高一数学复合函数讲解

1 1 复合函数的概念 复合函数的概念 如果 y 是 a 的函数 a 又是 x 的函数 即 y f a a g x 那么 y 关于 x 的函数 y f g x 叫做函数 y f x 和 a g x 的复合函数 其中 a 是中间变量 自变量为 x 函数值 y 例如 函数是由复合而成立 函数是由复合而成立 a 是中间变量 2 2 复合函数单调性 复合函数单调性 由引例 对任意 a 都有意义 a 0 且 a 1 且 对任意 当 a 1 时 单调递增 当 0 a 1 时 单调递减 当 a 1 时 y f u 是上的递减函数 是单调递减函数 类似地 当 0 a 1 时 是单调递增函数 一般地 定理 设函数 u g x 在区间 M 上有意义 函数 y f u 在区间 N 上有意 义 且当 X M 时 u N 有以下四种情况 1 若 u g x 在 M 上是增函数 y f u 在 N 上是增函数 则 y f g x 在 M 上也是增函数 2 若 u g x 在 M 上是增函数 y f u 在 N 上是减函数 则 y f g x 在 M 上也是减函数 3 若 u g x 在 M 上是减函数 y f u 在 N 上是增函数 则 y f g x 在 M 上也是减函数 4 若 u g x 在 M 上是减函数 y f u 在 N 上是减函数 则 y f g x 在 M 上也是增函数 注意 内层函数 u g x 的值域是外层函数 y f u 的定义域的子集 例 1 讨论函数的单调性 1 2 又是减函数 函数的增区间是 2 减区间是 2 x 1 3 令 x 1 1 上 u 是递增的 x 1 3 上 u 是递减的 是增函数 函数在 1 1 上单调递增 在 1 3 上单调递减 注意 要求定义域 练习 练习 求下列函数的单调区间 1 1 减区间 增区间 2 增区间 3 减区间 1 3 减区间 增区间 4 减区间 增函数 2 已知求 g x 的单调区间 提示 设 则 g x f u 利用复合函数单调性解决 g x 的单调递增区间分别为 1 0 1 单调递减区间分别为 1 0 1 例 2 y f x 且 lglgy lg3x lg 3 x 1 y f x 的表达式及定义域 2 求 y f x 的值域 3 讨论 y f x 的单调性 并求其在单调区间上相应的反函数 答案 1 x 0 3 2 0 3 y f x 在上单调递增函数 在上是单调递减函数 当 x 时 当 x 时 例 3 确定函数的单调区间 提示 先求定义域 0 0 再由奇函数 先考虑 0 上单调 性 并分情况讨论 函数的递增区间分别为 1 0 函数的递减区间分别为 1 0 0 1 1 求下列函数的单调区间 1 2 3 2 求函数的递减区间 3 求函数的递增区间 4 讨论下列函数的单调性 1 2 答案 1 1 递减区间 2 递增区间 0 3 递减区间 0 递增 区间 2 2 2 3 2 4 1 在上是增函数 在上是减函数 2 a 1 时 在 1 上是减函数 在 3 上是增函数 用待定系数法求函数解析式 一 填空题 1 已知二次函数的图象与 x 轴只有一个交点 则 m mxxy 3 2 2 抛物线过点 1 0 与 x 轴两交点间距离 3 则 b c cbxxy 2 3 抛物线与 x 轴只有一个交点 则 b 4 2 bxxy 4 抛物线的顶点是 C 2 它与 x 轴交于 A B 两点 它们的横坐标是方程3 的两个根 则 AB S ABC 034 2 xx 5 如图 二次函数的图象交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点5 2 2 axaxy C 当线段 AB 最短时 线段 OC 的长是 6 若抛物线的顶点在 x 轴上 则 c 的值是 cxxy 2 1 2 7 抛物线与 x 轴有 个交点 1 2 mxxy 二 选择题 1 抛物线与 y 轴的交点坐标是 532 2 xy A 0 5 B 0 13 C 0 4 D 3 5 2 抛物线的顶点坐标为 xxy 2 2 1 A B C D 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 若抛物线的顶点在 y 轴上 则 m 的值为 32 2 mxmxy A 3 B 3 C 2 D 2 4 若抛物线的顶点在 x 轴上 则 c 的值为 cxxy 2 1 2 A B C D 4 1 4 1 16 1 16 1 5 函数图象可能为 xxy 32 6 若 2 5 4 5 是抛物线上的两点 那么它的对称轴为直线 cbxaxy 2 A B C D a b x 1 x2 x3 x 7 抛物线与 x 轴的交点个数是 1 2 mxxy A 0 B 1 C 2 D 无数个 三 求符合下列条件的二次函数式图象 1 过点 0 1 1 1 1 1 2 对称轴是 x 2 经过 1 4 和 5 0 两点 3 抛物线与 x 轴的一个交点 6 0 顶点是 4 8 4 当 x 3 时 y 有最大值为 1 且抛物线过点 4 3 5 抛物线以点 1 8 为顶点 且与 y 轴交点纵坐标为 6 6 顶点在 x 轴上 对称轴