2016年江西省中考数学试卷及答案

江西省江西省 20162016 年中等学校招生考试数学试卷年中等学校招生考试数学试卷 说明 说明 1 本卷共有六个大题 24 个小题 全卷满分 120 分 考试时间 120 分钟 2 本卷分为试题卷和答题卷 答案要求写在答题卷上 不得在试题卷上作答 否则不给 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 3 3 分 共分 共 1818 分 每小题只有一个正确选项 分 每小题只有一个正确选项 1 下列四个数中 最小的数是 A B 0C 2D 2 1 2 答案答案 C 考点考点 有理数大小比较 分析分析 根据有理数大小比较的法则 正数都大于 0 负数都小于 0 正数大于一切负数 进行比较即可 解答解答 解 在 0 2 2 这四个数中 大小顺序为 2 0 2 所以最小的数是 1 2 1 2 故选 C 1 2 点评点评 本题主要考查了有理数的大小的比较 解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法 则 属于基础题 2 某市 月份某周气温 单位 为 23 25 28 25 28 31 28 这给数据的众数和中位 数分别是 A 25 25 B 28 28 C 25 28 D 28 31 答案答案 B 考点考点 众数和中位数 分析分析 根据中位数的定义 将一组数据从小到大或从大到小排序 处于中间 数据个数为奇 数时 的数或中间两个数的平均数 数据为偶数个时 就是这组数据的中位数 众数是指一组 数据中出现次数最多的那个数 解答解答 这组数据中 28 出现 4 次 最多 所以众数为 28 由小到大排列为 23 25 25 28 28 28 31 所以中位数为 28 选 B 点评点评 本题考查的是统计初步中的基本概念 中位数和众数 要知道什么是中位数 众 数 3 下列运算正确的是是 A a2 a3 a5 B 2a2 3 6a5 C 2a 1 2a 1 2a2 1D 2a3 a2 2a 2a 1 答案答案 D 考点考点 代数式的运算 分析分析 本题考查了代数式的有关运算 涉及单项式的加法 除法 完全平方公式 幂的运算 性质中的同底数幂相除 积的乘方和幂的乘方等运算性质 正确掌握相关运算性质 法则是解题 的前提 根据法则直接计算 解答解答 A 选项中与不是同类项 不能相加 合并 与相乘才得 B 是幂的乘 3 a 2 a 3 a 2 a 5 a 方 幂的运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 幂的乘方 底数不变 指数相乘 结果应该 8 C 是平方差公式的应用 结果应该是 D 是多 6 a 2 4a1 项式除以单项式 除以 2a 变成乘以它的倒数 约分后得 2a 1 故选 D 4 直线y x 1 与 y 2x a 的交点在第一象限 则 a 的取值可以是 A 1B 0C 1D 2 答案答案 D 考点考点 两条直线相交问题 一次函数图像和性质 一元一次不等式组的解法 考生的直觉判 断能力 分析分析 解法一 一次函数 y kx b 当 k 0 b 0 时 直线经过一 三 二象限 截距在 y 的 正半轴上当 k 0 b 0 时 图解经过一 三 四象限 截距在 y 的负半轴上 当 k0 时 直线经过二 四 一象限 截距在 y 的正半轴上 当 k 0 b1 故选 D 点评点评 本题考查了两直线相交的问题 第一象限内点的横坐标是正数 纵坐标是正数 以及一 元一次不等式组的解法 把 a 看作常数表示出 x y 是解题的关键 5 如图 贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩 做好后发现上口太小了 于是他把纸灯罩对齐奢 压扁 剪去上面一截后 正好合适 以下裁剪示意图中 正确的是 答案答案 A 考点考点 图形与变换 分析分析 可用排除法 B D 两选项肯定是错误的 正确答案为 A 解答解答 答案为 A 6 已知反比例函数的图像如右图所示 则二次函数的图像大致为 k y x 22 24ykxxk 答案答案 D 考点考点 二次函数的图象与性质 反比例函数的图象与性质 分析分析 反比例函数的图像作用是确定 k 的正负 从双曲线在二 四象限可知 k0 或 a0 的图象上 点 P 在 y 轴负半轴上 OP 7 k y x DAOA 1 求点 B 的坐标和线段 PB 的长 2 当时 求反比例函数的解析式 90PDB 答案答案 B 0 3 PB 10 反比例函数的解析式是 4 y x 考点考点 反比例函数与一次函数的交点问题 分析分析 1 根据勾股定理求出 OB 即可得出答案 2 过点 D 作 DM y 轴 垂足为 M 设 D 的坐标是 4 y 证 BDM DPM 得出比例式 代 入即可求出 y 把 D 的坐标代入求出即可 解答解答 解 1 AB 5 OA 4 AOB 90 由勾股定理得 OB 3 即点 B 的坐标是 0 3 OP 7 线段 PB OB OP 3 7 10 2 过点 D 作 DM