课时作业与单元检测《平面向量基本定理》

2 3 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 2 2 3 13 1 平面向量基本定理平面向量基本定理 课时目标 1 理解并掌握平面向量基本定理 2 掌握向量之间的夹角与垂直 1 平面向量基本定理 1 定理 如果 e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的 向量 a 实数 1 2 使 a 2 基底 把 的向量 e1 e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底 2 两向量的夹角与垂直 1 夹角 已知两个 a 和 b 作 a b 则 0 180 OA OB 叫做向量 a 与 b 的夹角 范围 向量 a 与 b 的夹角的范围是 当 0 时 a 与 b 当 180 时 a 与 b 2 垂直 如果 a 与 b 的夹角是 则称 a 与 b 垂直 记作 一 选择题 1 若 e1 e2是平面内的一组基底 则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A e1 e2 e2 e1 B 2e1 e2 e1 e2 1 2 C 2e2 3e1 6e1 4e2 D e1 e2 e1 e2 2 等边 ABC 中 与的夹角是 AB BC A 30 B 45 C 60 D 120 3 下面三种说法中 正确的是 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无 数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 A B C D 4 若 a b 1 则等于 OP1 OP2 P1P PP2 OP A a b B a 1 b C a b D a b 1 1 1 5 如果 e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么在下列各命题中不正确的有 e1 e2 R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 中的任一向量 a 使 a e1 e2的实数 有无数多对 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则有且只有一个实数 使 1e1 1e2 2e1 2e2 若实数 使 e1 e2 0 则 0 A B C D 6 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 F 是 AD 上的一点 且 连结 CF 并 AF FD 1 5 延长交 AB 于 E 则等于 AE EB A B C D 1 12 1 3 1 5 1 10 题 号123456 答 案 二 填空题 7 设向量 m 2a 3b n 4a 2b p 3a 2b 试用 m n 表示 p p 8 设 e1 e2是不共线的两个向量 给出下列四组向量 e1与 e1 e2 e1 2e2与 e2 2e1 e1 2e2与 4e2 2e1 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 写出所有满足条件的序号 9 在 ABC 中 c b 若点 D 满足 2 则 AB AC BD DC AD 10 在平行四边形 ABCD 中 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点 若 其中 AC AE AF R 则 三 解答题 11 如图所示 已知 ABC 中 D 为 BC 的中点 E F 为 BC 的三等分点 若 a b 用 a b 表示 AB AC AD AE AF 12 如图所示 已知 AOB 中 点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点 2 DC 和 OD DB OA 交于点 E 设 a b OA OB 1 用 a 和 b 表示向量 OC DC 2 若 求实数 的值 OE OA 能力提升 13 如图所示 OM AB 点 P 在由射线 OM 线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内 不含边界 运动 且 x y 则 x 的取值范围是 当 x 时 y 的取值 OP OA OB 1 2 范围是 14 如图所示 在 ABC 中 点 M 是 BC 的中点 点 N 在边 AC 上 且 AN 2NC AM 与 BN 相交于点 P 求证 AP PM 4 1 1 对基底的理解 1 基底的特征 基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两 向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解 即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量和的形式 且分解是唯一的 2 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想 用向量解决几何问题时 我们可以选 择适当的基底 将问题中涉及的向量向基底化归 使问题得以解决 2 3 2 3 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 2 2 3 13 1 平面向量基本定理平面向量基本定理 答案答案 知识梳理 1 1 不共线 任意 有且只有一对 1e1 2e2 2 不共线 所有 2 1 非零向量 AOB 0 180 同向 反向 2 90 a b 作业设计 1 D 2 D 3 B 4 D P1P PP2 OP OP1 OP2 OP 1 OP OP1 OP2 a b OP 1 1 OP1 1 OP2 1 1 1 5 B 由平面向量基本定理可知 是正确的 对于 由平面向量基本定理可知 一 旦一个平面的基底确定 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当两 向量的系数均为零 即 1 2 1 2 0 时 这样的 有无数个 故选 B 6 D 设 a b AB AC AE EB AF FD 1 5 CF CA AF CA 1 6AD 1 12 AB AC AC a b 1 12AB 11 12AC 1 12 11 12 CE CA AE CA 1 AB 1 AB AC a b 1 CF CE 1 1 12 1 11 12 1 10 7 m n 7 4 13 8 解析 设 p xm yn 则 3a 2b x 2a 3b y 4a 2b 2x 4y a 3x 2y b 得Error Error 8 解析 对于 4e2 2e1 2e1 4e2 2 e1 2e2 e1 2e2与 4e2 2e1共线 不能作为基底 9 b c 2 3 1 3 解析 b c AD AB BD AB 2 3BC AB 2 3 AC AB 1 3AB 2 3AC 2 3 1 3 10 4 3 解析 设 a b AB AD 则 a b AE 1 2 a b AF 1 2 又 a b AC 即 AC 2 3 AE AF 2 3 4 3 11 解 a b a a b AD AB BD AB 1 2BC 1 2 1 2 1 2 a b a a b AE AB BE AB 1 3BC 1 3 2 3 1 3 a b a a b AF AB BF AB 2 3BC 2 3 1 3 2 3 12 解 1 由题意 A 是 BC 的中点 且 OD 2 3OB 由平行四边形法则 2 OB OC OA 2 2a b OC OA OB 2a b b 2a b DC OC OD 2 3 5 3 2 又 2a b a 2 a b 2a b EC DC EC OC OE DC 5 3 2 2 1 5 3 4 5 13 0 1 2 3 2 解析 由题意得 a b a b R 0 b0 OA OB 由 a 0 得 x 0 又由 x y 则有 0 x y 1 OP OA OB 当 x 时 有 0 y 1 1 2 1 2 解得 y 1 2 3 2 14 解 设 b c AB AC 则 b c c AM 1 2 1 2 AN 2 3AC 2