初二动点问题解析与专题训练(详尽)

初二动点问题解析初二动点问题解析 1 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 24cm AB 8cm BC 26cm 动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm s 的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm s 的速度运动 P Q 分别 从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另外一点也随之停止运动 设运动时间为 ts 1 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为平行四边形 2 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为等腰梯形 3 当 t 为何值时 四边形 PQCD 为直角梯形 分析 1 四边形 PQCD 为平行四边形时 PD CQ 2 四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC PD 2CE 3 四边形 PQCD 为直角梯形时 QC PD EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示 即此题只要解三个方程即可 解答 解 1 四边形 PQCD 平行为四边形 PD CQ 24 t 3t 解得 t 6 即当 t 6 时 四边形 PQCD 平行为四边形 2 过 D 作 DE BC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE AD 24cm EC BC BE 2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形 QC PD 2CE 即 3t 24 t 4 解得 t 7 s 即当 t 7 s 时 四边形 PQCD 为等腰梯形 3 由题意知 QC PD EC 时 四边形 PQCD 为直角梯形即 3t 24 t 2 解得 t 6 5 s 即当 t 6 5 s 时 四边形 PQCD 为直角梯形 点评 此题主要考查了平行四边形 等腰梯 形 直角梯形的判定 难易程度适中 3 如图 ABC 中 点 O 为 AC 边上的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的外角平 分线 CF 于点 F 交 ACB 内角平分线 CE 于 E 1 试说明 EO FO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形并证明你的结论 3 若 AC 边上存在点 O 使四边形 AECF 是正方形 猜想 ABC 的形状并证明你的结论 分析 1 根据 CE 平分 ACB MN BC 找到相等的角 即 OEC ECB 再根据等边对等角得 OE OC 同 理 OC OF 可得 EO FO 2 利用矩形的判定解答 即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 3 利用已知条件及正方形的性质解答 解答 解 1 CE 平分 ACB ACE BCE MN BC OEC ECB OEC OCE OE OC 同理 OC OF OE OF 2 当点 O 运动到 AC 中点处时 四边形 AECF 是矩形 如图 AO CO EO FO 四边形 AECF 为平行四边形 CE 平分 ACB ACE ACB 同理 ACF ACG ECF ACE ACF ACB ACG 180 90 四边形 AECF 是矩形 3 ABC 是直角三角形 四边形 AECF 是正方形 AC EN 故 AOM 90 MN BC BCA AOM BCA 90 ABC 是直角三角形 点评 本题主要考查利用平行线的性质 等角对等边 证明出结论 1 再利用结论 1 和矩形的判定证 明结论 2 再对 3 进行判断 解答时不仅要注意用到前一问题的结论 更要注意前一问题为下 一问题提供思路 有相似的思考方法 是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 1 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 已知 AD AB 3 BC 4 动点 P 从 B 点出发 沿线段 BC 向点 C 作匀速运动 动点 Q 从点 D 出发 沿线段 DA 向点 A 作匀速运动 过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M 交 BC 于点 N P Q 两点同时出发 速度都为每秒 1 个单位长度 当 Q 点运动到 A 点 P Q 两点同时停止运动 设点 Q 运动的时间为 t 秒 1 求 NC MC 的长 用 t 的代数式表示 2 当 t 为何值时 四边形 PCDQ 构成平行四边形 3 是否存在某一时刻 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 