高考数学导数题型归纳(文科)

2 不等式恒成立常见处理方法有三种 不等式恒成立常见处理方法有三种 第一种 分离变量求最值第一种 分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 0 0 0 第二种 变更主元第二种 变更主元 即关于某字母的一次函数 即关于某字母的一次函数 已知谁的范围就把谁作为主元已知谁的范围就把谁作为主元 请同学们参看 请同学们参看 2010 省统测省统测 2 例例 1 设函数 设函数在区间在区间 D 上的导数为上的导数为 在区间在区间 D 上的导数为上的导数为 若在区间 若在区间 D yf x fx fx g x 上 上 恒成立 则称函数恒成立 则称函数在区间在区间 D 上为上为 凸函数凸函数 已知实数 已知实数 m 是常数 是常数 0g x yf x 432 3 1262 xmxx f x 1 若 若在区间在区间上为上为 凸函数凸函数 求 求 m 的取值范围 的取值范围 yf x 0 3 2 若对满足 若对满足的任何一个实数的任何一个实数 函数 函数在区间在区间上都为上都为 凸函数凸函数 求 求的最的最2m m f x a bba 大值大值 例例 2 设函数 设函数 10 32 3 1 223 Rbabxaaxxxf 求函数 求函数 f x 的单调区间和极值 的单调区间和极值 若对任意的 若对任意的不等式不等式恒成立 求恒成立 求 a 的取值范围的取值范围 2 1 aax fxa 二次函数区间最值的例子 二次函数区间最值的例子 第三种 构造函数求最值第三种 构造函数求最值 题型特征 题型特征 恒成立恒成立恒成立 从而转化为恒成立 从而转化为第一 二种题第一 二种题 xgxf 0 xgxfxh 型型 例例 3 已知函数 已知函数图象上一点图象上一点处的切线斜率为处的切线斜率为 32 f xxax 1 Pb3 32 6 1 3 0 2 t g xxxtxt 求 求的值 的值 a b 当 当时 求时 求的值域 的值域 1 4 x f x 当 当时 不等式时 不等式恒成立 求实数恒成立 求实数 t 的取值范围 的取值范围 1 4 x f xg x 二 题型一 二 题型一 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法解法 1 转化为转化为在给定区间上恒成立 在给定区间上恒成立 回归基础题型回归基础题型0 0 xfxf或 解法解法 2 利用子区间 即子集思想 利用子区间 即子集思想 首先求出函数的单调增或减区间 然后让 首先求出函数的单调增或减区间 然后让 所给区间是求的增或减区间的子集 所给区间是求的增或减区间的子集 做题时一定要看清楚做题时一定要看清楚 在 在 m n 上是减函数 上是减函数 与与 函数的单调减区间是 函数的单调减区间是 a b 要弄清楚 要弄清楚 两句话的区别 前者是后者的子集两句话的区别 前者是后者的子集 例例 4 已知 已知 函数 函数 Ra xax a xxf 14 2 1 12 1 23 如果函数 如果函数是偶函数 求是偶函数 求的极大值和极小值 的极大值和极小值 xfxg xf 如果函数 如果函数是是上的单调函数 求上的单调函数 求的取值范围 的取值范围 xf a 例例 5 已知函数 已知函数 32 11 2 1 0 32 f xxa xa x a I 求 求的单调区间 的单调区间 f x II 若 若在在 0 1 上单调递增 上单调递增 求求 a 的取值范围 的取值范围 子集思想子集思想 f x 三 题型二 根的个数问题三 题型二 根的个数问题 题题 1 函数函数 f x 与与 g x 或与 或与 x 轴 的交点轴 的交点 即方程根的个数问题即方程根的个数问题 解题步骤解题步骤 第一步 画出两个图像即第一步 画出两个图像即 穿线图穿线图 即解导数不等式 和 即解导数不等式 和 趋势图趋势图 即三次函数的大致趋势即三次函数的大致趋势 是先增后是先增后 减再增减再增 还是还是 先减后增再减先减后增再减 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 第二步 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 组 主要看极大值和极小值与主要看极大值和极小值与 0 的关的关 系 系 第三步 解不等式 组 即可 第三步 解不等式 组 即可 例例 6 已知函数 已知函数 且 且在区间在区间上为增函数 上为增函数 23 2 1 3 1 x k