数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

0 1 算法 1 p 11 题 1 用二分法求方程在 1 2 内的近似根 要求误差01 3 xx 不超过 10 3 解 由二分法的误差估计式 得到 3 11 10 2 1 2 kk k ab xx 两端取自然对数得 因此取 即至少10002 1 k 96 8 1 2ln 10ln3 k9 k 需二分 9 次 求解过程见下表 k k a k b k x符号 k xf 0121 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 p 11 题 2 证明方程在区间 0 1 内有唯一个实根 使210 xexf x 用二分法求这一实根 要求误差不超过 2 10 2 1 解 由于 则在区间 0 1 上连续 且210 xexf x xf 即 012010 0 0 ef082110 1 1 eef0 1 0 ff 由连续函数的介值定理知 在区间 0 1 上至少有一个零点 xf 又 即在区间 0 1 上是单调的 故在区间 0 1 内010 x exf xf xf 有唯一实根 由二分法的误差估计式 得到 两 2 11 10 2 1 2 1 2 kk k ab xx1002 k 端取自然对数得 因此取 即至少需二分6438 6 3219 3 2 2ln 10ln2 k7 k 7 次 求解过程见下表 k k a k b k x符号 k xf 0010 5 1 2 3 4 5 6 7 0 2 误差 1 p 12 题 8 已知 e 2 71828 试问其近似值 x2 2 71 7 2 1 x71 2 2 x 各有几位有效数字 并给出它们的相对误差限 718 2 3 x 解 有效数字 因为 所以有两位有效数字 1 1 10 2 1 05 0 01828 0 xe7 2 1 x 因为 所以亦有两位有效数字 1 2 10 2 1 05 0 00828 0 xe71 2 2 x 因为 所以有四位有效数字 3 3 10 2 1 0005 0 00028 0 xe718 2 3 x 85 1 7 2 05 0 1 1 1 x xe r 85 1 71 2 05 0 2 2 2 x xe r 0184 0 718 2 0005 0 3 3 3 x xe r 评 1 经四舍五入得到的近似数 其所有数字均为有效数字 2 近似数的所有数字并非都是有效数字 2 p 12 题 9 设 均为经过四舍五入得出的近72 2 1 x71828 2 2 x0718 0 3 x 似值 试指明它们的绝对误差 限 与相对误差 限 解 005 0 1 3 1 1 1 1084 1 72 2 005 0 x r 000005 0 2 6 2 2 2 1084 1 71828 2 000005 0 x r 00005 0 3 4 3 3 3 1096 6 0718 0 00005 0 x r 评 经四舍五入得到的近似数 其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位 3 p 12 题 10 已知 的绝对误差限均为42 1 1 x0184 0 2 x 4 3 10184 x 问它们各有几位有效数字 2 105 0 解 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起 故 2 105 0 42 1 1 x 有三位 有一位 而 也是有一位 0184 0 2 x0184 0 10184 4 3 x 1 1 泰勒插值和拉格朗日插值 1 p 54 习题 1 求作在节点的 5 次泰勒插值多项式 并计xxfsin 0 0 x 5 xp 算和估计插值误差 最后将有效数值与精确解进行比较 3367 0 5 p 5 0 5 p 解 由 求得 xxfsin xxfcos 1 xxfsin 2 xxfcos 3 所以xxfsin 4 xxfcos 5 xxfsin 6 5 xp 5 0 0 5 2 0 0 2 00 1 0 5 2 xx xf xx xf xxxfxf 5 5 2 2 1 5 0 2 0 0 0 x f x f xff 53 5 1 3 1 xxx 插值误差 若 则 5 xR 66 0 6 0 6 6 1 6 sin 6 xxxxx f 5 0 x 而 3367 0 5 p3303742887 0 5 3367 0 3 3367 0 3367 0 53 精度到小数点后 5 位 56 6 5 105 01002 2 6 3367 0 3367 0 R 故取 与精确值相比33037 0 3367 0 5 p 330374191 0 3367 0 sin 3367 0 f 较 在插值误差的精度内完全吻合 2 p 55 题 12 给定节点 试分别对下列函数导出拉格朗4 3 1 1 3210 xxxx 日余项 1 234 3 xxxf 2 34 2 xxxf 解 