电路原理(邱关源)习题答案第二章-电阻电路的等效变换练习

第二章第二章 电阻电路的等效变换电阻电路的等效变换 等效变换等效变换 在电路理论中是很重要的概念 电路等在电路理论中是很重要的概念 电路等 效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法 效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法 所谓两个电路是互为等效的 是指 所谓两个电路是互为等效的 是指 1 1 两个结构参数 两个结构参数 不同的电路再端子上有相同的电压 电流关系 因而可以不同的电路再端子上有相同的电压 电流关系 因而可以 互相代换 互相代换 2 2 代换的效果是不改变外电路 或电路中未 代换的效果是不改变外电路 或电路中未 被代换的部分 中的电压 电流和功率 被代换的部分 中的电压 电流和功率 由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电 路具有相同的伏安特性 等效的对象是外接电路 或电路路具有相同的伏安特性 等效的对象是外接电路 或电路 未变化部分 中的电压 电流和功率 等效变换的目的是未变化部分 中的电压 电流和功率 等效变换的目的是 简化电路 方便地求出需要求的结果 简化电路 方便地求出需要求的结果 深刻地理解深刻地理解 等效变换等效变换 的思想 熟练掌握的思想 熟练掌握 等效变等效变 换换 的方法在电路分析中是重要的 的方法在电路分析中是重要的 2 12 1 电路如图所示 已知电路如图所示 已知12 100 2 8 s uV RkRk 若 若 1 1 3 8Rk 2 2 处开路 33 RR 3 3 处短路 33 0 RR 试求以上试求以上 3 3 种情况下电压种情况下电压2 u 和电流和电流23 ii 解 解 1 1 2 R 和和3 R 为并联 其等效电阻为并联 其等效电阻 8 4 2 Rk 则总电流则总电流 mA RR u i s 3 50 42 100 1 1 分流有分流有 mA i ii333 8 6 50 2 1 32 ViRu667 66 6 50 8 222 2 2 当 当 3 R 有 有 0 3 i mA RR u i s 10 82 100 21 2 ViRu80108 222 3 3 0 3 R 有 有 0 0 22 ui mA R u i s 50 2 100 1 3 2 22 2 电路如图所示 其中电阻 电压源和电流源均为已知 电路如图所示 其中电阻 电压源和电流源均为已知 且为正值 求 且为正值 求 1 1 电压 电压2 u 和电流和电流2 i 2 2 若电阻 若电阻1 R增大 增大 对哪些元件的电压 电流有影响 影响如何 对哪些元件的电压 电流有影响 影响如何 解 解 1 1 对于 对于2 R 和和3 R 来说 其余部分的电路可以用电来说 其余部分的电路可以用电 流源流源s i 等效代换 如题解图 等效代换 如题解图 a a 所示 因此有 所示 因此有 32 33 2 RR iR i 32 32 2 RR iRR u s 2 2 由于 由于1 R和电流源串接支路对其余电路来说可以等效 和电流源串接支路对其余电路来说可以等效 为一个电流源 如题解图 为一个电流源 如题解图 b b 所示 因此当 所示 因此当1 R增大 对 增大 对 432 RRR 及及s u 的电流和端电压都没有影响 的电流和端电压都没有影响 但但1 R增大 增大 1 R上的电压增大 将影响电流源两端的电 上的电压增大 将影响电流源两端的电 压 因为压 因为 ss s i uuiRu 21 显然显然 s i u 随随1 R的增大而增大 的增大而增大 注 任意电路元件与理想电流源注 任意电路元件与理想电流源s i 串联 均可将其等串联 均可将其等 效为理想电压源效为理想电压源s i 如本题中题解图 如本题中题解图 a a 和 和 b b 但应该 但应该 注意等效是对外部电路的等效 图 注意等效是对外部电路的等效 图 a a 和图 和图 b b 中电流 中电流 源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压is