《独立重复试验与二项分布》导学案2 (2)

独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 导学案导学案 2 课标要求课标要求 1 理解n次独立重复试验的模型 2 理解二项分布 3 能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题 核心扫描核心扫描 1 n次独立重复试验的概念 重点 2 二项分布的概念 重点 3 应用二项分布解决实际问题 难点 自学导引自学导引 1 n次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 想一想 在n次独立重复试验中 各次试验的结果相互有影响吗 提示 在n次独立重复试验中 各次试验的结果相互之间无影响 因为每次试验是在相 同条件下独立进行的 所以第i次试验的结果不受前i 1 次结果的影响 其中 i 1 2 n 2 二项分布 在n次独立重复试验中 设事件A发生的次数为X 在每次试验中事件A发生的概率为 p 那么在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为p X k Cpk 1 p k n n k k 0 1 2 n 此时称随机变量X服从二项分布 记作X B n p 并称p为成功 概率 试一试 你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗 提示 两点分布是特殊的二项分布 即X B n p 中 当n 1 时 二项分布便是两点 分布 也就是说二项分布是两点分布的一般形式 名师点睛名师点睛 1 独立重复试验的理解 1 独立重复试验概型有以下特点 每次试验是在相同的条件下进行的 各次试验 的结果不会受其它试验的影响 即每次试验是相互独立的 在任何一次实验中 事件发生 的概率均相等 每次试验只有两种结果 要么发生 要么不发生 2 独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题 但在实际应用中 从大批产品 中抽取少量样品的不放回检验 可以近似地看做此类型 因此独立重复试验在实际问题中应 用广泛 2 对二项分布的理解 1 二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度进一步阐述 与对n次 独立重复试验恰有k次发生的概率相呼应 是概率论中最重要的分布之一 2 二项式 1 p p n的展开式中 第k 1 项为Tk 1 C 1 p n kpk 那么P X k k n 就是二项式 1 p p n展开式中的第k 1 项 所以公式P X k Cpk 1 p k n n k k 0 1 2 n 称为二项分布式 3 二项分布公式的理解 公式的推导 首先 由独立事件的概率乘法公式可知 n次独立重复试验中事件A在 某k次发生而在其余的n k次不发生的概率为pk 1 p n k 其次 事件A在n次试验中哪 k次发生的不同的发生方式有 C 种 且它所对应的 C 个事件是互斥的 因而由概率的加法 k nk n 公式可知 Pn k Cpk 1 p n k k n 公式必须在满足 独立重复试验 时才能运用 否则就不能运用该公式 明确该公式中各量表示的意义 n为重复试验的次数 p是在 1 次试验中某事件A发 生的概率 k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数 题型一题型一 独立重复试验的判断独立重复试验的判断 例 1 判断下列试验是不是独立重复试验 1 依次投掷四枚质地不同的硬币 3 次正面向上 2 某人射击 击中目标的概率是稳定的 他连续射击了 10 次 其中 6 次击中 3 口袋中装有 5 个白球 3 个红球 2 个黑球 依次从中抽取 5 个球 恰好抽出 4 个白 球 思路探索 结合独立重复试验的特征进行判断 解 1 由于试验的条件不同 质地不同 因此不是独立重复试验 2 某人射击且击中的概率是稳定的 因此是独立重复试验 3 每次抽取 试验的结果有三种不同的颜色 且每种颜色出现的可能性不相等 因此 不是独立重复试验 规律方法 判断的依据要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行 且每次试验 相互独立 互不影响 变式 1 小明同小华一起玩掷骰子游戏 游戏规则如下 小明先掷 小华后掷 如 此间隔投掷 问 1 小明共投掷n次 是否可看作n次独立重复试验 小华共投掷m次 是否可看作m次独立重复试验 2 在游戏的全过程中共投掷了m n次 则这m n次是否 可看作m n次独立重复试验 解 1 由独立重复试验的条件 小明 小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下 且 每次间互不影响 故小明 小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立 重复试验 2 就全过程考查 不是在相同条件下进行的试验 故不能看作m n次独立重复试验 题型二题型二 相互独立重复事件的概率相互独立重复事件的概率 例 2 某射手进行射击训练 假设每次射击击中目标的概率为 且每次射击的结果 3 5 互不影响 已知射手射击了 5 次 求 1 其中只在第一 三 五次击中目标的概率 2 其中恰有 