依题意 拉格朗日余项公式为 3 n 3 0 4 3 4 i i xx f xR 1 0 4 xf0 3 xR 2 因为 所以 4 4 xf 4 3 1 1 4 3 1 1 4 4 3 xxxxxxxx f xR 3 p 55 题 13 依据下列数据表 试用线性插值和抛物线插值分别计算的 3367 0 sin 近似值并估计误差 i 012 i x 0 320 340 36 sin i x 0 3145670 3334870 352274 解 依题意 拉格朗日余项公式为 3 n 3 0 4 3 4 i i xx f xR 1 线性插值 因为在节点和之间 先估计误差3367 0 x 0 x 1 x 2 max 2 sin 2 10 10101 xxxx xxxxxxxx f xR 须保留到小数点后 4 为 计算过程多余两位 4 2 10 2 1 2 01 0 x0 x1 x1 x0 2 4 y x x0 x x1 x y 0 1 xP sin sin 1 sin sin 0110 01 1 01 0 0 10 1 xxxxxx xx x xx xx x xx xx 1 xP 32 0 sin 3367 0 34 0 34 0 sin 32 0 3367 0 02 0 1 32 0 sin 0033 0 34 0 sin 0167 0 02 0 1 3304 0 2 抛物线插值 插值误差 2 xR 6 cos 3 210210 xxxxxxxxxxxx f 6 3 210 10 2 1 6 01 0 3 6 max xxxxxx x0 x1 Max 3 x1 x0 3 8 y x x0 x x1 x x2 x y 0 x2 抛物线插值公式为 2 xP sin sin sin 2 0212 01 1 2101 20 0 2010 21 x xxxx xxxx x xxxx xxxx x xxxx xxxx sin 2 sin sin 2 02 0 1 2 01 1200 21 2 x xxxx xxxxxx xxxx 3367 0 2 P 36 0 sin 7555 2 34 0 sin 911 38 32 0 sin 8445 3 02 0 10 2 5 36 0 sin 7555 2 34 0 sin 911 38 32 0 sin 8445 3 02 0 10 2 5 33037439 0 经四舍五入后得 与精确值相330374 0 3367 0 2 P 330374191 0 3367 0 sin 比较 在插值误差范围内完全吻合 1 3 分段插值与样条函数 1 p 56 习题 33 设分段多项式 2112 10 23 23 xcxbxx xxx xS 是以 0 1 2 为节点的三次样条函数 试确定系数 b c 的值 解 依题意 要求 S x 在 x 1 节点 函数值连续 1 1111211 1 2323 ScbS 即 1 1 cb 一阶导数连续 1 12161213 1 22 ScbS 即 2 12 cb 解方程组 1 和 2 得 即3 2 cb 211322 10 23 23 xxxx xxx xS 由于 所以 S x 在 x 1 节点的二 1 221262123 1 SS 阶导数亦连续 2 已知函数 的一组数据 和 2 1 1 x y 2 1 0 210 xxx2 0 5 0 1 210 yyy 1 求其分段线性插值函数 2 计算的近似值 并根据余项表达式估计误差 5 1 f 解 1 依题意 将 x 分为 0 1 和 1 2 两段 对应的插值函数为 利用 21 xSxS和 拉格朗日线性插值公式 求得 15 05 0 01 0 1 10 1 1 01 0 0 10 1 1 x xx y xx xx y xx xx xS 8 03 02 0 12 1 5 0 21 2 2 12 1 1 21 2 2 x xx y xx xx y xx xx xS 2 而 93076923076 0 5 11 1 5 1 2 f 实际误差为 35 0 8 05 13 0 5 1 2 S 05 0 0423 0 5 1 5 1 2 Sf 由 可 42 2 3 32 2 2 22 1 1 1 24 1 31 2 1 2 x xx xf x x xf x x xf 知 则余项表达式5 0 1 2 2 fM 5 00625 0 5 05 0 2 2 1 2 422 2 M xx f xR 1 4 曲线拟合 1 p 57 习题 35 用最小二乘法解下列超定方程组 72 62 353 1142 yx yx yx yx 解 构造残差平方和函数如下 2222 72 62 353 1142 yxyxyxyxyxQ 分别就 Q 对 x 和 y 求偏导数 并令其为零 0 x yxQ 1 176 yx 0 y yxQ 2 48463 yx 解方程组 1 和 2 得 24176 1 273 173486 04029 3 273 481746 yx 2 p 57 习题 37 用最小二乘法求形如 的多项式 