请说明理由 4 探究 t 为何值时 PMC 为等腰三角形 分析 1 依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形 NC BC BN BC AQ BC AD DQ BC AD 已知 DQ 就是 t 即解 AB QN CMN CAB CM CA CN CB 2 CB CN 已知 根据勾股定理可求 CA 5 即可表 示 CM 四边形 PCDQ 构成平行四边形就是 PC DQ 列方程 4 t t 即解 3 可先根据 QN 平分 ABC 的周长 得出 MN NC AM BN AB 据此来求出 t 的值 然后根据得出的 t 的值 求出 MNC 的面积 即可判断出 MNC 的面积是否为 ABC 面积的一半 由此可得出是否存在符 合条件的 t 值 4 由于等腰三角形的两腰不确定 因此分三种情况进行讨论 当 MP MC 时 那么 PC 2NC 据此可求出 t 的值 当 CM CP 时 可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出 t 的值 当 MP PC 时 在直角三角形 MNP 中 先用 t 表示出三边的长 然后根据勾股定理即可得出 t 的值 综上所述可得出符合条件的 t 的值 解答 解 1 AQ 3 t CN 4 3 t 1 t 在 Rt ABC 中 AC2 AB2 BC2 32 42 AC 5 在 Rt MNC 中 cos NCM CM 2 由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC QD 即 4 t t 解得 t 2 3 如果射线 QN 将 ABC 的周长平分 则有 MN NC AM BN AB 即 1 t 1 t 3 4 5 解得 t 5 分 而 MN NC 1 t S MNC 1 t 2 1 t 2 当 t 时 S MNC 1 t 2 4 3 不存在某一时刻 t 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分 4 当 MP MC 时 如图 1 则有 NP NC 即 PC 2NC 4 t 2 1 t 解得 t 当 CM CP 时 如图 2 则有 1 t 4 t 解得 t 当 PM PC 时 如图 3 则有 在 Rt MNP 中 PM2 MN2 PN2 而 MN NC 1 t PN NC PC 1 t 4 t 2t 3 1 t 2 2t 3 2 4 t 2 解得 t1 t2 1 舍去 当 t t t 时 PMC 为等腰三角形 点评 此题繁杂 难度中等 考查平行四边形性质及等腰三角形性质 考查学生分类讨论和数形结合的数学 思想方法 2 如图 在矩形 ABCD 中 BC 20cm P Q M N 分别从 A B C D 出发沿 AD BC CB DA 方向在矩形 的边上同时运动 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时 运动即停止 已知在相同时间内 若 BQ xcm x 0 则 AP 2xcm CM 3xcm DN x2cm 1 当 x 为何值时 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一部分为第三边构成一个三角形 2 当 x 为何值时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 3 以 P Q M N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 如果能 求 x 的值 如果不能 请说明理由 分析 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P N 重合且点 Q M 不重合 此时 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm 或者点 Q M 重合 且点 P N 不重合 此时 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm 所以可以根据这两种情 况来求解 x 的值 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形的话 因为由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时 AP MC BQ ND 当点 P 在点 N 的右侧时 AN MC BQ PD 所以可以根据这些条件 列出方程关系式 如果以 P Q M N 为顶点的四边形为等腰梯形 则必须使得 AP ND AD 即 2x x2 20cm BQ MC BC 即 x 3x 20cm AP ND 即 2x x2 BQ MC 即 x 3x x 0 这些条件不能同时满足 所以不能成为等腰 梯形 解答 解 1 当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时 以 PQ MN 为两边 以矩形的边 AD 或 BC 的一 