u 同时 同时 任意电路元件与理想电压源任意电路元件与理想电压源s u 并联 均可将其等效为理想电并联 均可将其等效为理想电 压源压源s u 如本题中对而言 其余部分可以等效为 如本题中对而言 其余部分可以等效为s u 如题图 如题图 c c 所示 但等效是对外部电路 如 所示 但等效是对外部电路 如4 R 的等效 而图 的等效 而图 c c 中 中s u 上的电流则不等于原电路中上的电流则不等于原电路中s u 中的电流 中的电流 2 32 3 电路如图所示 电路如图所示 1 1 求 求s o u u 2 2 当 当 21 21 21 RR RR RRRL 时 时 s o u u 可近似为可近似为21 2 RR R 此时引起的相对 此时引起的相对 误差为误差为 0 0 21 2 100 s o s o u u RR R u u 当当L R 为为 21 RR 的的 100100 倍 倍 1010 倍时 分别计算此相对误差 倍时 分别计算此相对误差 解 解 1 1 L L RR RR R 2 2 RR u i s 1 RR Ru Riu s o 1 所以所以 LL L s o RRRRRR RR RR R u u 2121 2 1 2 2 设 设21 21 RR RR KRL 带入上述 带入上述s o u u 式子中 可得式子中 可得 21 2 21 21 2121 21 21 2 1 RR R K K RR RR KRRRR RR RR KR u u s o 相对误差为相对误差为 0 0 0 0 0 0 21 2 21 2 21 2 0 0 21 2 100 1 100 1 1 1 100 1 1 100 K K K K K RR R K K RR R RR R K K u u RR R u u s o s o 当当100 K时时 0 0 1 10 K时时 0 0 10 2 42 4 求图示电路的等效电阻求图示电路的等效电阻ab R 其中 其中 4 2 1 54321 RRRRR 2 1 21 RSGG 解 解 a a 图中图中4 R 被短路 原电路等效为图被短路 原电路等效为图 a1 a1 所示 应用电所示 应用电 阻的串并联 有阻的串并联 有 4 442 1 1 5321 RRRRRab b b 图中图中1 G和 和2 G 所在支路的电阻所在支路的电阻 2 11 21 GG R 所以所以 322 2 34 RRRRab c c 图可以改画为图图可以改画为图 c1 c1 所示 这是一个电桥电路 由于所示 这是一个电桥电路 由于 4321 RRRR 处于电桥平衡 故开关闭合与打开时的等效电处于电桥平衡 故开关闭合与打开时的等效电 阻相等 阻相等 5 1 21 21 4231 RRRRRab d d 图中节点图中节点 1 1 同电位 电桥平衡 所以同电位 电桥平衡 所以11 间跨接电间跨接电 阻阻2 R 可以拿去 也可以用短路线替代 故可以拿去 也可以用短路线替代 故 5 01 11 11 12121 RRRRRRab e e 图是一个对称的电路 图是一个对称的电路 解法一 由于结点解法一 由于结点1与与 1 2与与 2 等电位 结点等电位 结点 3 3 3 等电位 等电位 可以分别把等电位点短接 电路如图可以分别把等电位点短接 电路如图 e1 e1 所示 则所示 则 3 2 3 42 2R RR Rab 解法二 将电路从中心点断开 因断开点间的连线没有解法二 将电路从中心点断开 因断开点间的连线没有 电流 如图电流 如图 e2 e2 所示 所示 则则 3 2 3 2 2 2 2 R RRR Rab 解法三 此题也可根据网络结构的特点 令各支路电流解法三 此题也可根据网络结构的特点 令各支路电流 如图如图 e3 e3 所示 则左上角的网孔回路方程为所示 则左上角的网孔回路方程为 12 22RiRi 故故 12 ii 由结点由结点 的的 KCLKCL 方程方程 1212 225 0iiiii 得得 iii 4 1 12 由此得端口电压由此得端口电压 RiiRiRiRuab 2 3 5 0 4 1 25 0 所以所以 3 2 