xxf kxxg 3 1 xf 2 1 求实数求实数的取值范围 的取值范围 k 2 若函数若函数与与的图象有三个不同的交点 求实数的图象有三个不同的交点 求实数的取值范围 的取值范围 xf xgk 根的个数知道 部分根可求或已知 根的个数知道 部分根可求或已知 例例 7 7 已知函数 已知函数 32 1 2 2 f xaxxxc 1 1 若 若1x 是是 f x的极值点且的极值点且 f x的图像过原点 求的图像过原点 求 f x的极值 的极值 2 2 若 若 2 1 2 g xbxxd 在 在 1 1 的条件下 是否存在实数 的条件下 是否存在实数b 使得函数 使得函数 g x的图像与函数的图像与函数 f x的图像恒有含的图像恒有含1x 的三个不同交点 若存在 求出实数的三个不同交点 若存在 求出实数b的取值范围 否则说明理由 的取值范围 否则说明理由 高高 1 1 考考 1 1 资资 1 1 源源 2 2 网网 题题 2 切线的条数问题 切线的条数问题 以切点以切点为未知数的方程的根的个数为未知数的方程的根的个数 0 x 例例 7 已知函数 已知函数在点在点处取得极小值 处取得极小值 4 使其导数 使其导数的的的取值范围的取值范围 32 f xaxbxcx 0 x 0fx x 为为 求 求 1 的解析式 的解析式 2 若过点 若过点可作曲线可作曲线的三条切线 求实数的三条切线 求实数的的 1 3 f x 1 Pm yf x m 取值范围 取值范围 题题 3 已知 已知在给定区间上的极值点个数在给定区间上的极值点个数则有则有导函数导函数 0 的根的个数的根的个数 f x 解法 根分布或判别式法解法 根分布或判别式法 例例 8 例例 9 已知函数已知函数 1 1 求 求的单调区间 的单调区间 2 2 令 令 23 2 1 3 xx a xf 0 aRa xf x4 f x x R 有且仅有 有且仅有 3 个极值点 求个极值点 求 a 的取值范围 的取值范围 g x 1 4 其它例题 其它例题 1 1 最值问题与主元变更法的例子 最值问题与主元变更法的例子 已知定义在已知定义在上的函数上的函数R 在区间在区间上的最大值是上的最大值是 5 5 最小值是 最小值是 11 11 32 2f xaxaxb 0 a 2 1 求函数 求函数的解析式 的解析式 f x 若 若时 时 恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 1 1 t0 txxf x 2 2 根分布与线性规划例子 根分布与线性规划例子 1 1 已知函数已知函数 32 2 3 f xxaxbxc 若函数若函数在在时有极值且在函数图象上的点时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线处的切线与直线平行平行 求求 f x1 x 0 1 30 xy 的解析式 的解析式 xf 当当在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值时取得极小值时 设点设点所在平面所在平面 f x 0 1 x 1 2 x 2 1 M ba 区域为区域为 S 经过原点的直线经过原点的直线 L 将将 S 分为面积比为分为面积比为 1 3 的两部分的两部分 求直线求直线 L 的方程的方程 解解 由由 函数函数在在时有极值时有极值 2 22fxxaxb f x1 x 220ab 0 1f 1c 又又 在在处的切线与直线处的切线与直线平行平行 f x 0 1 30 xy 故故 0 3fb 1 2 a 7 分分 32 21 31 32 f xxxx 解法一解法一 由由 及及在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值取得极小值 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 即即 令令 则则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点故点所在平面区域所在平面区域 S 为如图为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时同时 DE 为为 ABC 的中位线的中位线 1 3 DECABED SS 四边形 所求一条直线所求一条直线 L 的方程为的方程为 0 x 另一种情况设不垂直于另一种情况设不垂直于 x 轴的直线轴的直线 L 也将也将 S 分为面积比为分为面积比为 1 3 