部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时 由 x2 2x 20 得 x1 1 x2 1 舍去 因为 BQ CM x 3x 4 1 20 此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x 1 符合题意 当点 Q 与点 M 重合时 由 x 3x 20 得 x 5 此时 DN x2 25 20 不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 所以所求 x 的值为 1 2 由 1 知 点 Q 只能在点 M 的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时 由 20 x 3x 20 2x x2 解得 x1 0 舍去 x2 2 当 x 2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时 由 20 x 3x 2x x2 20 解得 x1 10 舍去 x2 4 当 x 4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x 2 或 x 4 时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 3 过点 Q M 分别作 AD 的垂线 垂足分别为点 E F 由于 2x x 所以点 E 一定在点 P 的左侧 若以 P Q M N 为顶点的四边形是等腰梯形 则点 F 一定在点 N 的右侧 且 PE NF 即 2x x x2 3x 解得 x1 0 舍去 x2 4 由于当 x 4 时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 所以以 P Q M N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评 本题考查到三角形 平行四边形 等腰梯形等图形的边的特点 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 14cm AD 15cm BC 21cm 点 M 从点 A 开始 沿边 AD 向点 D 运动 速度为 1cm s 点 N 从点 C 开始 沿边 CB 向点 B 运动 速度为 2cm s 点 M N 分别从 点 A C 出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 1 当 t 为何值时 四边形 MNCD 是平行四边形 2 当 t 为何值时 四边形 MNCD 是等腰梯形 分析 1 根据平行四边形的性质 对边相等 求得 t 值 2 根据等腰梯形的性质 下底减去上底等于 12 求解即可 解答 解 1 MD NC 当 MD NC 即 15 t 2t t 5 时 四边形 MNCD 是平行四边形 2 作 DE BC 垂足为 E 则 CE 21 15 6 当 CN MD 12 时 即 2t 15 t 12 t 9 时 四边形 MNCD 是等腰梯形 点评 考查了等腰梯形和平行四边形的性质 动点问题是中考的重点内容 4 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从点 D 出发 沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度 向点 B 运动 P Q 分别从点 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停止运动 设运动时间 为 t s 1 设 BPQ 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系 2 当 t 为何值时 以 B P Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 分析 1 若过点 P 作 PM BC 于 M 则四边形 PDCM 为矩形 得出 PM DC 12 由 QB 16 t 可知 s PM QB 96 6t 2 本题应分三种情况进行讨论 若 PQ BQ 在 Rt PQM 中 由 PQ2 PM2 MQ2 PQ QB 将各数据 代入 可将时间 t 求出 若 BP BQ 在 Rt PMB 中 由 PB2 BM2 PM2 BP BQ 将数据代入 可将时间 t 求出 若 PB PQ PB2 PM2 BM2 PB PQ 将数据代入 可将时间 t 求出 解答 解 1 过点 P 作 PM BC 于 M 则四边形 PDCM 为矩形 PM DC 12 QB 16 t s QB PM 16 t 12 96 6t 0 t 2 由图可知 CM PD 2t CQ t 若以 B P Q 为顶点的三角形是等腰三角形 可以分三种情况 若 PQ BQ 在 Rt PMQ 中 PQ2 t2 122 由 PQ2 BQ2 得 t2 122 16 t 2 解得 若 BP BQ 在 Rt PMB 中 PB2 16 2t 2 122 由 PB2 BQ2 得 16 2t 2 122 16 t 2 此方 程无解 BP PQ 若 PB PQ 由 