初二四边形难题综合

25 已知ABCA 以AC为边在ABCA外作等腰ACDA 其中ACAD 1 如图 1 若2DACABC ACBC 四边形ABCD是平行四边形 则 ABC 2 如图 2 若30ABC ACDA是等边三角形 3AB 4BC 求BD的长 3 如图 3 若ACD 为锐角 作AHBC 于H 当 222 4BDAHBC 时 2DACABC 是否成立 若不成立 请说明你的理由 若成立 证明你的结论 A CB A CB A B C D DD H 2 平面内有一等腰直角三角板 ACB 90 和一直线 MN 过点 C 作 CE MN 于点 E 过点 B 作 BF MN 于点 F 当点 E 与点 A 重合时 如图 1 易证 AF BF 2CE 1 当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时 上述结论是否仍然成立 若成 立 请给予 证明 若不成立 也请说明理由 2 当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 3 的位置时 线段 AF BF CE 之间又有怎样 的数量关系 请直接写出你的猜想 不需证明 24 已知 在 ABC 中 BC 2AC DBC ACB BD BC CD 交线段 AB 于点 E 1 如图 l 当 ACB 90 时 直接写出线段 DE CE 之间的数量关系 2 如图 2 当 ACB 120 时 求证 DE 3CE 3 如图 3 在 2 的条件下 点 F 是 BC 边的中点 连接 DF DF 与 AB 交于 G DKG 和 DBG 关于直线 DG 对称 点 B 的对称点是点 K 延长 DK 交 AB 于点 H 若 BH 10 求 CE 的长 图 1 E D A CB 图 2 E D A CB F G K H 图 3 E D A CB N C A B F E 图 1 M N A C B E F 图 2 M N A C B E F 图 3 M 1 小明在学习轴对称的时候 老师留了这样一道思考题 如图 已知在直线l的同侧有 A B两点 请你在直线l上确定一点P 使得PA PB的值最小 小明通过独立思考 很快 得出了解决这个问题的正确方法 他的作法是这样的 作点A关于直线l的对称点A 连结A B 交直线l于点P 则点P为所求 请你参考小明的作法解决下列问题 1 如图 1 在 ABC中 点D E分别是AB AC边的 中点 BC 6 BC边上的高为 4 请你在BC边上确 定一点P 使得 PDE的周长最小 在图 1 中作出点P 三角板 刻度尺作图 保留作 图 痕迹 不写作法 请直接写出 PDE周长的最小值 2 如图 2 在矩形ABCD中 AB 4 BC 6 G为边AD的中点 若E F为边AB上的两个动点 点E在点F左侧 且EF 1 当四边 形CGEF的周长最小时 请你在图 2 中确定点E F的位置 三角板 刻度尺作图 保留作图痕迹 不写作法 并直接写出四边形CGEF周长的最小值 2 如图 正方形ABCD的面积为 3 点E是DC边上一点 DE 1 将线段AE绕点A旋转 使点E落在直线BC上 落点记为F 则FC的长为 l P A B A 图 图 E D A B C A B D C G 图 1 图 2 2 如图 1 已知 已知 等边 ABC 点 D 是边 BC 上一点 点 D 不与点 B 点 C 重合 求证 BD DC AD 下面的证法供你参考 把绕点 A 瞬时间针旋转得到 连接 ED ACD 60ABE 则有 DC EBABEACD AD AE 60 DAE 是等边三角形ADE AD DE 在中 BD EB DEDBE 即 BD DC AD 实践探索 1 请你仿照上面的思路 探索解决下面的问题 如图 2 点 D 是等腰直角三角形 ABC 边上的点 点 D 不与 B C 重合 求证 BD DC AD2 2 如果点 D 运动到等腰直角三角形 ABC 外或内时 BD DC 和 AD 之间又存在怎样 的数量关系 直接写出结论 C A B D 图图 2 创新应用 3 已知 如图 3 等腰 ABC 中 AB AC 且 BAC 为钝角 D 是等腰 ABC 外一点 且 BDC BAC 180 BD DC 与 AD 之间存在怎样的数量关系 写出你的猜想 并证明 24 已知 在如图 1 所示的锐角三角形ABC中 CH AB于点H 点B关于直线CH的 对称点为D AC边上一点E满足 EDA A 直线DE交直线CH于点F 1 求证 BF AC 2 若AC边的中点为M 求证 2DFEM 3 当AB BC时 如图 2 在未添加辅助线和其它字母的条件下 找出图 2 中所有 与BE相等的线段 并证明你的结论 C D A B 图图 3 6 问题 如图 1 在 Rt 中 点是射线CB上任意一ABC90C 30ABC D 点 ADE是等边三角形 且点D在的内部 连接BE 探究线段BE与DE之ACB 间的数量关系 请你完成下列探究过程 先将图形特殊化 得出猜想 再对一般情况进行分析并加以证明 1 当点D与点C重合时 如图 2 请你补全图形 由的度数为 BAC 