y 轴于 M PDB 90 BDP DMB DMP 90 DBM BDM 90 BDM MDP 90 DBM MDP DBM PDM DMPM BMDM OA 4 DM y 轴 设 D 点的坐标为 4 y y 0 47 34 y y 解得 即点 D 的坐标为 4 1 21 5 1yy 不合题意 舍去 把点 D 的坐标代入 得 k 4 即反比例函数的解析式是 k y x 4 y x 点评点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题 用待定系数法求函数的解析式的应用 主要考查学生的理解能力和计算能力 题目比较典型 难度不大 20 某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状 随机抽取某部分初中学生进行了调查 依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表 请根据图表中的信息解答下列问题 1 求样本容量及表格中 a b c 的值 并补全统计图 2 若该校共有初中生 2300 名 请估计该校 不重视阅读教科书 的初中生人数 3 根据上面的统计结果 谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况 你认为应该如何进行抽样 答案答案 略 考点考点 频数 率 分布直方图 用样本估计总体 分析分析 1 利用类别为 一般 人数与所占百分比 进而得出样本容量 进而得出 a b c 的值 2 利用 不重视阅读数学教科书 在样本中所占比例 进而估计全校在这一类别的人数 3 根据 1 中所求数据进而分析得出答案 再从样本抽出的随机性进而得出答案 解答解答 解 1 由题意可得出 样本容量为 57 0 38 150 人 a 150 0 3 45 b 150 57 45 9 39 c 39 150 0 26 如图所示 2 若该校共有初中生 2300 名 该校 不重视阅读数学教科书 的初中人数约为 2300 0 26 598 人 3 根据以上所求可得出 只有 30 的学生重视阅读数学教科书 有 32 的学生不重视阅 读数学教科书或说不清楚 可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书 同学们应重视阅读数学 教科书 从而获取更多的数学课外知识和对相关习题 定理的深层次理解与认识 如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况 应随机抽取不同的学校以及不同的年级进 行抽样 进而分析 点评点评 此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图和利用样本估计总体等知识 理论联 系实际进而结合抽样调查的随机性进而得出是解题关键 21 图 1 中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成 每相邻两个菱形均成 30 度的夹角 示意图如图 2 所示 在图 2 中 每个菱形的边长为 10cm 锐角为 60 度 1 连接 CD EB 猜想它们的位置关系并加以证明 2 求 A B 两点之间的距离 结果取整数 可以使用计算器 参考数据 21 141 31 732 62 45 考点考点 解直角三角形的应用 菱形的判定与性质 分析分析 1 连接 DE 根据菱形的性质和角的和差关系可得 CDE BED 90 再根据平行线 的判定可得 CD EB 的位置关系 2 根据菱形的性质可得 BE DE 再根据三角函数可得 BD AD 根据 AB BD AD 即可求解 解答解答 解 1 CD EB 连接 DE 中国结挂件是四个相同的菱形 每相邻两个菱形均成 30 的夹角 菱形的锐角为 60 CDE 60 2 2 30 90 BED 60 2 2 30 90 CDE BED CD EB 2 连接 AD BD ACD 90 AC DC DAC ADC 45 同理可证 BDE EBD 45 CDE 90 ADB ADB BDE CDE 180 即点 A D B 在同一直线上 BE 2OE 2 10 cos30 10cm 3 DE BE 10cm 3 在 Rt BED 中 cm 2222 10 3 10 3 10 6BEDEBD 同理可得 AD 10 cm 3 AB BD AD 20 20 2 45 49cm 即 A B 两点之间的距离大约为 49cm 3 点评点评 此题考查了解直角三角形的应用 菱形的性质和平行线的判定 主要是三角函数的基 本概念及运算 关键是运用数学知识解决实际问题 五 五 本大题共 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 9 9 分 共分 共 1818 分 分 22 如图 1 AB 是圆 O 的直径 点 C 在 AB 的延长线上 AB 4 BC 2 P 是圆 O 上半部分的一个动 点 连接 OP CP 1 求 OPC 的最大面积 