3 R i u R ab ab f f 图中图中 1 1 2 和 和 2 2 1 构成两个构成两个 Y Y 形连接 分别形连接 分别 将两个将两个 Y Y 形转化成等值的形转化成等值的 形连接 如图形连接 如图 f1 f1 和和 f2 f2 所示 所示 等值等值 形的电阻分别为形的电阻分别为 4 4 2 21 21 8 1 22 22 5 5 1 21 21 5 2 2 11 11 232 123 21 RRR RRR RR 并接两个并接两个 形 最后得图形 最后得图 f3 f3 所示的等效电路 所以所示的等效电路 所以 221133 2 2 5 4 2 5 8 5 4 204020 1 269 19219 ab RRRRRRR g g 图是一个对称电路 图是一个对称电路 解法一 由对称性可知 节点解法一 由对称性可知 节点 1 1 1 等电位 节点等电位 节点 2 2 2 等等 电位 连接等电位点 得图电位 连接等电位点 得图 g1 g1 所示电路 则所示电路 则 667 1 6 5 363 R RRR Rab 解法二 根据电路的结构特点 得各支路电流的分布如解法二 根据电路的结构特点 得各支路电流的分布如 图图 g2 g2 所示 由此得端口电压所示 由此得端口电压 RiRiRiRiuab 6 5 3 1 6 1 3 1 所以所以 667 1 6 5 R i u R ab ab 注 本题入端电阻的计算过程说明 判别电路中电阻注 本题入端电阻的计算过程说明 判别电路中电阻 的串并联关系是分析混联电路的关键 一般应掌握以下几的串并联关系是分析混联电路的关键 一般应掌握以下几 点点 1 1 根据电压 电流关系判断 若流经两电阻的电流 根据电压 电流关系判断 若流经两电阻的电流 是同一电流 则为串联 若两电阻上承受的是同一电压 是同一电流 则为串联 若两电阻上承受的是同一电压 就是并联 注意不要被电路中的一些短接线所迷惑 对短就是并联 注意不要被电路中的一些短接线所迷惑 对短 接线可以做压缩或伸长处理 接线可以做压缩或伸长处理 2 2 根据电路的结构特点 如对称性 电桥平衡等 根据电路的结构特点 如对称性 电桥平衡等 找出等电位点 连接或断开等电位点之间的支路 把电路找出等电位点 连接或断开等电位点之间的支路 把电路 变换成简单的并联形式 变换成简单的并联形式 3 3 应用 应用 Y Y 结构互换把电路转化成简单的串并联形结构互换把电路转化成简单的串并联形 式 再加以计算分析 但要明确 式 再加以计算分析 但要明确 Y Y 形结构互换是多端形结构互换是多端 子结构等效 除正确使用变换公式计算各阻值之外 务必子结构等效 除正确使用变换公式计算各阻值之外 务必 正确连接各对应端子 更应注意不要把本是串并联的问题正确连接各对应端子 更应注意不要把本是串并联的问题 看做看做 Y Y 结构进行变换等效 那样会使问题的计算更加复结构进行变换等效 那样会使问题的计算更加复 杂化 杂化 4 4 当电路结构比较复杂时 可以根据电路的结构特 当电路结构比较复杂时 可以根据电路的结构特 点 设定电路中的支路电流 通过一些网孔回路方程和结点 设定电路中的支路电流 通过一些网孔回路方程和结 点方程确定支路电流分布系数 然后求出断口电压和电流点方程确定支路电流分布系数 然后求出断口电压和电流 的比值 得出等效电阻 的比值 得出等效电阻 2 52 5 在图在图 a a 电路中 电路中 2 6 12 6 24 32121 RRRVuVu ss 图 图 b b 为经电源变换为经电源变换 后的等效电路 后的等效电路 1 1 求等效电路的 求等效电路的s i 和和R 2 2 根据等效电路求 根据等效电路求3 R 中电流和消耗功率 中电流和消耗功率 3 3 分别在图 分别在图 a b a b 中求出中求出 2 1R R 及及R消耗的功率 消耗的功率 4 4 试问 试问21 ss uu 发出的功率是否等于发出的功率是否等于s i 发出的功率 发出的功率 21 R R 消消 耗的功率是否等于耗的功率是否等于R消耗的功率 为什么 消耗的功率 为什么 解 解 1 1 利用电源的等效变换 图 利用电源的等效变换 图 a a 