使之与下列数据相拟合 2 bxay 解 令 则为线性拟合 根据公式 p 39 公式 43 取 2 xX bXay m 2 a1 0 N 5 求得 2 1 55 5 1 2 5 1 5 1 4 5 1 2 5 1 2 5 1 5 1 5 1 2 5 1 i ii i ii i i i i i i i i i i i i i i yxyXxbxaXbXa yxbaXba 依据上式中的求和项 列出下表 xiyiXi xi2 Xi2 xi4 Xi yi xi2yi 19193611303216859 2532 362539062520187 5 314996192352147089 3873 314442085136105845 2 4497 819363748096189340 8 157271 453277277699369321 5 将所求得的系数代入方程组 1 和 2 得 2 5 36932172776995327 1 4 27153275 0 0 ba ba 97258 0 8011566 1 7791878 5327532772776995 5327 5 3693217277699 4 271 a 05004 0 8011566 7 400859 5327532772776995 4 2715327 5 3693215 b 即 2 05004 0 97258 0 xy 2 1 机械求积和插值求积 1 p 94 习题 3 确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 并指明求积 公式所具有的代数精度 h h hfAfAhfAdxxf 0 1 210 1 0 210 4 3 2 1 4 1 2 fAfAfAdxxf 1 0 00 0 4 1 3 xfAfdxxf 解 1 令时等式精确成立 可列出如下方程组 2 1 xxxf 3 3 2 2 0 1 2 20 20 210 hAA AA hAAA 解得 即 可以hA h AA 3 4 3 120 h h hffhf h dxxf 0 4 3 验证 对公式亦成立 而对不成立 故公式 1 具有 3 次代数精度 3 xxf 4 xxf 2 令时等式精确成立 可列出如下方程组 2 1 xxxf 3 1627123 2 232 1 1 210 210 210 AAA AAA AAA 解得 即 可以 3 1 3 2 120 AAA 4 3 2 2 1 4 1 2 3 1 1 0 fffdxxf 验证 对公式亦成立 而对不成立 故公式 2 具有 3 次代数精度 3 xxf 4 xxf 3 令时等式精确成立 可解得 xxf 1 3 2 4 3 0 0 x A 即 可以验证 对公式亦成立 而对 1 0 3 2 4 3 0 4 1 ffdxxf 2 xxf 不成立 故公式 3 具有 2 次代数精度 3 xxf 2 p 95 习题 6 给定求积节点 试构造计算积分的插值 4 3 4 1 10 xx 1 0 dxxfI 型求积公式 并指明该求积公式的代数精度 解 依题意 先求插值求积系数 2 1 4 3 2 1 2 4 3 4 1 4 3 1 0 2 1 0 1 0 10 1 0 xxdx x dx xx xx A 2 1 4 1 2 1 2 4 1 4 3 4 1 1 0 2 1 0 1 0 01 0 1 xxdx x dx xx xx A 插值求积公式 1 0 0 4 3 2 1 4 1 2 1 ffxfAdxxf n k kk 当 左边 右边 左 右 1 xf 1 0 1 dxxf11 2 1 1 2 1 当 左边 右边 左 右 xxf 1 0 1 0 2 2 1 2 1 xdxxf 2 1 4 3 2 1 4 1 2 1 当 左边 右边 左 2 xxf 1 0 1 0 3 3 1 3 1 xdxxf 16 5 16 9 2 1 16 1 2 1 右 故该插值求积公式具有一次代数精度 2 2 梯形公式和 Simpson 公式 1 p 95 习题 9 设已给出的数据表 xexf x 4sin1 x0 000 250 500 751 00 f x 1 000 001 655 341 551 521 066 660 721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值 dxxfI 1 0 解 1 用复化梯形法 28358 1 72159 0 06666 1 55152 1 65534 1 200000 1 125 0 00 1 75 0 50 0 25 0 2 00 0 2 25 0 2 2 2 25 0 4 1 5 1 0 5 5 5 1 1 1 1 0 5 T T fffffT bfxfaf h xfxf h T n ab hnba n k kkk n k 2 用复化辛普生法 30939 1 72159 0 10304 3888 1000000 1 12 1 00 1 50 0 2 75 0 25 0 4 