3 次击中目标的概率 3 其中恰有 3 次连续击中目标 而其他两次没有击中目标的概率 思路探索 利用独立重复试验解决 要注意 恰有k次发生 和 指定的k次发生 的差异 解 1 该射手射击了 5 次 其中只在第一 三 五次击中目标 是在确定的情况下击 中目标 3 次 也就是在第二 四次没有击中目标 所以只有一种情况 又因为各次射击的结 果互不影响 故所求概率为P 3 5 1 3 5 3 5 1 3 5 3 5 108 3 125 2 该射手射击了 5 次 其中恰有 3 次击中目标 根据排列组合知识 5 次当中选 3 次 共有 C 种情况 因为各次射击的结果互不影响 所以符合n次独立重复试验概率模型 故 3 5 所求概率为P C 3 2 3 5 3 5 1 3 5 216 625 3 该射手射击了 5 次 其中恰有 3 次连续击中目标 而其他两次没有击中目标 应用 排列组合知识 把 3 次连续击中目标看成一个整体可得共有 C 种情况 1 3 故所求概率为P C 3 2 1 3 3 5 1 3 5 324 3 125 规律方法 解答独立重复试验中的概率问题 要注意以下几点 1 先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验 2 要注意分析所研究的事件的含义 并根据题意划分为若干个互斥事件的并 3 要善于分析规律 恰当应用排列 组合数简化运算 变式 2 甲 乙两队进行排球比赛 已知在一局比赛中甲队胜的概率为 没有平 2 3 局 1 若进行三局两胜制比赛 先胜两局者为胜 甲获胜的概率是多少 2 若进行五局三胜制比赛 甲获胜的概率为多少 解 1 甲第一 二局胜 或第二 三局胜 或第一 三局胜 则P 2 C 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3 20 27 2 甲前三局胜 或甲第四局胜 而前三局仅胜两局 或甲第五局胜 而前四局仅胜两 局 则 P 3 C 2 C2 2 2 3 2 3 2 3 1 3 2 32 4 2 3 1 3 2 3 64 81 题型三题型三 二项分布问题二项分布问题 例 3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 某班 3 名同学商定明天分别就 3 4 同一问题询问该服务中心 且每人只拨打一次 求他们中成功咨询的人数X的分布列 审题指导 确定X服从二项分布X取值对应的概率 列表得分布列 规范解答 由题意可知 X B 1 分 3 3 4 所以P X k C k3 k k 0 1 2 3 3 分 k3 3 4 1 4 P X 0 C 03 5 分 0 3 3 4 1 4 1 64 P X 1 C 2 7 分 1 3 3 4 1 4 9 64 P X 2 C 2 8 分 2 3 3 4 1 4 27 64 P X 3 C 3 10 分 3 3 3 4 27 64 所以分布列为 X 0123 P 1 64 9 64 27 64 27 64 12 分 题后反思 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的 模型 也就是看它是否为n次独立重复试验 随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事 件发生的次数 满足这两点的随机变量才服从二项分布 否则就不服从二项分布 变式 3 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 假设在各个交通岗遇到红灯 的事件为相互独立的 并且概率都是 设 为途中遇到红灯的次数 求随机变量 的分 2 5 布列 解 由题意 B 则 3 2 5 P 0 C 03 0 3 2 5 3 5 27 125 P 1 C 2 1 3 2 5 3 5 54 125 P 2 C 2 2 3 2 5 3 5 36 125 P 3 C 3 3 3 2 5 8 125 所以随机变量 的分布列为 0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 误区警示误区警示 审题不清致误审题不清致误 示例 9 粒种子分种在 3 个坑内 每坑放 3 粒 每粒种子发芽的概率为 0 5 若一个 坑内至少有 1 粒种子发芽 则这个坑不需要补种 若一个坑内的种子都没发芽 则这个坑需 要补种 假定每个坑至多补种一次 求需要补种坑数的分布列 错解 设需要补种的坑数为X 则X取值为 0 1 2 3 由独立重复试验知P X 0 C 3 0 3 1 2 1 8 P X 1 C 2 1 3 1 2 1 2 3 8 P X 2 C 2 2 3 1 2 1 2 3 8 P X 3 C 3 3 3 1 2 1 8 则所求分布列为 X 0123 P 1 8 3 8 3 8 1 8 错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率 正解 因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为 1 0 5 3 所以单个坑不需补 1 8 种的概率为 1 1 8 7 8 3 个坑都不需补种的概率为 C 0 3 0 3 1 8 7 8 343 512 恰有 1 个坑需要补种的概率为 C 1 2 恰有 2 个坑需要补种的概