2 求 OCP 的最大度数 3 如图 2 延长 PO 交圆 O 于点 D 连接 DB 当 CP DB 求证 CP 是圆 O 的切线 考点考点 切线的判定与性质 分析分析 1 2 都是当 PC 相切与圆时 面积和 OCP 的度数最大 根据切线的性质即可求得 3 连接 AP BP 通过 ODB BPC 可求得 DP PC 从而求得 PC 是 O 的切线 解答解答 解 1 OPC 的边长 OC 是定值 当 OP OC 时 OC 边长的高为最大值 此时 OPC 的面积最大 此时 PC 即为 O 的切线 AB 4 BC 2 OP OB 2 OC OB BC 4 11 4 24 22 OPC SOC OP 即 OPC 的最大面积为 4 2 当 PC 与 O 相切即 OP PC 时 OCP 的度数最大 在 Rt OPC OPC 90 OC 4 OP 2 21 sin OCP 42 OP OC OCP 即 OCP 的最大度数为 30 3 连接 AP BP AOP DOB AP DB CP DB AP CP A C A D C D 在 PDB 与 OCP 中 OC PD 4 C D PC BD PDB OPC SAS OPC PBD PD 是直径 PBD 90 OPC 90 OP PC 又 OP 是圆 的半径 PC 是 O 的切线 23 如图 1 边长为 4 的正方形 ABCD 中 点 E 在 AB 边上 不与点 A B 重合 点 F 在 BC 边上 不与点 B C 重合 第一次操作 将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 当点 E 落在正方形上时 记为点 G 第二次操作 将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转 当点 F 落在正方形上时 记为点 H 依此操作下去 1 图 2 中的三角形 EFD 是经过两次操作后得到的 其形状为 求此时线段 EF 的长 2 若经过三次操作可得到四边形 EFGH 请判断四边形 EFGH 的形状为 此时 AE 与 BF 的数量关系是 以 中的结论为前提 设 AE 的长为 x 四边形 EFGH 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式及 面积 y 的取值范围 考点考点 正方形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 图形与旋转 勾股定理 分析分析 1 根据正方形的性质 证明旋转后得到的两个直角三角形全等 得出 AE 和 FC 相等 再用勾股定理列出方程即可 2 根据旋转的性质可判定四边形 EFGH 是正方形 得出 AE BF 根据正方形的面积公式 找出 AE 长与正方形面积之间的等量关系式 解答解答 1 等边三角 四边形 ABCD 是正方形 AD CD BC AB A B C 90 ED FD ADE CDF HL AE CF BE BF BEF 是等腰直角三角形 设 BE 的长为 x 则 EF x AE 4 x 2 在 t AED 中 DE EF 222 AEADDE 222 4 x 4 2 x 解得 不合题意 舍去 1 44 3x 2 44 3x EF x 4 42244 3 6 2 四边形 EFGH 为正方形 AE BF AE x BE 4 x 在 t BED 中 AE BF 222 EFBFBE 222222 4 16 82816yEFxxxxxxx 点 E 不与点 A B 重合 点 F 不与点 B C 重合 0 x 4 2 2816yxx 2 2 44 8xx 2 2 2 8x 当 x 2 时有最小值 8 当 x 0 或 4 时 有最大值 16 y 的取值范围是 8 y 16 点评点评 此题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理的应用以及旋转的性质 准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键 24 如图 1 抛物线的顶点为 M 直线 y m 与 x 轴平行 且与抛物线交 2 0 yaxbxc a 于点 A B 若三角形 AMB 为等腰直角三角形 我们把抛物线上 A B 两点之间的部分与线段 AB 围 成的图形称为该抛物线对应的准蝶形 线段 AB 称为碟宽 顶点 M 称为碟顶 点 M 到线段 AB 的距 离称为碟高 1 抛物线对应的碟宽为 抛物线对应的碟宽为 抛物线 2 1 2 yx 2 4yx a 0 对应的碟宽为 抛物线对应的碟宽 2 yax 2 2 3 0 ya xa 2 若抛物线对应的碟宽为 6 且在 x 轴上 求 a 的值 2 5 4 0 3 yaxaxa 3 将抛物线的对应准蝶形记为 Fn n 1 2 3 定义 2 0 nnnnn ya xb xca F1 F2 Fn为相似准蝶形 相应的碟宽之比即为相似比 若 Fn与 Fn 1的相似比为 且 Fn的 1 2 碟顶是 Fn 1的碟宽的中点 现在将 2 