PB2 PQ2 得 t2 122 16 2t 2 122 得 t2 16 不合题意 舍去 综上所述 当 或 时 以 B P Q 为顶点的三角形是等腰三角形 点评 本题主要考查梯形的性质及勾股定理 在解题 2 时 应注意分情况进行讨论 防止在解题过程中 出现漏解现象 5 直线 y 34x 6 与坐标轴分别交于 A B 两点 动点 P Q 同时从 O 点出发 同时到达 A 点 运动停 止 点 Q 沿线段 OA 运动 速度为每秒 1 个单位长度 点 P 沿路线 O B A 运动 1 直接写出 A B 两点的坐标 2 设点 Q 的运动时间为 t 秒 OPQ 的面积为 S 求出 S 与 t 之间的函数关系式 3 当 S 485 时 求出点 P 的坐标 并直接写出以点 O P Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标 分析 1 分别令 y 0 x 0 即可求出 A B 的坐标 2 因为 OA 8 OB 6 利用勾股定理可得 AB 10 进而可求出点 Q 由 O 到 A 的时间是 8 秒 点 P 的 速度是 2 从而可求出 当 P 在线段 OB 上运动 或 0 t 3 时 OQ t OP 2t S t2 当 P 在线段 BA 上运动 或 3 t 8 时 OQ t AP 6 10 2t 16 2t 作 PD OA 于点 D 由相似三角形的性质 得 PD 48 6t5 利用 S 12OQ PD 即可求出答案 3 令 S 485 求出 t 的值 进而求出 OD PD 即可求出 P 的坐标 利用平行四边形的对边平行且 相等 结合简单的计算即可写出 M 的坐标 解答 解 1 y 0 x 0 求得 A 8 0 B 0 6 2 OA 8 OB 6 AB 10 点 Q 由 O 到 A 的时间是 81 8 秒 点 P 的速度是 6 108 2 单位长度 秒 当 P 在线段 OB 上运动 或 O t 3 时 OQ t OP 2t S t2 当 P 在线段 BA 上运动 或 3 t 8 时 OQ t AP 6 10 2t 16 2t 如图 做 PD OA 于点 D 由 PDBO APAB 得 PD 48 6t5 S 12OQ PD 35t2 245t 3 当 S 485 时 485 12 3 6 点 P 在 AB 上 当 S 485 时 35t2 245t 485 t 4 PD 48 6 45 245 AD 16 2 4 8 AD 82 245 2 325 OD 8 325 85 P 85 245 M1 285 245 M2 125 245 M3 125 245 点评 本题主要考查梯形的性质及勾股定理 在解题 2 时 应注意分情况进行讨论 防止在解题过程中 出现漏解现象 动点问题专题训练动点问题专题训练 1 如图 已知中 厘米 厘米 点为的中点 ABC 10ABAC 8BC DAB 1 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 秒的速度由 B 点向 C 点运动 同时 点 Q 在线段 CA 上由 C 点 向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等 经过 1 秒 后 与是BPD CQP 否全等 请说明理由 若点 Q 的运动速度与 点 P 的运动速度不相等 当点 Q 的运动速度为多少时 能够使与BPD 全等 CQP A Q C D B P 2 若点 Q 以 中的运动速度从点 C 出发 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发 都逆时针沿 三边运动 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在的哪条边上相遇 ABC ABC 2 直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于AB 两点 动点P Q 同时从O点出发 同时到达A点 运动停 止 点Q沿线段OA运动 速度为每秒 1 个单位长度 点P沿路线O B A运动 1 直接写出AB 两点的坐标 2 设点Q的运动时间为t秒 OPQ 的面积为S 求出S与t之间的函数关系式 3 当 48 5 S 时 求出点P的坐标 并直接写出以点OPQ 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标 3 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 直 线 l y 2 x 8 分 别 x A OQ P B y 与 x 轴 y 轴 相 交 于 A B 两 点 点 P 0 k 是 y 轴 的 负 半 轴 上 的 一 个 动 点 以 P 为 圆 心 3 为 半 径 作 P 1 连结 PA 若 PA PB 试判断 P 与 x 轴的位置关系 并说明理由 2 当 k 为何值时 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形 4 如图 1 在平面直角坐标系中 点 O 是坐标原点 四边形 ABCO 是菱形 点 A 的坐标为 3 4 点 C 在 x 