中电阻与电压源中电阻与电压源 的串联可以用电阻与电流源的并联来等效 等效后的电路的串联可以用电阻与电流源的并联来等效 等效后的电路 如题解如题解 2 52 5 图所示 其中图所示 其中 A R u i s s 2 12 24 1 1 1 A R u i s s 1 6 6 2 2 2 对题解对题解 2 52 5 图电路进一步简化得图图电路进一步简化得图 b b 所示电路 故所示电路 故 Aiii sss 312 21 4 612 612 21 RRR 2 2 由图 由图 b b 可解得三条并联支路的端电压可解得三条并联支路的端电压 ViRRu s 43 24 24 3 所以所以3 R 的电流和消耗的功率分别为的电流和消耗的功率分别为 WiRP A R u i 822 2 2 4 22 333 3 3 3 3 根据 根据 KVLKVL 图 图 a a 电路中电路中21 R R 两端的电压分别为两端的电压分别为 Vuuu Vuuu s s 246 20424 22 11 则则21 R R 消耗的功率分别为消耗的功率分别为 W R u P W R u P 3 2 6 2 33 33 3 100 12 20 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 b b 图中图中R消耗的功率消耗的功率 W R u P4 4 42 2 4 4 a a 图中图中21ss uu 和 发出的功率分别为发出的功率分别为 W R u uP s s u 40 12 20 24 1 1 1 1 W R u uP s s u 2 6 2 6 2 2 2 2 b b 图中图中s i 发出功率发出功率 WiuP s s i 1234 显然显然 21s u s u s i PPP 由 由 3 3 的解可知 的解可知 21 PPP 以上结果表明 等效电源发出的功率一般并不等于原以上结果表明 等效电源发出的功率一般并不等于原 电路中所有电源发出的功率之和 等效电阻消耗的功率一电路中所有电源发出的功率之和 等效电阻消耗的功率一 般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和 这充分般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和 这充分 说明 电路的说明 电路的 等效等效 概念仅仅指对外电路等效 对内部概念仅仅指对外电路等效 对内部 电路 变换的电路 则不等效 电路 变换的电路 则不等效 2 62 6 对图示电桥电路 应用对图示电桥电路 应用 Y等效变换求 等效变换求 1 1 对角线 对角线 电压电压U 2 2 电压 电压ab U 解法一 把解法一 把 10 10 5 构成的构成的 形等效变换为形等效变换为Y形 如题解形 如题解 图图 a a 所示 其中各电阻值为 所示 其中各电阻值为 4 51010 1010 1 R 2 51010 510 2 R 2 51010 510 3 R 由于两条并接支路的电阻相等 因此得电流由于两条并接支路的电阻相等 因此得电流 AII5 2 2 5 21 应用应用 KVLKVL 得电压得电压 VU55 245 26 又因入端电阻又因入端电阻 30242 26 44 ab R 所以所以 VRU abab 1503055 解法二 把解法二 把 4 10 10 构成的构成的Y形等效变换为形等效变换为 形 如题形 如题 解图解图 b b 所示 其中各电阻值为所示 其中各电阻值为 18 10 180 10 1041010104 13 R 18 10 180 10 1041010104 12 R 45 4 180 23 R 把图把图 b b 等效为图等效为图 c c 应用电阻并联分流公式得电流 应用电阻并联分流公式得电流 AI 3 10 189 518 2 由此得图由此得图 b b 中中 6 电阻中的电流电阻中的电流 AI5 2 4 10 618 3 10 18 2 所以原图中所以原图中 4 电阻中的电流为电阻中的电流为 A5 25 25 故电压 故电压 VU55 245 26 由图由图 c c 得得 3024 9 18 