勾股定理竞赛试卷(含解答)

八年级数学八年级数学 勾股定理勾股定理 竞赛试卷竞赛试卷 时间 120 分钟 总分 120 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 1 ABC 周长是 24 M 是 AB 的中点 MC MA 5 则 ABC 的面积是 A 12 B 16 C 24 D 30 2 如图 在正方形 ABCD 中 N 是 CD 的中点 M 是 AD 上异于 D 的点 且 NMB MBC 则 AM AB A B C D 3 1 3 3 2 1 6 3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3 如图 已知 O 是矩形 ABCD 内一点 且 OA 1 OB 3 OC 4 那么 OD 的长为 A 2 B 2 C 2 D 323 4 如图 P 为正方形 ABCD 内一点 PA PB 10 并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10 那么 正方形 ABCD 的面积是 A 200 B 225 C 256 D 150 102 5 如图 矩形 ABCD 中 AB 20 BC 10 若在 AB AC 上各取一点 N M 使得 BM MN 的值最小 这个最小 值为 A 12 B 10 C 16 D 20 2 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 第 5 题图 6 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 边上有 10 个不同的点 记 1021 PPP i 1 2 10 那么 CPBPAPM iiii 2 1021 MMM 第 6 题图 7 如图 设 MPN 20 A 为 OM 上一点 OA 4 D 为 ON 上一点 OD 8 C 为 AM 上任一点 B 是33 OD 上任意一点 那么折线 ABCD 的长最小为 第 7 题图 第 8 题图 8 如图 四边形 ABCD 是直角梯形 且 AB BC 2AB PA 1 PB 2 PC 3 那么梯形 ABCD 的面积 9 若 x y 12 那么的最小值 94 22 yx 10 已知一个直角三角形的边长都是整数 且周长的数值等于面积的数值 那么这个三角形的三边长分 别为 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 分 11 本题 10 分 如图 ABC 三边长分别是 BC 17 CA 18 AB 19 过 ABC 内的点 P 向 ABC 三边分别 作垂线 PD PE PF 且 BD CE AF 27 求 BD BF 的长度 12 本题 15 分 如图 在 ABC 中 AB 2 AC A BCD 45 求 BC 的长及 BDC 的面积 3 13 本题 15 分 设 a b c d 都是正数 求证 addbacbcddca22 22222222 14 本题 15 分 如图 四边形 ABCD 中 ABC 135 BCD 120 AB BC 5 CD 6 求63 AD 15 本题 15 分 如图 正方形 ABCD 内一点 E E 到 A B C 三点的距离之和的最小值为 求62 此正方形的边长 答案答案 一 选择题一 选择题 1 C 2 A 3 B 4 C 5 C 解答 解答 1 MA MB MC 5 ACB 90 知周长是 24 则 AC BC 14 AC BC 10 222 2AC BC AC BC AC BC 14 10 4 24 22222 24 2 1 BCACS ABC 2 如图 延长 MN 交 BC 的延长线于 T 设 MB 的中点为 O 连 TO 则 BAM TOB AM MB OB BT MB 2AM BT 1 2 令 DN 1 CT MD k 则 AM 2 k 所以 BM 222 2 4kAMAB BT 2 k 代入 1 得 4 2 k 2 2 k 2 k 所以 k 2 3 4 所以 AM AB 2 3 2 3 1 3 如图 过 O 作 EF AD 于 E 交 BC 于 F 过 O 作 GH DC 于 G 交 AB 于 H 设 CF x FB y AH s HB x 所以 OG x DG s 所以 OF OB BF OC CF 即 4 x 3 y 222222222 所以 x y 16 9 7 1 22 同理有 OH 1 s 3 t 22222 所以 t s 3 1 8 2 2222 又因为 OH HB OB 即 y t 9 22222 1 2 得 x s y t 1 22222 2 2 2 2 所以 OD x s y t 1 9 1 8 22222 所以 OD 22 4 如图 过 P 作 EF AB 于 E 交 CD 于 F 则 PF CD 所以 PF PA PB 10 E 为 AB 中点 设 PE x 则 AB AD 10 x 所以 AE AB 10 x 2 1 2 1 在 Rt PAE 中 PA PE AE 222 所以 10 x 10 x 所以 x 6 22 2 1 2 所以正方形 ABCD 面积 AB 10 6 256 22 5 如图 作 B 关于 AC 的对称点 B 连 A B 则 N 点关于 AC 的对称点 N 在 A B 上 这时 B 到 M 到 N 的最小值等于 B M N 的最小值 