等腰三角形典型例题

等腰三角形 1 如图 已知点C为线段AB上一点 和都是等边三角形 AN BM相 交于点O AN CM交于点P BM CN交于点Q 1 求证 2 求的度数 3 求证 分析 1 欲证 只需证明它所在的两个三角形全等 2 的 度数可用的外角来求 但要注意全等所得到这一条件的使用 3 要 则 应该为一个等边三角形 可证明 从而得到 1 证明 和都是等边三角形 即 在和中 2 由 1 知 即 3 在和中 又 即 点拨 1 要证明线段相等 或角相等 找它们所在的三角形全等 2 本题的图形规律 共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中 存在一对或多 对绕公共点旋转变换的三角形全等 2 如图 在中 的平分线AM的 长 15 求BC的长 分析 由AM平分 可得 则 所以 在中 可 得 由 可求出BC的长 解 在中 AM平分 在中 点拨 含 30 度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用 此 性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法 3 如图 求证 分析 根据已知 联想到等腰三角形 三线合一 通过辅 助线将证明转化为证明 证明 延长CE BA交于点F 在和中 即 在和中 点拨 1 利用等腰三角形 三线合一 不仅能得到线段相等 角相等 而且能得到线段 的倍半关系 2 联系等腰三角形 三线合一 作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用 的辅助线 4 如图 ABC中 AB AC 在AB边上取点D 在AC延长线上取点E 使 BD CE 连结DE交BC于G 求证 DG GE 分析 由于 ABC是等腰三角形 D为AB上一点 E为AC延长线上一点 故可考 虑过D或E作腰AC或AB的平行线 通过构造等腰三角形 可获得结论 证法 1 过D作DF AC 交BC于F 如图 DFB ACB 又 AB AC B ACB B DFB DB DF CE BD 已知 DF CE 又 DGF CGE GDF E DFG ECG AAS DG GE 证法 2 过E作EM AB交BC延长线于M B M 又 AB AC B ACB 又 ACB ECM M ECM EC EM CE BD 已知 EM BD 在 BDG与 MEG中 BDG MEG AAS DG GE 点拨 1 本题的证明方法很多 其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助 BD CE条件 构造新的 等腰三角形来寻求结论 2 本题在推证含DG GE为对应边的两个三角形全等时 寻找等边是一个难点 也是本题最易出错的 地方 主要表现为把BD CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边 5 已知 如图 ABC中 AB AC A 36 仿照图 1 请你再设计两种 不同的方法 将 ABC分割成 3 个三角形 使得每个三角形都是等腰三角形 如图 1 2 图 2 3 供画图用 作图工具不限 不要求写画法 不要求证明 要求标出所 分得的每个等腰三角形三个内角的度数 分析 由于所给三角形是一个含 36 的等腰三角形 因而将它分成三个等腰三角形 时仍只需考虑以 36 72 108 等为内角的等腰三角形即可 解 本题显然应有多种结果 现提供 3 种 以供同学们参考 如图中 2 3 4 点拨 像本例这种图形的分割问题的求解 一方面应把握原图形的特征 借助经验 予以解决 另一方面还应大胆尝试 在操作中获得结果 6 如图 在一个宽度为的小巷内 一个梯子的长度为b 梯子的脚位于 P点 将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时 Q点离地面的高度为c 此时梯子与地面的夹 角为 将梯子顶端放于对面一堵墙上R点 离开地面的高度为d 此时梯子与地面的 夹角