ab R VRU abab 1503055 注 本题也可把注 本题也可把 4 10 6 构成的 构成的 形变换为形变换为 Y Y 形 或形 或 把把 6 10 5 构成的构成的 Y Y 形变换为形变换为 形 这说明一道题中形 这说明一道题中 Y变换方式可以有多种 但显然 变换方式选择得当 将变换方式可以有多种 但显然 变换方式选择得当 将 使等效电阻值和待求量的计算简便 如本题解法一显然比使等效电阻值和待求量的计算简便 如本题解法一显然比 解法二简便 解法二简便 2 72 7 图示为由桥图示为由桥T电路构成的衰减器 电路构成的衰减器 1 1 试证明当 试证明当L RRR 12时 时 Lab RR 且有 且有 5 0 ino uu 2 2 试证明当 试证明当 22 1 2 1 2 3 2 L L RR RR R 时 时 Lab RR 并求此时电压比 并求此时电压比 in o u u 解 解 1 1 当 当L RRR 12时电路为一平衡电桥 可等效为时电路为一平衡电桥 可等效为 题解图题解图 a a 所示电路 所以所示电路 所以 LLab RRRRRR 221 ino uu 2 1 即即 5 0 in o u u 2 2 把由 把由1 R构成的 构成的Y形电路等效变换为形电路等效变换为 形电路 原电形电路 原电 路等效为题解图路等效为题解图 b b 其中 其中 1 3RR 因为 因为 22 1 2 1 1 22 1 2 1 1 22 1 2 1 2 2 22 9 6 3 3 2 3 3 2 L L L L L L RR RR R RR RR R RR RR RR RR RRR L L LL RR RR RRR 1 1 3 3 L L L L L L L RR RR RR RR RR RR RR 1 1 1 1 22 1 2 1 2 3 3 3 3 9 6 所以所以 L L L L L L Lab R R RR R RR RR R RR RR RRRR 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 9 9 3 3 3 3 3 3 L L in L L L L in L L in o RR RR u RR RR RR RR u R RR u u 1 1 1 1 1 12 3 3 3 3 3 3 L L in o RR RR u u 1 1 3 3 2 82 8 在图在图 a a 中 中 VuVuVuVu ssss 50 20 20 45 5421 15 31 RR 8 50 20 542 RRR 在图 在图 b b 中 中 AiVuVu sss 8 30 20 251 10 10 5 17 5314 RRRAis 利用电源的等效变换求图 利用电源的等效变换求图 a a 和和 图图 b b 中电压中电压ab u 解解 a a 利用电源的等效变换 将 利用电源的等效变换 将 a a 图等效为题解图图等效为题解图 a1 a1 a2 a2 其中其中 A R u i s s 3 15 45 1 1 1 A R u i s s 1 20 20 2 2 2 A R u i s s 4 0 50 20 4 4 4 A R u i s s 25 6 8 50 5 5 5 把所有的电流源合并 得把所有的电流源合并 得 Aiiiii sssss 85 925 6 4 013 5421 把所有电阻并联 有把所有电阻并联 有 197 600 8 50 15 20 15 54321 RRRRRR 所以所以 VRiu sab 30 197 600 85 9 解解 b b 图 图 b b 可以等效变换为题解图可以等效变换为题解图 b1 b1 b2 b2 其中其中 A R u i s s 4 5 20 1 1 1 A R u i s s 3 10 30 5 5 5 等效电流源为等效电流源为 Aiiiii sssss 231784 5421 等效电阻为等效电阻为 5 210 10 5 531 RRRR 所以所以 VRiu sab 55 22 注 应用电源等效互换分析电路问题时要注意 等效变注 应用电源等效互换分析电路问题时要注意 等效变 