高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总

1 高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总 编者 邬小军编者 邬小军 知识汇编知识汇编 参数方程 参数方程 直线参数方程 为直线上的定点 为直线上任一 0 0 cos sin xxt t yyt 为参数 00 xy t 点到定点的数量 x y 00 xy 圆锥曲线参数方程 圆的参数方程 a b 为圆心 r 为半径 cos sin xar ybr 为参数 椭圆的参数方程是 22 22 1 xy ab cos sin xa yb 为参数 双曲线的参数方程是 22 22 1 xy ab sec tan xa yb 为参数 抛物线的参数方程是 2 2ypx 2 2 2 xpt t ypt 为参数 极坐标与直角坐标互化公式 极坐标与直角坐标互化公式 若以直角坐标系的原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 点 P 的极坐标为 直 角坐标为 则 x ycosx siny 222 xy tan y x 题型题型 1 1 参数方程和极坐标基本概念参数方程和极坐标基本概念 1 点的直角坐标是 则点的极坐标为 C M 1 3 M A B C D 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 kkZ 2 圆的圆心坐标是 A 5cos5 3sin A B C D 4 5 3 5 3 5 3 5 5 3 3 已知 P 为半圆 C 为参数 0 上的点 点 A 的坐标为 1 0 O 为坐标原点 点 M 在射线 OP 上 线段 OM 与 C 的弧的长度均为3 1 以 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的极坐标 2 求直线 AM 的参数方程 解 1 由已知 M 点的极角为3 且 M 点的极径等于3 故点 M 的极坐标为 3 3 2 M 点的直角坐标为 3 66 A 0 1 故直线 AM 的参数方程为 2 1 1 6 3 6 xt yt t 为参数 4 已知曲线 C 的参数方程为 为参数 sin51 cos52 y x 以直角坐标系原点为极点 Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线 c 的极坐标方程 2 若直线 的极坐标方程为 sin cos 1 求直线 被曲线 c 截得的弦长 l l 解 1 曲线 c 的参数方程为 为参数 sin51 cos52 y x 曲线 c 的普通方程为 x 2 2 y 1 2 5 将 代入并化简得 4cos 2sin sin cos y x 即曲线 c 的极坐标方程为 4cos 2sin 2 的直角坐标方程为 x y 1 0 l 圆心 c 到直线 的距离为 d 弦长为 2 2 l2 2 225 3 5 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位 以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极 轴 已知曲线 C1的极坐标方程为 2sin 曲线 C2 的极坐标方程为 2 4 sin a a 0 射线 与曲线 C1 分 4 4 2 别交异于极点 O 的四点 A B C D 1 若曲线 C1 关于曲线 C2 对称 求 a 的值 并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程 2 求 OA OC OB OD 的值 解 1 1 C2 1 1 22 yx 2 Cay 因为曲线关于曲线对称 1 C 2 C1 a 2 C1 y 2 4 sin 22 OA cos22 2 sin 22 OB sin22 OC 4 cos 22 4 3 sin 22 OD 3 24 ODOBOCOA 题型题型 2 2 直线参数方程几何意义的应用直线参数方程几何意义的应用 1 已知直线与直线相交于点 又点 则 1 1 3 24 xt lt yt 为参数 2 2 45lxy B 1 2 AAB 5 2 2 直线被圆所截得的弦长为 C 2 1 xt t yt 为参数 22 3 1 25xy A B C D 98 1 40 4 82934 3 3 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 直线 与曲线 xOy l 1 2 2 3 2 2 xt yt tl 交于 两点 C 22 2 1yx AB 1 求的长 AB 2 在以为极点 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中 设点的极坐标为 OxP 3 2 2 4 求点到线段中点的距离 PABM 解 1 直线 l 的参数方程为 t 为参数 1 2 2 3 2 2 xt yt 代入曲线 C 的方程得 2 4100tt 设点 A B 对应的参数分别为 则 12 tt 12 4tt 1 2 10t t 所以 12 2 14ABtt 2 由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为 2 2 所以点 P 在直线 l 上 中点 M 对应参数为 12 2 2 tt 由参数 t 的几何意义 