椭圆和双曲线练习题及答案

第 1 页 共 8 页 圆锥曲线测试题 一 选择题 共 12 题 每题 5 分 1 已知椭圆的两个焦点为 且 1 25 2 2 2 y a x 5 a 1 F 2 F8 21 FF 弦 AB 过点 则 的周长为 1 F 2 ABF A 1010 B 2020 C 2 D 41414 2 椭圆上的点 P 到它的左准线的距离是 10 那么点 P 1 36100 22 yx 到它的右焦点的距离是 A 15 B 12 C 10 D 8 3 椭圆的焦点 P 为椭圆上的一点 已知1 925 22 yx 1 F 2 F 则 的面积为 21 PFPF 21PF F A 9 B 12 C 10 D 8 4 以坐标轴为对称轴 渐近线互相垂直 两准线间距离为 2 的 双曲线方程是 A B 2 22 yx2 22 xy C 或 D 或4 22 yx4 22 xy2 22 yx2 22 xy 5 双曲线右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2 则1 916 22 yx P 点到左准线的距离为 A 6 B 8 C 10 D 12 6 过双曲线的右焦点 F2有一条弦 PQ PQ 7 F1是左8 22 yx 焦点 那么 F1PQ 的周长为 A 28 B C D 2814 2814 28 7 双曲线虚轴上的一个端点为 M 两个焦点为 F1 F2 则双曲线的离心率为 120 21MF F A B C D 3 2 6 3 6 3 3 8 在给定双曲线中 过焦点垂直于实轴的弦长为2 焦点到相 应准线的距离为 2 1 则该双曲线的离心率为 第 2 页 共 8 页 A 2 2 B 2 C 2 D 22 9 如果椭圆的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的1 936 22 yx 直线方程是 A B C D 02 yx042 yx01232 yx 082 yx 10 如果双曲线 22 1 42 xy 上一点P到双曲线右焦点的距离是 2 那么点P到y轴的距离是 A 4 6 3 B 2 6 3 C 2 6 D 2 3 11 中心在原点 焦点在 y 轴的椭圆方程是 22 sincos1xy 0 2 则 A 0 4 B 0 4 C 4 2 D 4 2 12 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为 3的直线交C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为 w w w k s 5 u c o m A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 第 3 页 共 8 页 9 5 二 填空题 20 13 与椭圆具有相同的离心率且过点 2 的椭圆的 22 1 43 xy 3 标准方程是 14 离心率 一条准线为的椭圆的标准方程是 3 5 e3 x 15 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的 动点 则PFPA 的最小值为 16 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若双曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线 的离心率的取值范围是 三 解答题 70 17 已知椭圆 C 的焦点 F1 0 和 F2 0 长轴2222 长 6 设直线交椭圆 C 于 A B 两点 求线段 AB 的中点2 xy 坐标 18 已知双曲线与椭圆共焦点 它们的离心率之和为1 259 22 yx 求双曲线方程 5 14 19 求两条渐近线为且截直线所得弦长为02 yx03 yx 的双曲线方程 3 38 20 1 椭圆 C a b 0 上的点 A 1 到两焦点的距1 2 2 2 2 b y a x 2 3 离之和为 4 求椭圆的方程 2 设 K 是 1 中椭圆上的动点 F1是左焦点 求线段 F1K 第 4 页 共 8 页 的中点的轨迹方程 3 已知椭圆具有性质 若 M N 是椭圆 C 上关于原点对称的 两点 P 是椭圆上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存 在并记为 kPM kPN时 那么是与点 P 位置无关的定 PNPM kk 值 试对双曲线 写出具有类似特性的性质 并1 2 2 2 2 b y a x 加以证明 解 1 1 34 2 2 y x 2 设中点为 x y F1 1 0 K 2 x y 在上 1 34 2 2 y x 1 34 2 22 yx 3 设 M x1 y1 N x1 y1 P xo yo xo x1 则 1 2 2 1 22 a x o by 1 2 2 1 22 1 a x by 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 02 2 1 2 0 2 1 2 0 10 10 10 10 a b xx b xx yy xx yy xx yy PNPM a xx kk 为定值 21 1 当 k 为何值时 直线 l 与双曲线有一个交点 两个交点 没有交点 2 过点 P 1 2 的直线交双曲线于 A B 两点 若 P 为弦 AB 的中点 求直线 