换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻换是将理想电压源与电阻的串联模型与理想电流源与电阻 的并联模型互换 其互换关系为 在量值上满足的并联模型互换 其互换关系为 在量值上满足ss uRi 或或 s s u i R 在方向上有 在方向上有s i 的参考方向由的参考方向由s u 的负极指向正极 这种的负极指向正极 这种 等效是对模型输出端子上的电流和电压等效 需要明确理等效是对模型输出端子上的电流和电压等效 需要明确理 想电压源与理想电流源之间不能互换 想电压源与理想电流源之间不能互换 2 92 9 利用电源的等效变换 求图示电路的电流利用电源的等效变换 求图示电路的电流i 解 利用电源的等效变换 原电路可以等效为题解图解 利用电源的等效变换 原电路可以等效为题解图 a a b b 和和 c c 所以电流 所以电流 Aii Ai 125 0 2 1 25 0 10 5 2 1 1 2 102 10 利用电源的等效变换 求图示电路中电压比利用电源的等效变换 求图示电路中电压比s o u u 已知已知 1 2 4321 RRRR 解法一 利用电源的等效变换 原电路可以等效为题解解法一 利用电源的等效变换 原电路可以等效为题解 图图 a a 所示的单回路电路 对回路列写所示的单回路电路 对回路列写 KVLKVL 方程 有方程 有 s uuRiRRR 2 1 2 344312 把把 iRu 33 带入上式 则带入上式 则 s ss u u RRRRR u i 10 1 2111 2 1 2 2 1 344312 所以输出电压所以输出电压 so uiRRRuRiRu 10 3 2 2 344344 即即 3 0 10 3 s o u u 解法二 因为受控电流源的电流为解法二 因为受控电流源的电流为 1222 3333 iRiu 即 即 受控电流源的控制量可以改为受控电流源的控制量可以改为3 i 原电路可以等效为图 原电路可以等效为图 b b 所示的单结点电路 则所示的单结点电路 则 333444 3 2 iiiRiRuo 即即 3 3 o u i 又因又因 24 1 3 o s u ui 即即 24 1 3 o s o u u u 所以所以 so uu3 0 3 0 s o u u 注 本题说明 当受控电压源与电阻串联或受控电流注 本题说明 当受控电压源与电阻串联或受控电流 源与电阻并联时 均可仿效独立电源的等效方法进行电源源与电阻并联时 均可仿效独立电源的等效方法进行电源 互换等效 需要注意的是 控制量所在的支路不要变掉发 互换等效 需要注意的是 控制量所在的支路不要变掉发 若要变掉的话 注意控制量的改变 不要丢失了控制量 若要变掉的话 注意控制量的改变 不要丢失了控制量 2 112 11 图示电路中图示电路中12431 2 RRRRR CCVS的电压的电压11 4iRuc 利 利 用电源的等效变换求电压用电源的等效变换求电压10 u 解 原电路可等效变换为题解解 原电路可等效变换为题解 2 112 11 图所示电路 图中图所示电路 图中 111243 2 2 RRRRRRR 对回路列对回路列 KVLKVL 方程 有方程 有 s c uR R u RiiR 2 111 即即 s uR R iR iR 1 1 11 11 2 4 2 1 1 4R u i s 所以电压所以电压 ss s ss uu u uiRuu75 0 4 3 4 1110 2 122 12 试求图试求图 a a 和和 b b 的输入电阻的输入电阻ab R 解解 a a 在 在 a a 图的图的 a a b b 端子间加电压源端子间加电压源u 并设电流 并设电流 I如题解如题解 2 122 12 图图 a a 所示 显然有所示 显然有 iRRRiRiRiRiRuiRu 121112112 故得故得 a a b b 端的输入电阻端的输入电阻 121 RRR i u Rab 解解 b b 在 在 b b 图的图的 a a b b 端子间加电压源端子间加电压源u 如题解图 如题解图 b b 所示 由所示 由 KVLKVL 和和 KCLKCL 可得电压可得电压 1 21112