所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 2PM 4 已知直线 经过点 倾斜角 l 1 1 P 6 1 写出直线 的参数方程 l 2 设 与圆相交与两点 求点到两点的距离之积 l4 22 yx A BP A B 解 1 直线的参数方程为 即 1cos 6 1sin 6 xt yt 3 1 2 1 1 2 xt yt 4 2 把直线代入得 3 1 2 1 1 2 xt yt 4 22 yx222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 则点到两点的距离之积为 1 2 2t t P A B2 5 设经过点的直线 交曲线 C 为参数 于 A B 两点 1 0 P l 2cos 3sin x y 1 写出曲线 C 的普通方程 2 当直线 的倾斜角时 求与的值 l60 PAPB PAPB 解 1 C 22 1 43 xy 2 设 t 为参数 l 1 1 2 3 2 xt yt 联立得 2 54120tt 2 12121 2 16 4 5 PAPBttttt t 1 2 12 5 PAPBt t 6 以直角坐标系的原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知点的直角坐 OxP 标为 点的极坐标为 若直线 过点 且倾斜角为 圆以为圆心 为 1 2 M 3 2 lP6 CM3 半径 1 求直线 的参数方程和圆的极坐标方程 lC 2 设直线 与圆相交于两点 求 lC A B PAPB 解 1 直线 的参数方程为 答案不唯一 可酌情给分 l 3 1 2 1 2 2 xt yt 为参数 t 圆的极坐标方程为 sin6 2 把代入 得 3 1 2 1 2 2 xt yt 22 3 9xy 2 31 70tt 设点对应的参数分别为 则 1 2 7t t A B 12 t t 12 PAtPBt 7 PAPB 7 以平面直角坐标系的坐标原点为极点 以轴的非负半轴为极轴 以平面直角坐标系 Ox 的长度为长度单位建立极坐标系 已知直线 的参数方程为 为参数 曲线的 l 23 12 xt yt tC 极坐标方程为 2 sin4cos 1 求曲线的直角坐标方程 2 设直线 与曲线相交于两点 求 ClCAB AB 5 解 1 由 既 曲线的直角坐标方程为 cos4sin2 cos4sin2 2 C xy4 2 2 的参数方程为代入 整理的 所以 l 2 4yx 0784 2 tt12 2tt 1 2 7 4 t t 所以 14374134 132 3 21 2 2121 22 t tttttAB 题型题型 3 3 两类最值问题两类最值问题 1 已知曲线 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线 C 2 2 1 9 x y x 的极坐标方程为 l sin 2 4 1 写出曲线的参数方程 直线 的直角坐标方程 Cl 2 设是曲线上任一点 求到直线 的距离的最大值 PCPl 解 1 曲线的参数方程为 为参数 C 3cos sin x y 直线 的直角坐标方程为 l 20 xy 2 设 3cos sin P 到直线 的距离 其中为锐角 且 Pl 10cos 2 3cossin2 22 d 1 tan 3 当时 到直线 的距离的最大值 cos 1 Pl max 52d 2 已知曲线的极坐标方程为 曲线 为参数 C 2 sincos10 1 3cos 2sin x C y 1 求曲线的普通方程 1 C 2 若点在曲线上运动 试求出到曲线的距离的最小值 M 1 C MC 解 1 曲线的普通方程是 1 C 22 1 94 xy 2 曲线的普通方程是 C 2100 xy 设点 由点到直线的距离公式得 3cos 2sin M 其中 3cos4sin101 5cos 10 55 d 34 cos sin 55 时 此时 0 min 5d 9 8 5 5 M 6 3 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程是 t 为参数 以原点 O 为极点 2 2 2 2 2 xt yt 以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知圆 C 的极坐标方程为 4 2cos 4 1 将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 2 若直线 l 与圆 C 交于 A B 两点 点 P 的坐标为 试求的值 2 0 11 PAPB 解 1 由 展开化为 4 2cos 4 2 2 4 2 cossin 4 cossin 2 将 cos sin x y 代入 得 22 440 xyxy 所以 圆 C 的直角坐标方程是 22 440 xyxy 2 把直线 的参数方程 t 为参数 代入圆的方程并整理 l 2 2 2 2 2 xt yt 可得 2 2 240tt 设 A B 两点对应的参数分别为 12 t t 则 1212 2 2 40ttt t 所以 2 12121 2 42 6ttttt t 12 1212 11112 66 42 tt PAPBttt t 4 已知曲线的参数方程是 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极 1 C 3siny 2cosx 为参数 x 轴建立坐标系 曲线的坐标系方程是 正方形的顶点都在上 2 C2 ABCD 2 C 且依逆时针次序排列 点的极坐标为