00 0 6 5 0 2 4 6 4 6 5 0 2 1 2 1 0 2 2 1 1 1 0 2 11 2 1 1 0 2 S fffffS bfxfxfaf h xfxfxf h S n ab hnba n k k n k k k k k n k 2 p 95 习题 10 设用复化梯形法计算积分 为使截断误差不超过 1 0 dxeI x5 10 2 1 问应当划分区间 0 1 为多少等分 如果改用复化辛普生法呢 解 1 用复化梯形法 设需划分 n 等分 x exfxfxfba 1 0 则其截断误差表达式为 e n f n ab TIR nT 3 3 2 3 12 01 max 12 依题意 要求 即 5 10 2 1 T R 可取 849 212 6 10 10 2 1 12 5 25 2 e n n e 213 n 2 用复化辛普生法 截断误差表达式 x exfxfxfba 1 0 为 44 5 4 5 28802880 01 max 2 180 n e e n f n ab SIR nS 依题意 要求 即 5 10 2 1 S R 可取 划分 8 等分 70666 3 1440 10 10 2 1 2880 5 45 4 e n n e 4 n 2 3 数值微分 1 p 96 习题 24 导出三点公式 51 52 和 53 的余项表达式 53 3 4 2 1 52 2 1 51 4 3 2 1 2102 201 2100 xfxfxf h xf xfxf h xf xfxfxf h xf 解 如果只求节点上的导数值 利用插值型求导公式得到的余项表达式为 n kj j jk k n kkk xx n f xpxfxR 0 1 1 由三点公式 51 52 和 53 可知 则 1201 2xxxxhn 20 2010 0 2 1 0 0 12 0 3 3 12 h f xxxx f xx f xR j j 20 2101 1 2 1 0 1 1 12 1 6 3 12 h f xxxx f xx f xR j j j 22 1202 2 2 2 0 2 2 12 2 3 3 12 h f xxxx f xx f xR j j j 2 p 96 习题 25 设已给出的数据表 2 1 1 x xf x1 01 11 2 f x 0 25000 22680 2066 试用三点公式计算的值 并估计误差 2 1 1 1 0 1 fff 解 已知 用三点公式计算微商 1 0 2 1 1 1 0 1 1201210 xxxxhxxx 1870 0 2066 0 32268 0 42500 0 1 02 1 2 1 3 1 1 4 0 1 2 1 2 1 2170 0 2066 0 2500 0 1 02 1 2 1 0 1 2 1 1 1 2470 0 2066 0 2268 0 42500 0 3 1 02 1 2 1 1 1 4 0 1 3 2 1 0 1 fff h f ff h f fff h f 5432 1 24 1 6 1 2 1 1 x xf x xf x xf x xf 用余项表达式计算误差 0025 0 0 11 3 1 024 3 0 1 5 2 20 h f R 00125 0 0 11 3 1 024 3 1 1 5 2 21 h f R 04967 0 1 11 3 1 024 3 2 1 5 2 22 h f R 3 p 96 习题 26 设 分别取步长 用中点公式 52 xxfsin 001 0 01 0 1 0 h 计算的值 令中间数据保留小数点后第 6 位 8 0 f 解 中心差商公式 截断误差 可 h hafhaf af 2 2 3 h af hR 见步长 h 越小 截断误差亦越小 1 则9 08 0 7 08 0 1 0 20 hxhxh 695545 0 644218 0 783327 0 1 02 1 7 0sin 9 0 sin 2 1 8 0 h f 2 则81 0 8 0 79 0 8 0 01 0 20 hxhxh 6967 0 710353 0 724287 0 01 0 2 1 79 0 sin 81 0 sin 2 1 8 0 h f 3 则801 0 8 0 799 0 8 0 001 0 20 hxhxh 6965 0 716659 0 718052 0 01 0 2 1 799 0 sin 801 0 sin 2 1 8 0 h f 而精确值 可见当时得到的误差最小 在 6967067 0 8 0cos 8 0 f01 0 h 时反而误差增大的原因是与很接近 直接相减会造成有001 0 h 8 0 hf 8 0 hf 效数字的严重损失 因此 从舍入误差的角度看 步长不宜太小 3 1 Euler 格式 1 p 124 题 1 列出求解下列初值问题的欧拉格式 取 4 00 1 22 xyxy1 0 y2 0 h 取 2 11 2 2 x x y x y y1 0 y2 0 h 解 1 2 0 2222 