等 于 B 到 A B 的距离 BH 连 B 与 A B 和 DC 的交点 P 则 20 10 100 ABP S 2 1 由对称知识 PAC BAC PCA 所以 PA PC 令 PA x 则 PC x PD 20 x 在 Rt ADP 中 PA PD AD 222 所以 x 20 x 10 所以 x 12 5 222 因为 PA BH ABP S 2 1 所以 BH 16 5 12 21002 PA S ABP 二 填空题二 填空题 1 40 2 12 3 2 2 3 4 15 4 13 5 6 8 10 或 5 12 13 解答 解答 1 如图 作 AD BC 于 D 在 Rt ABD 和 Rt AP D 中 AB AD BD i 222 222 DPADAP ii 所以 22222 DPADBDADAPAB ii BPCP DPBDDPBD DPBD ii ii i 22 所以 所以4 22 ABBPCPAP iii 4 i M 所以40 1021 MMM 1 如图 作 A 关于 ON 的对称点 A D 关于 OM 的对称点 D 连结 A B CD 则 A B AB C D CD 从而 AB BC CD A B BC CD A D 因为 A ON MON MOD 20 所以 A OD 60 又因为 OA OA 4 OD OD 8 3 3 所以 OD 2OA 即 OD A 为直角三角形 且 OA D 90 所以 A D 12 34 38 222 2 OAOD 所以 折线 ABCD 的长的最小值是 12 3 如图 作 PM AB 于 M PN BC 于 N 设 AB m PM x PN y 则 3 9 2 1 1 4 22 22 22 yxm ymx yx 由 2 3 分别得 3 12 222 ymymx 4 92 222 xmxmy 将 1 代入 4 得 2 3 032 2 2 m m ymym 将 1 代入 5 得 2 5 052 2 2 m m xmxm 把 x y 的表达式分别代入 1 得01710 24 mm 因为 m 0 所以 m 5 2 22 2 所以 AB 225 2 1 225 225 ADBCm 所以2 2 3 4 15 2 1 ABBCADSABCD 4 如图 AB 12 AC 2 BD 3 且 AB AC AB BD P 在 AB 上且 PA x PB y 连 PC PD 在 Rt CAP 和 Rt DBP 中 9 4 222 222 yPBBDPD xPAACPC 如图 P 点在位置时 PC PD 的值最小 为线段 CD 的长度 而 0 P CD 1312 32 22 所以的最小值为 13 94 22 yx 5 设三边长为 a b c 其中 c 是斜边 则有 3 2 1 222 ab cba cba 2 代入 1 得 即 222 2 ba ab ba 0 844 4 baab ab 因为 ab 0 所以 ab 4a 4b 8 0 所以 a b 为正整数 4 8 4 b a 所以 b 4 1 2 4 8 所以 b 5 6 8 12 a 12 8 6 5 c 13 10 10 13 所以 三边长为 6 8 10 或 5 12 13 三 解答题 1 如图 连结 PA PB PC 设 BD x CE y AF z 则 DC 17 x EA 18 y FB 19 z 在 Rt PBD 和 Rt PFB 中 有 2222 19 PFzPDx 同理有 2222 2222 18 17 PEyPFz PDxPEy 将以上三式相加 得 222222 19 18 17 zyxzyx 即 17x 18y 19z 487 又因为 x y z 27 所以 x z 1 所以 BD BF x 19 z z 1 19 z 18 2 如图 作 CE AB 于 E 则 CE AE 2 6 2 2 AC 所以 BE AB AE 2 2 64 2 6 又 222 BECEBC 所以 BC 16627 22 BECE 再过 D 作 DF BC 交 CB 延长线于 F 并设 DF CF x 则 BF x BC x 1 6 又 Rt DFB Rt CEB 所以 DF BF CE BE 即 x x 1 6 2 64 2 6 所以 x 2 623 所以 4 69 2 623 16 2 1 2 1 DFBCS BCD 2 如图 构造一个边长为 a b c d 的矩形 ABCD 在 Rt ABE 中 BE 22 ABAE 所以 BE cddcadca2 22222 在 Rt BCF 中 BF abdbadbaCFBC2 2222222 在 R t DEF 中 EF 2222 cbDFDE 在 BEF 中 BE EF BF 即abdbacbcddca22 22222222 3 如图 过 A 作 AE BC 交 CD 于 E 则 1 45 2 60 过 B 作 BF AE 于 F 作 CG AE 于 G 则 Rt ABF 为等腰直角三角形 BCFG 为矩形 又因为 AB BC 5 63 所以 BF AF AB 所以 CG BF 2 2 33 所以 CE CG 2 EG CG 1 3 2 3 1 所以 AE AF FG GE AF BC GE 6 DE CD EC 6 2 4 过 D 作 DM AE 延长线于 M MED 180 AED 180 BCD 180 120 60 所以 EM DE 2 DM DE 2 2 1 2 3 3 在 Rt AMD 中 AD 192