轴的正半轴上 直线 AC 交 y 轴于点 M AB 边交 y 轴于点 H 1 求直线 AC 的解析式 2 连接 BM 如图 2 动点 P 从点 A 出发 沿折线 ABC 方向以 2 个单位 秒的速度向终点 C 匀 速运动 设 PMB 的面积为 S S 0 点 P 的运动时间为 t 秒 求 S 与 t 之间的函数关系式 要求写 出自变量 t 的取值范围 3 在 2 的条件下 当 t 为何值时 MPB 与 BCO 互为余角 并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值 5 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动 到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返 回 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运 动 伴随着 P Q 的运动 DE 保持垂直平分 PQ 且交 PQ 于点 D 交 折线 QB BC CP 于点 E 点 P Q 同时出发 当点 Q 到达点 B 时停止运动 点 P 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 AC B P Q E D 图 16 1 当 t 2 时 AP 点 Q 到 AC 的距离是 2 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中 求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式 不必写出 t 的取值范围 3 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中 四边形 QBED 能否成 为直角梯形 若能 求 t 的值 若不能 请说明理由 4 当 DE 经过点 C 时 请直接写出 t 的值 6 如图 在中 RtABC 9060ACBB 点是2BC O 的中点 过点的直线 从与重合的位置开始 ACOlAC绕点作逆时针旋O 转 交边于点 过点作交直线 于点 ABDCCEAB lE设直线 的旋转角l 为 1 当 度时 四边形是等腰梯形 EDBC此时的长为 AD 当 度时 四边形是直角梯形 EDBC此时的长为 AD 2 当时 判断四边形是否为菱形 并说90 EDBC明理由 7 如图 在梯形中 动点从点出发沿线ABCD354 245ADBCADDCABB MB 段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位BCCNCCD 长度的速度向终点运动 设运动的时间为 秒 Dt 1 求的长 BC 2 当时 求 的值 MNAB t 3 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC 8 如图 1 在等腰梯形中 是的中点 过点作交于点 ABCDADBC EABEEFBC CDF 46ABBC 60B 1 求点到的距离 EBC 2 点为线段上的一个动点 过作交于点 过作交折线PEFPPMEF BCMMMNAB O EC B D A l O C BA 备用图 AD CB M N 于点 连结 设 ADCNPNEPx 当点在线段上时 如图 2 的形状是否发生改变 若不变 求出的周长 若NADPMN PMN 改变 请说明理由 当点在线段上时 如图 3 是否存在点 使为等腰三角形 若存在 请求出所有NDCPPMN 满足要求的的值 若不存在 请说明理由 x AD E B F C 图 4 备用 AD E B F C 图 5 备用 AD E B F C 图 1图 2 AD E B F C P N M 图 3 AD E B F C P N M 第 25 题 9 如 图 正 方 形 A B C D 中 点 A B 的 坐 标 分 别 为 0 1 0 8 4 点C在第一象限 动点P在正方形 ABCD的边上 从点A出发沿A B C D匀速运动 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动 当P点到达D点时 两点同时停止运动 设运动的时间为t秒 1 当P点在边AB上运动时 点Q的横坐标 长度单位 关于运动时间t 秒 的函数图象如图x 所示 请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度 2 求正方形边长及顶点C的坐标 3 在 1 中当t为何值时 OPQ的面积最大 并求此时P点的坐标 4 如果点P Q保持原速度不变 当点P沿A B C D匀速运动时 OP与PQ能否相等 若能 写出所有符合条件的t的值 若不能 请说明理由 1 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中点 且 EF 交正方形外角的平行线 CF 于点 F 求证 AE EF 90AEF DCG 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 AMEECF AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的 任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写 出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理 由 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 11 已知一个直角三角形纸片 其中 如图 将该纸片放置在平面OAB9024AOBOAOB 直角坐标系中 折叠该纸片 折痕与边交于点 与边交于点 OBCABD 若折叠后使点与点重合 求点的坐标 BAC 若折叠后点落在边上的点为 设 试写出关于的函数解析式 并BOA B OBx OCy yx 确定的取值范围 y x y B OA x y B OA 若折叠后点落在边上的点为 且使 求此时点的坐标 BOA B B DOB C 12问题解决 如图 1 将正方形纸片折叠 使点落在边ABCDBCD上一点 不与E 点 重合 压平后得到折痕 当时 CDMN 1 2 CE CD 求的值 AM BN 类比归纳 在图 1 中 若则的值等于 若则的值等于 1 3 CE CD AM BN 1 4 CE CD AM BN 若 为整数 则的值等于 用含的式子表示 1CE CDn n AM BN n 联系拓广 如图 2 将矩形纸片折叠 使点落在边上一点 不与点重合 压平后得ABCDBCDECD 到折痕设则的值等于 用含的式子表示 MN 11 1 ABCE m BCmCDn AM BN mn x y B OA 图 2 N A BC D E F M 图 1 A B C D E F M N 1 解 1 秒 厘米 1t 3 13BPCQ 厘米 点为的中点 厘米 10AB DAB5BD 又 厘米 厘米 8PCBCBPBC 835PC PCBD 又 ABAC BC BPDCQP 又 则 点 PQ vv BPCQ BPDCQP BC 45BPPCCQBD P 点运动的时间秒 Q 4 33 BP t 厘米 秒 515 4 4 3 Q CQ v t 2 设经过秒后点与点第一次相遇 由题意 得 xPQ 15 32 10 4 xx 解得秒 点共运动了厘米 点 点在边上相遇 经过 80 3 x P 80 380 3 802 2824 PQAB 秒点与点第一次在边上相遇 80 3 PQAB 2 解 1 A 8 0 B 0 6 2 86OAOB 10AB 点Q由O到A的时间是 8 8 1 秒 点P的速度是 6 10 2 8 单位 秒 当P在线段OB上运动 或 03t 时 2OQtOPt 2 St 当P在线段BA上运动 或38t 时 6102162OQtAPtt 如图 作PDOA 于点D 由 PDAP BOAB 得 486 5 t PD 2 1324 255 SOQPDtt 3 8 24 55 P 123 8 2412 241224 555555 IMM 3解 1 P 与 x 轴相切 直线 y 2x 8 与 x 轴交于 A 4 0 与 y 轴交于 B 0 8 OA 4 OB 8 由题意 OP k PB PA 8 k 在 Rt AOP 中 k2 42 8 k 2 k 3 OP 等于 P 的半径 P 与 x 轴相切 2 设 P 与 直 线 l 交 于 C D 两 点 连 结 P C P D 当 圆 心 P 在 线 段 O B 上 时 作 P E C D 于 E PCD 为正三角形 DE CD PD 3 1 2 3 2 PE AOB PEB 90 ABO PBE AOB PEB 3 3 2 3 3 4 2 4 5 AOPE ABPBPB 即 3 15 2 PB 3 15 8 2 POBOPB 3 15 0 8 2 P 3 15 8 2 k 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 同理可得 P 0 8 3 15 2 k 8 当 k 8 或 k 8 时 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形 3 15 2 3 15 2 3 15 2 是正三角形 NGCDBC 同理 四边形也是平行四边形 ABNG 5 4 AGBN 90MNBEEBCBNM 90NGBCMNGBNMEBCMNG 在与中BCE NGM 分 90 EBCMNG BCNG CNGM BCENGMECMG 6 分 1 1 4 AMAGMGAM 5 4 7 分 1 5 AM BN 类比归纳类比归纳 或 10 分 2 5 4 10 9 17 2 2 1 1 n n 联系拓广联系拓广 12 分 22 22 21 1 n mn n m 解 1 1 8 5 2 作QF AC 于点F 如图 3 AQ CP t 3APt 由 AQF ABC 22 534BC 得 45 QFt 4 5 QFt 14 3 25 Stt 即 2 26 55 Stt 3 能 当 DE QB 时 如图 4 DE PQ PQ QB 四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP 90 由 APQ ABC 得 AQAP ACAB 即 3 