1nnnnnnnnn yxyyxhyhyyy 2 2 0 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n nn x y x y y x y x y hyy 2 p 124 题 2 取 用欧拉方法求解初值问题 2 0 h 6 00 2 xxyyy 1 0 y 解 欧拉格式 化 2 0 22 1nnnnnnnnnnn yxyyyxyhyhyyy 简后 计算结果见下表 2 1 2 08 0 nnnn yxyy n0123 xn0 00 20 40 6 yn1 00 80 61440 4613 3 p 124 题 3 取 用欧拉方法求解初值问题 1 0 h 40 2 1 1 2 2 xy x y 并与精确解比较计算结果 0 0 y 2 1 12 x x y 解 欧拉格式 2 1 1 2 0 2 1 1 2 2 2 2 1n n nn n nnnn y x yy x hyhyyy 化简后 计算结果见下表 2 2 1 1 2 0 4 0 n nnn x yyy 1 p 124 题 7 用改进的欧拉方法求解上述题 2 并比较计算结果 解 因为 且 则改进的欧 6 00 2 xxyyyxfy2 0 h1 0 y 拉公式 2 2 0 2 08 0 1 22 22 cp n pnpnpnpnpnnc nnnnnnnnnnp yy y yxyyyxyhyyxhfyy yxyyxyhyyxhfyy 计算结果见下表 n0123 xn0 00 20 40 6 yp 1 0 0 67300 51470 3941 yc 0 760 70920 55640 4319 yn 0 880 69110 53560 413 与原结果比较见下表 n0123 xn0 00 20 40 6 yn1 00 80 61440 4613 yn 改进 0 880 69110 53560 413 3 3 龙格 库塔方法 1 p 124 题 11 用四阶经典的龙格 库塔方法求解初值问题 试yy38 2 0 y 取步长计算的近似值 要求小数点后保留 4 位数字 2 0 h 4 0 y 解 四阶经典的龙格 库塔方法公式 2 2 22 6 314 2 2 13 1 2 12 1 43211 hKyxfK K h yxfK K h yxfK yxfK KKKK h yy nn n n n n nn nn 列表求得如下 4 0 y nxnyn 00 02 000 10 22 3004 20 42 4654 4 1 迭代法及收敛定理 1 p 153 题 1 试取 用迭代公式 求1 0 x 2 1 0 102 20 2 1 k xx x kk k 方程的根 要求准确到 020102 23 xxx 3 10 解 迭代计算结果列于下表 kxk xk xk 1 0 001kxk xk xk 1 0 001 11 538460 53846N61 365930 00937N 21 295020 24344N71 370090 00416N 31 401820 10680N81 368240 00185N 41 354210 04761N91 369060 00082Y 51 375300 02109N 因为 所以 3 89 1000082 0 xx36906 1 9 xx 2 p 153 题 2 证明方程有且仅有一实根 试确定这样的区间 使迭xxcos 2 1 ba 代过程对均收敛 kk xxcos 2 1 1 0 bax 证明 设 则当时 且一阶导数xxgcos 2 1 Rx 2 1 2 1 cos 2 1 xxg 连续 所以迭代过程对xxgsin 2 1 1 2 1 sin 2 1 xxg kk xxcos 2 1 1 均收敛 压缩映像定理 方程有且仅有一实根 Rx 0 xxcos 2 1 3 p 153 题 4 证明迭代过程对任意初值均收敛于 k k k x x x 1 2 1 1 0 x2 证明 设 对于任意 因为 所以 x x xg 1 2 1 x2 1 2 2 1 2 x x x x 一阶导数 根据压缩映像定理 迭代公式2 xg1 2 11 2 1 2 x xg 对任意初值均收敛 假设 对迭代式两 k k k x x x 1 2 1 1 0 x xxk k lim k k k x x x 1 2 1 边取极限 则有 则 解得 因不在 x x x 1 2 2 2 x2 x2 x 范围内 须舍去 故 1 x2 x 4 2 牛顿迭代法 1 p 154 题 17 试用牛顿迭代法求下列方程的根 要求计算结果有 4 位有效数字 1 013 3 xx2 0 x 2 023 2 x exx1 0 x 解 1 设 则 牛顿迭代公式 13 3 xxxf33 2 xxf 迭代计算过 2 1 0 1 3 12 33 13 2 3 2 3 1 k x x x xx x xf xf xx k k k kk k k k kk 程见下列表 kxk xk xk 1 0 0001kxk xk xk 1 0 