的两部分的两部分 设直线设直线 L 方程为方程为 它它ykx 与与 AC BC 分别交于分别交于 F G 则则 0k 1S 四边形D EG F 由由 得点得点 F 的横坐标为的横坐标为 220 ykx yx 2 21 F x k 由由 得点得点 G 的横坐标为的横坐标为 460 ykx yx 6 41 G x k 即即 OGEOFD SSS 四边形D EG F 6131 1 222 2 1 4121kk 2 16250kk 解得解得 或或 舍去舍去 故这时直线方程为故这时直线方程为 1 2 k 5 8 k 1 2 yx 综上综上 所求直线方程为所求直线方程为 或或 12 分分0 x 1 2 yx 解法二解法二 由由 及及在在取得极大值且在取得极大值且在取得极小值取得极小值 2 22fxxaxb f x 0 1 x 1 2 x 即即 令令 则则 0 0 1 0 2 0 f f f 0 220 480 b ab ab M xy 2 1 xb ya 故点故点所在平面区域所在平面区域 S 为如图为如图 ABC 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx M 易得易得 2 0 A 2 1 B 2 2 C 0 1 D 3 0 2 E 2 ABC S 同时同时 DE 为为 ABC 的中位线的中位线 所求一条直线所求一条直线 L 的方程为的方程为 1 3 DECABED SS 四边形 0 x 另一种情况由于直线另一种情况由于直线 BO 方程为方程为 设直线设直线 BO 与与 AC 交于交于 H 1 2 yx 由由 得直线得直线 L 与与 AC 交点为交点为 1 2 220 yx yx 1 1 2 H 2 ABC S 111 2 222 DEC S 11 22 22 11 1 22 HABOAOH SSS AB 所求直线方程为所求直线方程为 或或 0 x 1 2 yx 3 根的个数问题 根的个数问题 已知函数已知函数的图象如图所示 的图象如图所示 32 f x axbx c3a2b xd a0 求 求的值 的值 cd 若函数 若函数的图象在点的图象在点处的切线方程为处的切线方程为 f x 2 f 2 3xy110 求函数求函数 f x 的解析式 的解析式 若 若方程方程有三个不同的根 求实数有三个不同的根 求实数 a 的取值范围 的取值范围 0 x5 f x 8a 解 由题知 解 由题知 2 f x 3ax2bx c 3a 2b 由图可知 由图可知函数函数 f x 的图像过点的图像过点 0 3 且 且 0 1 f 得得 3 32c320 d abab 0 3 c d 依题意 依题意 3 且且 f 2 5 2 f 解得解得 a 1 b 6 124323 846435 abab abab 所以所以 f x x3 6x2 9x 3 依题意 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 3ax2 2bx 3a 2b 由由 0b 9a x f 5 f 若方程若方程 f x 8a 有三个不同的根 当且仅当有三个不同的根 当且仅当 满足满足 f 5 8a f 1 由由 得得 25a 3 8a 7a 3 a 3 11 1 所以所以 当当 a 3 时 方程时 方程 f x 8a 有三个不同的根 有三个不同的根 12 分分 11 1 4 4 根的个数问题 根的个数问题 已知函数已知函数 32 1 1 3 f xxaxxaR 1 1 若函数 若函数在在处取得极值 且处取得极值 且 求 求的值及的值及的单调区间 的单调区间 f x 12 xx xx 12 2xx a f x 2 2 若 若 讨论曲线 讨论曲线与与的交点个数 的交点个数 1 2 a f x 2 15 21 21 26 g xxaxx 解 解 1 1 2 21f xxax 1212 2 1xxa xx 22 121212 4442xxxxx xa 2 2 分分0a 22 211fxxaxx 令令得得 0fx 1 1xx 或 令令得得 0fx 11x 的单调递增区间为的单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 5 5 分分 f x 1 1 1 1 2 2 由题 由题得得 f xg x 322 115 1 21 326 xaxxxax 即即 32 111 20 326 xaxax 令令 6 6 分分 32 111 2 21 326 xxaxaxx 2 21 2 2 1 xxaxaxa x 令令得得或或