35 tt 解得 9 8 t 如图 5 当 PQ BC 时 DE BC 四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ 90 由 AQP ABC 得 AQAP ABAC 即 3 53 tt 解得 15 8 t 4 5 2 t 或 45 14 t 点 P 由 C 向 A 运动 DE 经过点 C 连接 QC 作 QG BC 于点G 如图 6 PCt 222 QCQGCG 22 34 5 4 5 55 tt 由 22 PCQC 得 222 34 5 4 5 55 ttt 解得 5 2 t 点 P 由 A 向 C 运动 DE 经过点 C 如图 7 222 34 6 5 4 5 55 ttt 45 14 t 解 1 30 1 60 1 5 2 当 900时 四边形EDBC是菱形 ACB 900 BC ED CE AB 四边形EDBC是平行四边形 在 Rt ABC中 ACB 900 B 600 BC 2 A 300 AB 4 AC 23 AO 1 2 AC 3 在 Rt AOD中 A 300 AD 2 BD 2 BD BC AC B P Q E D 图 4 AC B P Q E D 图 5 A C E B P Q D 图 6 G A C E B P Q D 图 7 G AD CB M N 又 四边形EDBC是平行四边形 四边形EDBC是菱形 7解 1 如图 过 分别作于 于 则四边形是矩形ADAKBC KDHBC HADHK 在中 3KHAD RtABK 2 sin454 24 2 AKAB A 2 cos454 24 2 BKAB AA 在中 由勾股定理得 RtCDH 22 543HC 43310BCBKKHHC 2 如图 过作交于点 则四边形是平行四边形DDGAB BCGADGB MNAB MNDG 3BGAD 1037GC 由题意知 当 运动到 秒时 MNt102CNtCMt 又 DGMN NMCDGC CC MNCGDC 即解得 CNCM CDCG 102 57 tt 50 17 t 3 分三种情况讨论 当时 如图 即 NCMC 102tt 10 3 t 当时 如图 过作于MNNC NNEMC E 解法一 由等腰三角形三线合一性质得 11 1025 22 ECMCtt 在中 又在中 RtCEN 5 cos ECt c NCt RtDHC 3 cos 5 CH c CD 解得 53 5 t t 25 8 t 解法二 图 AD CB K H 图 AD CB G M N AD CB M N 图 图 AD CB M N H E 90CCDHCNEC NECDHC NCEC DCHC 即 5 53 tt 25 8 t 当时 如图 过作于点 MNMC MMFCN F 11 22 FCNCt 解法一 方法同 中解法一 解得 1 3 2 cos 1025 t FC C MCt 60 17 t 解法二 90CCMFCDHC MFCDHC FCMC HCDC 即 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述 当 或时 为等腰三角形 10 3 t 25 8 t 60 17 t MNC 8解 1 如图 1 过点作于点1 分EEGBC G 为的中点 EAB 1 2 2 BEAB 在中 RtEBG 60B 30BEG 22 1 1213 2 BGBEEG 即点到的距离为 EBC3 2 当点在线段上运动时 的形状不发生改NADPMN 变 PMEFEGEF PMEG 同理 EFBC EPGM 3PMEG 4MNAB 如图 2 过点作于 PPHMN HMNAB 6030NMCBPMH 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM A 则 35 4 22 NHMNMH 在中 RtPNH 2 2 22 53 7 22 PNNHPH 的周长 PMN 374PMPNMN 当点在线段上运动时 的形状发生改变 但恒为等边三角形 当时 如NDCPMN MNC PMPN 图 3 作于 则PRMN RMRNR 图 AD CB H N M F 图 1 AD E B F C G 图 2 AD E B F C P N MG H 类似 3 2 MR 23MNMR 是等边三角形 MNC 3MCMN 此时 6 1 32xEPGMBCBGMC 当时 图 3 AD E B F C P N M 图 4 AD E B F C P M N 图 5 AD E B F P C M N GG R G MPMN 如图 4 这时3MCMNMP 此时 6 1353xEPGM 当时 如图 5 NPNM 30NPMPMN 则又 120PMN 60MNC 180PNMMNC 因此点与重合 为直角三角形 PFPMC tan301MCPM A 此时 6 1 14xEPGM 综上所述 当或 4 或时 为等腰三角形 2x 53 PMN 解 1 1 0 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度 Q 2 过点作 BF y 轴于点 轴于点 则 8 BFBExEBF4OFBE 1046AF 在 Rt AFB 中 3 分 22 8610AB 过点