0001 11 888890 11111N31 879390 00006Y 21 879450 00944N 因为 所以 4 23 1000006 0 xx879 1 3 xx 2 设 则 牛顿迭代公式 23 2 x exxxf x exxf 32 2 1 0 32 2 1 32 23 22 1 k ex xex ex exx x xf xf xx k k k k x k k x k x k x kk k k k kk 迭代计算过程见下列表 kxk xk xk 1 0 0001kxk xk xk 1 0 001 10 268940 73106N30 257530 00014N 20 257390 01155N40 257530 00000Y 因为 所以 4 23 1000000 0 xx2575 0 4 xx 2 p 154 题 18 应用牛顿法于方程 导出求立方根的迭代公式 0 3 ax 0 3 aa 并证明该迭代公式具有二阶收敛性 证明 1 设 则 对任意 牛顿迭代公式axxf 3 2 3 xxf 0 x 2 3 2 3 1 3 2 3 k k k k k k k kk x ax x ax x xf xf xx 2 1 0 k 2 由以上迭代公式 有 设 3 limaxxk k 0 3 2 2 3 x x ax xg xxg 0 1 3 2 3 3 ax x a xg 3 4 22 3 ax a xg ax 2 1 2 xx g xxxgxgxgxx kkkk 可见该迭代公式具有二阶收敛性 3 2 1 1 2 lim a xg xx xx k k k 5 1 线性方程组迭代公式 1 p 170 题 1 用雅可比迭代与高斯 赛德尔迭代求解方程组 要求结 12 23 21 21 xx xx 果有 3 位有效数字 解 雅可比迭代公式 迭代计算结果列于下表 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 kkk kkk xxx xxx k 1 k x 2 k x 1 1 1 kk xx 1 2 2 kk xx 0005 0 000 12 31 22 31 2N 21 21 61 61 3N 311 181 41 91 12N 47 127 361 361 18N 50 601850 208330 018520 01389N 60 597220 199080 004630 00925N 70 600310 201390 003090 00231N 80 599540 199850 000770 00154N 90 600050 200230 000510 00038N 100 599920 199980 000030 00025Y 200 0 600 0 10 22 10 11 xxxx 由上表可见 所求根皆为小数点后第 1 位不为零的小数 要取 3 位有效数 则误差限为 3 10 2 1 高斯 赛德尔迭代公式 迭代计算结果列于下表 1 6 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 kkk kkk xxx xxx k 1 k x 2 k x 1 1 1 kk xx 1 2 2 kk xx 0005 0 000 12 31 62 31 6N 20 61110 1944N 30 60190 19910 00920 0047N 40 60030 19990 00160 0008N 50 60000 19990 00030 0000Y 200 0 600 0 5 22 5 11 xxxx 2 p 171 题 7 取 用松弛法求解下列方程组 要求精度为 25 1 4 10 2 1 124 2043 1634 32 321 21 xx xxx xx 解 欧先写出高斯 赛德尔迭代 1 2 5 16 1 64 9 3 4 1 2 4 1 16 9 5 4 1 4 3 4 4 3 3 2 2 1 3 2 3 1 1 2 1 3 2 1 kkkk kkkkk kk xxxx xxxxx xx 引入松弛因子 得 2 4 5 4 1 1 4 5 4 1 1 4 5 4 1 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 33 22 11 kkkkk kkkkk kkkkk xxxxx xxxxx xxxxx 将方程组 1 代入 2 并化简 3 8 25 64 11 256 45 2 5 16 5 64 29 5 16 15 4 1 3 2 1 3 3 2 1 2 2 1 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 计算结果见下表 k 1 k x 2 k x 3 k x 1 1 1 kk xx 1 2 2 kk xx 1 3 3 kk xx e 0000 152 5 3 12552 53 125N 21 406252 65625 2 14844N 