点E落在 容易得出BE与DE之间的数量关系为 2 当点D在如图 3 的位置时 请你画出图形 研究线段BE与DE之间的数量关 系是否与 1 中的结论相同 写出你的猜想并加以证明 DBC A A BC D 图 3 图 2 22 阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在正方形ABCD中 点E F分别为DC BC边上的点 EAF 45 连结EF 求证 DE BF EF 小伟是这样思考的 要想解决这个问题 首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线 段上 他先后尝试了平移 翻折 旋转的方法 发现通过旋转可以解决此问题 他的方法 是将 ADE绕点A顺时针旋转 90 得到 ABG 如图 2 此时GF即是DE BF 请回答 在图 2 中 GAF的度数是 参考小伟得到的结论和思考问题的方法 解决下列问题 1 如图 3 在直角梯形ABCD中 AD BC AD BC D 90 AD CD 10 E是CD上一点 若 BAE 45 DE 4 则BE 2 如图 4 在平面直角坐标系xOy中 点B是x轴上一 动点 且点A 2 连结AB和AO 并以AB为边向上作3 正方形ABCD 若C x y 试用含x的代数式表示y 则y C D O A B 图图4 x y F E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 C D A OB x y 图图 4 F E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 F E DA BCB E DA GF E DA BCCF E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 C D A OB x y 图图 4 C D A OB x y C D A OB x y 图图 4 F E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 C D A OB x y 图图 4 F E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 F E DA BCB E DA GF E DA BCCF E DA BCB E DA GF E DA BCC 图图 1图图 2图图 3 C D A OB x y 图图 4 C D A OB x y C D A OB x y 图图 4 22 阅读下面材料 如图 1 已知线段AB CD相交于点O 且 AB CD 请你利用所学知识把线段AB CD转移到同一 三角形中 小强同学利用平移知识解决了此问题 具体做法 如图 2 延长OD至点E 使DE CO 延长OA至点F 使AF OB 联结EF 则 OEF为所求的三角形 请你仔细体会小强的做法 探究并解答下列问题 如图 3 长为 2 的三条线段AA BB CC 交于一点O 并且 B OA C OB A OC 60 1 请你把三条线段 AA BB CC 转移到同一三角形 中 简要叙述画法 2 联结 AB BC CA 如图 4 设 AB O BC O CA O 的面积分别为S1 S2 S3 则S1 S2 S3 3 填 或 B 时 1 中 C D与 A B的大小关系是否还成立 证明你的结论 22 如图 将一张直角三角形纸片 ABC 折叠 使点A与点C重合 这时DE为折痕 CBE为等腰三角形 再继续将纸 片沿 CBE的对称轴EF折叠 这时得到了两个 完全重合的矩形 其中一个是原直角三角形的内接矩形 另一个是拼合成的无缝 隙 无重叠的矩形 我们称这样两个矩形为 叠加矩形 请完成下列问题 1 如图 正方形网格中的 ABC能折叠成 叠加矩形 吗 如果能 请在图 中画出 折痕 D DC C B BA A 2 如图 在正方形网格中 以给定的 BC 为一边 画出一个斜 ABC 使其顶点 A 在 格点上 且 ABC折成的 叠加矩形 为正方形 3 如果一个三角形所折成的 叠加矩形 为正方形 那么他必须满足的条件是 24 已知 ABC 90 点P为射线BC上任意一点 点P与点B不重合 分别以 AB AP为边在 ABC的内部作等边 ABE和 APQ 连结QE并延长交BP于点F 1 如图 1 若AB 32 点A E P恰好在一条直线上时 求此时EF的长 直接 写出结果 2 如图 2 当点P为射线BC上任意一点时 猜想EF与图中的哪条线段相等 不能 添加辅助线产生新的线段 并加以证明 3 若AB 32 设BP x 以QF为边的等边三角形的面积y 求y关于x的函数 关系式 23 阅读下面材料 问题 如图 在 ABC中 D是BC边上的一点 若 BAD C 2 DAC 45 DC 2 求BD的长 小明同学的解题思路是 利用轴对称 把 ADC进行翻折 再经过推理 计算使问题 得到解决 1 请你回答 图中BD的长为 2 参考小明的思路 探究并解答问题 如图 在 ABC中 D是BC边上的一点 若 BAD C 2 D