样的 为了统一计算单位 设定钢笔的价格为 1 每个人原有的钱 和剩下的钱都可以通过 1 统一地折算 解分数应用题中 设定统一的计算单位是常用的解题技巧 作为这一讲最后的内容 我们通过两个例题 介绍一下 混合比 用 100 个银币买了 100 头牲畜 问猪 山羊 绵羊各几头 这是十八世纪瑞士大数学家欧拉 1707 1783 提出的问题 们设 1 头猪和 5 头绵羊为 A 组 3 头山羊和 2 头羊绵为 B 组 A 表示 A 组的数 B 表示 B 组的数 要使 1 5 A 3 2 B 100 或简写成 6A 5B 100 就恰好符合均价是 1 类似于第三讲鸡兔同笼中例 17 很明显 A 必定是 5 的整数倍 A 5 B 4 6 5 5 4 50 50 是 100 的约数 符合要求 A 5 猪 5 头 绵羊 25 头 B 4 山羊 12 头 绵羊 8 头 猪 山羊 绵羊 5 12 25 8 现在已把 1 5 和 3 2 两种比 组合在一起通常称为混合比 要注意 这样的问题常常有多种解答 A 5 B 14 或