32 158203 03223 2 28882N 41 611733 15872 2 19860N 51 635773 24423 2 19187N 61 549593 28508 2 17800N 71 532843 30793 2 17320N 81 515613 31978 2 17001N 91 508803 32615 2 16847N 01 504533 32951 2 16762N 11 502453 33130 2 16717N 21 501293 33225 2 16694N 31 500693 33276 2 16672N 41 500373 33306 2 16676N 51 500163 33318 2 16670N 61 500103 33325 2 16668N 71 500053 33329 2 166680 000050 000040 00000Y 迭代解 1667 2 3333 3 5001 1 17 33 17 22 17 11 xxxxxx 精确解 1667 2 6 13 3333 3 3 10 5 1 2 3 321 xxx 5 1 线性方程组迭代公式 1 p 170 题 2 试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯 赛德尔迭代公式 并 考察迭代过程的收敛性 17722 23823 1138 7510 4321 4321 321 431 xxxx xxxx xxx xxx 解 1 雅可比迭代公式 1 7 17 7 2 7 2 7 1 8 23 8 1 4 1 8 3 8 11 8 3 8 1 10 7 2 1 10 1 3 2 1 1 4 4 2 1 1 3 3 1 1 2 4 3 1 1 kkkk kkkk kkk kkk xxxx xxxx xxx xxx 迭代收敛 J G 0 7 2 7 2 7 1 8 1 0 4 1 8 4 0 8 3 0 8 1 2 1 10 1 00 1 8 7 J G 2 高斯 赛德尔迭代公式 2 7 17 7 2 7 2 7 1 8 23 8 1 4 1 8 3 8 11 8 3 8 1 10 7 2 1 10 1 1 3 1 2 1 1 1 4 4 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 4 3 1 1 kkkk kkkk kkk kkk xxxx xxxx xxx xxx 将方程组 1 带入 2 经化简后 得 3 1120 3991 224 39 1120 121 320 787 64 19 320 19 80 117 16 1 80 31 10 7 2 1 10 1 4 3 1 4 4 3 1 3 4 3 1 2 4 3 1 1 kkk kkk kkk kkk xxx xxx xxx xxx 迭代收敛 SG G 224 39 1120 89 00 64 19 320 19 00 16 1 80 31 0 2 1 10 1 00 1 5 3 SG G 2 p 171 题 5 分别用雅可比迭代与高斯 赛德尔迭代求解下列方程组 1 23 12 21 21 xx xx 2 1152 425 235 321 321 321 xxx xxx xxx 解 1 雅可比迭代 不收敛 23 12 1 1 2 2 1 1 kk kk xx xx 13 G 高斯 赛德尔迭代 或 不收敛 23 12 1 1 1 2 2 1 1 kk kk xx xx 56 12 1 1 2 2 1 1 kk kk xx xx 16 G 2 雅可比迭代 不收敛 5 11 5 1 5 2 2 2 1 2 5 235 2 1 1 3 3 1 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 18 G 高斯 赛德尔迭代 或 5 11 5 1 5 2 2 2 1 2 5 235 1 2 1 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 5 18 5 14 2 1 38 2 25 235 3 2 1 3 3 2 2 3 2 1 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 不收敛 18 G 3 p 171 题 6 加工上述题 5 的方程组 比如调换方程组的排列顺序 以保证迭代过程 的收敛性 解 加工后结果如下 1 12 23 21 21 xx xx 2 1152 235 425 321 321 321 xxx xxx xxx 方程组 1 的雅可比迭代 迭代收敛 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 1 2 2 1 1 kk kk xx xx 1 2 1 J G 方程组 1 的高斯 赛德尔迭代 迭代收敛 3 2 6 1 3 2 3 1 3 1 1 2