AB 的方程 第 5 页 共 8 页 3 是否存在直线 使 Q 1 1 为 被双曲线所截弦的中点 ll 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 l 解 1 当直线当直线 l l 的斜率不存在时 的斜率不存在时 l l 的方程为的方程为 x 1 x 1 与曲线与曲线 C C 有一个交点有一个交点 当当 l l 的斜率存在时 设直线的斜率存在时 设直线 l l 的方程为的方程为 y y 2 k x2 k x 1 1 代入代入 C C 的方程 并整理得的方程 并整理得 2 2 k k2 2 x x2 2 2 k 2 k2 2 2k 2k x x k k2 2 4k 4k 6 0 6 0 当当 2 2 k k2 2 0 0 即即 k k 时 方程时 方程 有一个根 有一个根 l l 与与 C C2 有一个交点有一个交点 当当 2 2 k k2 2 0 0 即即 k k 时时2 2 k2 k2 2 2k 2k 2 2 4 24 2 k k2 2 k k2 2 4k 4k 6 16 36 16 3 2k 2k 当当 0 0 即即 3 3 2k 0 k 2k 0 k 时 方程时 方程 有一个实根 有一个实根 l l 与与 2 3 C C 有一个交点有一个交点 当当 0 0 即即 k k 又又 k k 故当故当 k k 或或 2 3 22 k k 或或 k k 时 方程时 方程 有两不等实根 有两不等实根 l l 与与 C C 有有222 2 3 两个交点两个交点 当当 0 0 即 即 k k 时 方程时 方程 无解 无解 l l 与与 C C 无交点无交点 2 3 第 6 页 共 8 页 综上知 当综上知 当 k k 或或 k k 或 或 k k 不存在时 不存在时 l l 与与 C C 只有只有2 2 3 一个交点 一个交点 当当 k k 或 或 k k 或或 k k 时 时 l l 与与 C C 有两有两2 2 3 222 个交点 个交点 当当 k k 时 时 l l 与与 C C 没有交点没有交点 2 3 2 2 假设以 假设以 P P 为中点的弦为为中点的弦为 ABAB 且 且 A xA x1 1 y y1 1 B x B x2 2 y y2 2 则则 2x2x1 12 2 y y1 12 2 2 2x 2 2x2 22 2 y y2 22 2 2 2 两式相减得 两式相减得 2 x2 x1 1 x x2 2 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2 y y1 1 y y2 2 又又 x x1 1 x x2 2 2 y 2 y1 1 y y2 2 4 4 2 x 2 x1 1 x x2 2 y y1 1 y y1 1 即即 k kAB AB 1 1 21 21 xx yy 但渐近线斜率为但渐近线斜率为 结合图形知直线结合图形知直线 ABAB 与有交点 所以以与有交点 所以以 P P2 为中点的弦为 为中点的弦为 y x 1 y x 1 3 3 假设以假设以 Q Q 为中点的弦存在 设为为中点的弦存在 设为 ABAB 且 且 A xA x1 1 y y1 1 B xB x2 2 y y2 2 则 则 2x2x1 12 2 y y1 12 2 2 2x 2 2x2 22 2 y y2 22 2 2 2 两式相减得 两式相减得 2 x2 x1 1 x x2 2 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2 y y1 1 y y2 2 又又 x x1 1 x x2 2 2 y 2 y1 1 y y2 2 2 2 2 x 2 x1 1 x x2 2 y y1 1 y y1 1 即即 k kAB AB 第 7 页 共 8 页 2 2 21 21 xx yy 但渐近线斜率为 结合图形知直线 AB 与 C 无交点 故假设2 不正确 即以 Q 为中点的弦不存在 13 与椭圆具有相同的离心率且过点 2 的椭 22 1 43 xy 3 圆的标准方程是 或或 22 1 86 xy 22 34 1 2525 yx 14 离心率 一条准线为的椭圆的标准方程是 3 5 e3 x 22 9 1 520 xy 17 已知椭圆 C 的焦点 F1 0 和 F2 0 长轴2222 长 6 设直线交椭圆 C 于 A B 两点 求线段 AB 的中点2 xy 坐标 8 分 解 由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上 其中 c a 3 从而22 b 1 所以其标准方程是 联立方程组 消去 y 得 2 2 1 9 x y 2 2 1 9 2 x y yx 2 1036270 xx 设 A B AB 线段的中点为 M 则 11 x y 22 xy 00 xy 12 18 5 xx 0 x 12 9 25 xx 所以 2 也就是说线段 AB 中点坐标为 0 y 0 x 1 5 9 5 1 5 18 已知双曲线与椭圆共焦点 它们的离心率之和为1 259 22 yx 求双曲线方程 10 分 5 14 解 由于椭圆焦点为 F 0 4 离心率为 e 所以双曲线的焦 4 5 点为 F 0 4 离心率为 2 从而 c 4 a 2 b 2 3 第 8 页 共 8 页 所以求双曲线方程为 22 1 412 yx 20 求两条渐近线为且截直线所得弦长为02 yx03 y