计算机图形学(Hermite curve)

计算机图形学 1 课程名 计算机图形学 主讲教师 陈学工 教材 计算机图形学基础 第 1 版 唐泽圣 清华大学出版社 2001 年 参考书 计算机图形学 第 1 版 倪明田 北京大学出版社 2000 年 第第 1 讲二维图形讲二维图形 抛物线样条曲线和抛物线样条曲线和 Hermite 曲线曲线 基本点 自由曲线 曲面 曲线拟合 曲线插值 抛物线样条曲线 Hermite 曲线 重点 Hermite 曲线 难点 向量和矩阵运算 疑点 形状比较复杂 不能用二次方程来表示的曲线 曲面 称为自由曲线 曲面 自由曲线 曲面 也称 为复杂曲线 曲面 通常以三次参数方程来表示 给定一个点列 用该点列来构造曲线的 方法称为曲线拟合曲线拟合 已知曲线上的一个点列 求曲线上的其他点的方法称为曲线插值曲线插值 1 抛物线参数样条曲线 抛物线参数样条曲线 样条样条是一根富有弹性的细木条或类似物 其两端连接着起固定作用的压铁 通过调整 样条两端的压铁可以改变样条的形态 它是手工绘制自由曲线的一种工具 沿着样条绘制 的曲线称为样条曲线样条曲线 样条曲线可以表示为参数多项式曲线或分段参数多项式曲线 给定一个点列 P1 P2 Pn 对相邻三个点用抛物线来拟合 相邻抛物线在公共区间内 用权函数 t 进行调配 所得到的曲线称为抛物线参数样条曲线 该曲线向量形式可表示为 1 1 2 1 ii n i tSStS 1 0 t 其中 Si为 Pi Pi 1 Pi 2三个点决定的抛物线 2 Hermite 曲线曲线 Hermite 曲线是以曲线的两个端点 P0 P1和端点处的切向矢量 R0 R1为边界条件的三 次参数曲线 空间自由曲线三次参数方程的一般形式可表示为 或 zzzz yyyy xxxx dtctbtatz dtctbtaty dtctbtatx 23 23 23 d c b a tttdctbtattQ1 2323 其中 Q t x t y t z t a ax ay az b bx by bz c cx cy cz d dx dy dz 令 T t3 t2 t 1 计算机图形学 2 那么 Q t 可以表示为 Q t TMhGh Mh是由初始条件确定的一个矩阵 1 0 1 0 R R P P Gh 该矩阵不唯一 通常取 Fh t TMh确定的一组函数称为调和 0001 0100 1233 1122 h M 或基 函数 对于端点处坐标和切线方向都相同的 Hermite 曲线 它们的形状随着切向矢量的长度 的变化而变化 此外 如果取与 z 相关的系数为 0 则得到平面上的 Hermite 曲线 Hermite 曲线通过端点和端点处的切向矢量来控制曲线的形状 一条单独的 Hermite 曲 线不适合于用来拟合一个空间点列 它主要用在样条曲线样条曲线中用来表示其中的某一段曲线 第第 2 讲讲 二维图形二维图形 三次参数样条曲线三次参数样条曲线 基本点 三次参数样条曲线 约束条件 重点 三次参数样条曲线 难点 三次参数样条曲线 疑点 给定参数节点 ti i 0 1 n 和相应的点列 Pi i 0 1 n 求二阶导数连续的分段三次 参数多项式曲线 P t 使得该曲线能够拟合已知的点列 即 P ti 0n ttt Pi i 0 1 n P t 称为三次样条曲线三次样条曲线 三次样条曲线 P t 在每一个区间 ti ti 1 上的分段曲线记为 Pi t 如果用10 ni Hermite 曲线表示 Pi t 则可以用 Hermite 三次参数曲线来描述传统的样条曲线 1 Hermite 曲线的二阶导数形式曲线的二阶导数形式 由前一讲可知 Hermite 曲线可以表示为 Q t Fh1 t Q 0 Fh2 t Q 1 Fh3 t Q 0 Fh4 t Q 1 如果 Hermite 曲线在端点处二阶导数已知 则端点处的一阶导数可以用端点处的二阶 导数来表示 最后可以把 Hermite 曲线用二阶导数形式表示为 1 6 1 0 23 6 1 1 0 1 323 QttQttttQQttQ 2 三次参数样条曲线 三次参数样条曲线 设有点列 Pi i 0 1 n 用 Hermite 三次参数曲线将相邻点连接起来 使得最终的曲 线在已知点处具有连续的二阶导数 该曲线是一条三次样条曲线三次样条曲线 Pi 1是前后两条 Hermite 曲线的端点 根据这两曲线的方程分别求该点处的二阶导数得 到 计算机图形学 3 0001 0100 1233 1122 h M 1 1 0001 0100 1233 1122 0026 i i i i P P P P ttP t 1 111 4266 iiiii PPPPP 2 1 2 1 0001 0100 1233 1122 0026 i i i i P P P P ttP t 0 21211 2466 iiiii PPPPP 由于曲线具有二阶连续导数 由上面两式得到 34 221iiiii PPPPP 对于已知的点列 可以得到 n 2 个类似于上式的方程 其中未知的一阶导数有 n 个 如果再给定三次样条曲线在起点和终点处的切向矢量或二阶导数 则可以求出各一阶导数 和分段 Hermite 曲线 进而可以确定三次样条曲线 三次样条曲线在两端点处的边界条件是根据问题的物理要求来确定的 常用的端点约 束条件有如下三种 1 自由端 在两端点处的二阶导数为零 由此得到 32 1221 PPPP 32 11 nnnn PPPP 2 夹持端 在端点处的切向矢量已知 即 其中 E1 En为单位切向矢量 111 EkP nnn EkP 3 抛物端 假定分段曲线的最初和最未段为抛物线 即三次项的系数为 0 则在这两段曲线上二 阶导数为常数 由此可以得到 2 1221 PPPP 2 11 nnnn PPPP 计算机图形学 4 例 已知平面上三点 P1 0 0 P2 1 1 和 P2 2 0 用自由端约束条件计算三次 Hermite 样条 曲线 Q t 使得它拟合点列 P1 P2 P3 并将 Q t 表示为参数序列 0 1 2 上的分段参数 多项式函数 解 由 Hermite 样条曲线二阶导数的连续性及自由端约束条件得到 34 13321 PPPPP 32 1221 PPPP 32 2332 PPPP 解方程组得到 56 4 1 2 1 65 4 1 3213 312 3211 PPPP PPP PPPP 由控制点的坐标得到 由 Hermite 曲线方程 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 P P P 10 0001 0100 1233 1122 1 1 123 t P P P P ttttQ i i i i 得到 10 5