圆锥曲线的综合应用含详细答案

专题 1 圆锥曲线的综合应用 题型 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与双曲线的交点个数是 A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 答案详解A 解 双曲线的渐近线方程为 因为直线与 双曲线的一条渐近线平行 在 y 轴上的焦距为 3 所以直线与双曲线的交点个 数是 1 所以 A 选项是正确的 解析 求出双曲线的渐近线方程 然后判断直线与双曲线的交点个数即可 2 斜率为的直线 l 与椭圆交与不同的两点 且 这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点 则该椭圆的离心率为 A B C D 答案详解A 解 两个交点横坐标是 c c 所以两个交点分别为 代入椭圆 两边乘 则 或所以 3 过双曲线 x2 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A B 两点 若实数 使得 AB 的直线 l 恰有 3 条 则 答案 分析 利用实数 使得 AB 的直线 l 恰有 3 条 根据对称性 其中有一条直线与实轴垂直 求出直线与实轴垂直时 线段的长度为 4 再作验证 即可得到结论 解答 解 实数 使得 AB 的直线 l 恰有 3 条 根据对称性 其中有一条直线与实轴垂直 此时 A B 的横坐标为 代入双曲线方程 可得 y 2 故 AB 4 双曲线的两个顶点之间的距离是 2 小于 4 过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4 综上可知 AB 4 时 有三条直线满足题意 4 故答案为 4 解析 先根据题意表示出两个焦点的交点坐标 代入椭圆方程 两边乘 求得关于的方程求得 e 4 设抛物线的焦点为 准线为 为抛物线上一点 为 垂足 如果直线的倾斜角为 那么 5 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 长轴长是短轴长的倍 其 上一点到右焦点的最短距离为 1 求椭圆 C 的标准方程 2 若直线与圆相切 且交椭圆 C 于 A B 两 点 求当的面积最大时直线 l 的方程 答案详解 解 1 设椭圆右焦 点 则由 1 得代得 代 2 得 2 与圆相切 由消 y 得 又 当时 当时 当时 成立 此时且 3 式 6 已知 是双曲线的两个焦点 离心率等于 的椭圆 与双 曲线的焦点相同 动点满足 曲线的方程为 求椭圆 的方程 判断直线与曲线的公共点的个数 并说明理由 当直 线与曲线相交时 求直线截曲线所得弦长的取值 范围 答案 因为是双曲线的两个焦点 则 因为椭圆 与双曲线的焦点相同 则可得 则可解得 所以椭圆方程为 动点满足 所以是椭圆 上的点 则 则可得 因为曲线是圆心半径的圆 圆心到直线的距离为 所以直线与曲线有两个公共点 设直线截曲线所得的弦长为 则 对动点 可得 则代入 的表达式可得 题型 2 弦重点 中点弦问题 7 平面直角坐标系中 过椭圆 右焦点的直 线交于 两点 为的中点 且的斜率为 求的方程 为上的两点 若四边形的对角线 求四边形 面积的最大值 答案详解 设 则 由此可得 因为 所以 又由题意知 的右焦点为 故 因此 所以的方程为 由 解得或 因此 又题 意可设直线的方程为 设 由得 于是 因为直线的斜率为 所以 由已知 四边 形的面积 当时 取得最大值 最 大值为 所以四边形的面积的最大值为 8 已知点 A B 的坐标分别是 直线相交于点 M 且它们的斜率之积为 2 求动点 M 的轨迹方程 若过点的直线 交动点 M 的轨迹于 C D 两点 且 N 为线段 C D 的中点 求直线 的方程 答案 答案 解 设 因为 所以 化简得 6 分 设 当直线 x 轴时 直线 的方程为 则 其中点不是 N 不合题意 8 分 设直线 的方程为 将代入得 1 2 10 分 1 2 整理得 12 分 直线 的方程为 即所求直线 的方程为 14 分 题型 3 对称问题 9 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点 则等于 A B C D 答案详解C 正确率 53 易错项 B 解析 本题主要考查抛物线与直线的关系 设直线的方程为 与抛物线联立得 由韦达定 理得 进而可求出的中点 又因为在直线 上 代入可得 由弦长公式可求出 故本题正确答案为 C 10 已知椭圆 1 上的两个动点 P Q 设 P x1 y1 Q x2 y2 且 x1 x2 2 1 求证 线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A 2 设点 A 关于原点 O 的对称点是 B 求 PB 的最小值及相应的 P 点坐标 答案详解 1 见解析 2 PB min P 的坐标为 0 解析 1 证明 P x1 y1 Q x2 y2 且 x1 x2 2 当 x1 x2时 由得 设线段 PQ 的中点 N 1 n kPQ 线段 PQ 的垂直平分线方程为 y n 2n x 1 2x 1 n y 0 该直线恒过一个定点 A 当 x1 x2时 线段 PQ 的中垂线也过定点 A 综上 线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A 2 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称 故点 B 2 x1 2 2 x2 2 x1 2 x2 0 2 PB 2 2 y x1 1 2 当点 P 的坐标为 0 时 PB min 题型 4 求参数的取值范围及最值得综合题 11 过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 O 是坐标 原点 则的最小值是 A 2 B C 4 D 答案C 解 根据题意知 抛物线 y2的焦点坐标为 当斜率 k 存在时 设直线 AB 的方程为 由 2x222 设出 1 y1 2 y2 则 x1x2 根据抛物线的定义得出 121x2 x1 x2 1 当斜率 k 不存在时 则的最小值是 4 12 在平面直角坐标系中 为双曲线右支上的一个动点 若点 到直线的距离大于 恒成立 则实数 的最大值为 答案详解 解析 本题主要考查双曲线的性质 由题可画图 由双曲线方程 可得 则双曲线的渐近线方程为 因为双曲线无线接近于渐近线 直线与平行 两直线之 间的距离 即为 的最大值 故本题正确答案为 13 若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点 点 为椭 圆上任意一点 则 最大值为 答案6 解析将椭圆方程变形可得 所以 设 则 即 所以的最大值为 6 题型 5 定点与定值问题 14 已知直线 圆 椭圆的 离心率 直线 被圆 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 求椭圆 的方程 过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线 若切线都存在斜率 求证 两切线斜率之积为定