中求得的抛物线记为 y1 其对应的准蝶形记为 F1 求抛物线 y2的表达式 若 F1的碟高为 h1 F2的碟高为 h2 Fn的碟高为 hn 则 hn Fn的碟宽右端点横坐 标为 F1 F2 Fn的碟宽右端点是否在一条直线上 若是 直接写出改直线的表达式 若不是 请说明理由 答案答案 1 4 2 3 2 a 2 a 1 3 2 2 288 333 yxx 11 33 2 22 nn 5yx 考点考点 二次函数解析式与图像性质 等腰直角三角形性质 探索规律 分析分析 1 根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线 y x2 抛物线 y 4x2的碟宽 且都 1 2 利用第一象限端点 B 的横纵坐标的相等 类似推广至含字母的抛物线 y ax2 a 0 而抛物线 y a x 2 2 3 a 0 为顶点式 可看成 y ax2向右 向上平移得到 因而发现碟宽的规律 只与 a 有关 碟宽 2 a 亦可先根据画出二次函数的大致图像 根据题意并从图像分析可知 其准碟形碟宽 2 yax 两端点 A B 和抛物线的顶点 M 围成的 AMB 是等腰直角三角形 进而知道 A B 两点的纵坐标和 横坐标绝对值相等 代入即可求出二次项系数 a 与碟宽之间的关系式 而 y a x 2 2 yax 2 3 a 0 为顶点式 可看成 y ax2平移得到 只与 a 有关 2 根据 1 中的结论 根据碟宽为 6 列出方程 6 求出 a 的值 2 a 3 把 2 中求出的 a 代入 得出 y1的解析式 易推出 y2 结合画图 易知 都在直线 x 2 上 但证明需要有一般推广 123 hhh 1 hn hn 可以考虑 且都过 Fn 1的碟宽中点 进而可得 另外 画图时易知碟宽有规律递减 所 n h 1n h 以推理也可得右端点的特点 对于 F1 F2 Fn的碟宽右端点是否在一条直线上 如果写出所 有端点规律不可能 找规律更难 所以可以考虑基础的几个图形关系 如果相邻 3 个点构成的两 条线段不共线 则结论不成立 反正结论成立 而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即 可 解答解答 解 1 4 1 2 2 a 2 a a 0 y ax2的图象大致如图 1 其必经过原点 O 记线段 AB 为其准蝶形碟宽 AB 与 y 轴的交点为 C 连接 OA OB OAB 为等腰直角三角形 AB x 轴 OC AB AOC BOC AOB 90 45 1 2 1 2 即 AOC BOC 亦为等腰直角三角形 AC OC BC 即 A B 两点 x 轴和 y 轴坐标绝对值相同 AABB xyxy 代入 得方程 解得 2 yax 2 xax 1 x a 由图像可知 A B C 0 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 即 AC OC BC 1 a AB 2 1 a 2 a 即的碟宽为 AB 2 yax 2 a 抛物线 y x2对应的 得碟宽 4 1 2 1 a 2 2 a 抛物线 y 4x2对应的 a 4 得碟宽 2 a 1 2 抛物线 a 0 的碟宽为 2 yax 2 a 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 可看成 y ax2向右平移 2 个单位长度 再向上平移 3 个单位 长度后得到的图形 平移不改变形状 大小 方向 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 的准碟形 抛物线 y ax2的准碟 抛物线 y ax2 a 0 碟宽为 2 a 抛物线 y a x 2 2 3 a 0 碟宽为 2 a 2 解法一 y ax2 4ax a x 2 2 4a 5 3 5 3 同 1 得其碟宽为 2 a y ax2 4ax 的碟宽为 6 5 3 6 解得 a 2 a 1 3 y x 2 2 3 1 3 解法二 可得 2 5 4 0 3 yaxaxa 2 5 2 4 3 ya xa 又已知碟宽在 x 轴上 碟高 3 解得 a 5 4 3 a 6 2 1 3 又 a 0 a Error Error ReferenceReference sourcesource notnot found found 不合题意舍去 a1 1 3 1 3 3 3 解法一 F1的碟宽 F2的碟宽 2 1 12 22 2 1 aa 1 1 a 3 2 2 a 3 的碟宽 AB 在 x 轴上 A 在 B 左边 2 1 1 yx23 3 A 1 0 B 5 0 F2的碟顶坐标为 2 0 2 2 2 yx2 3 解法二 a 2 1 5 2 4 3 ya xa 1 3 2 1 1 2 3 3 yx 即碟顶的坐标为 2 3 1 M 的碟顶是的碟宽的中点 且的碟宽线段在 x 轴上 2 F 1 F 的碟顶的坐标为 2 0 设 2 F 2 M 2 22 2 yax 与的相似比为 的碟宽为 6 2 F 1 F 1 2 1 F