恒成立与存在性问题的解题策略

第 1 页 恒成立问题恒成立问题 与与 存在性问题存在性问题 的基本解题策略的基本解题策略 一 一 恒成立问题恒成立问题 与与 存在性问题存在性问题 的基本类型的基本类型 恒成立 能成立 恰成立问题的基本类型恒成立 能成立 恰成立问题的基本类型 1 恒成立问题的转化 恒成立 af x maxaf x minaf xaf x 恒成立 2 能成立问题的转化 能成立 af x minaf x maxaf xaf x 能成立 3 恰成立问题的转化 在 M 上恰成立的解集为 M af x af x R af xM af xC M 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法 若在 D 上恰成立 等价于在 D 上的最小值 AxfDx xfAxf min 若在 D 上恰成立 则等价于在 D 上的最大值 Dx Bxf xfBxf max 4 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmin 5 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmax 6 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmax 7 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmin 8 设函数 对任意的 存在 使得 设 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf f x 在区间 a b 上的值域为 A g x 在区间 c d 上的值域为 B 则 A B 9 若不等式在区间 D 上恒成立 则等价于在区间 D 上函数和图象在 f xg x yf x 函数图象上方 yg x 10 若不等式在区间 D 上恒成立 则等价于在区间 D 上函数和图象在 f xg x yf x 函数图象下方 yg x 恒成立问题的基本类型恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题恒成立的命题恒成立的命题 函数在给定区间上某结论成立问题 其表现形式通常有 在给定区间上某关系恒成立 某 函数的定义域为全体实数 R 某不等式的解为一切实数 某表达式的值恒大于 a 等等 恒成立问题 涉及到一次函数 二次函数的性质 图象 渗透着换元 化归 数形结合 函 数与方程等思想方法 有利于考查学生的综合解题能力 在培养思维的灵活性 创造性等方面 第 2 页 起到了积极的作用 因此也成为历年高考的一个热点 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型 一次函数型 二次函数型 变量分离型 根据函数的奇偶性 周期性等性质 直接根据函数的图象 二 恒成立问题解决的基本策略二 恒成立问题解决的基本策略 大家知道 恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题 等式中的恒成立大家知道 恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题 等式中的恒成立 问题 特别是多项式恒成立问题 常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问问题 特别是多项式恒成立问题 常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问 题的 题的 一 两个基本思想解决 一 两个基本思想解决 恒成立问题恒成立问题 思路 1 max xfmDxxfm 上恒成立在 思路 2 min xfmDxxfm 上恒成立在 如何在区间 D 上求函数 f x 的最大值或者最小值问题 我们可以通过习题的实际 采取合理有 效的方法进行求解 通常可以考虑利用函数的单调性 函数的图像 二次函数的配方法 三角函 数的有界性 均值定理 函数求导等等方法求函数 f x 的最值 这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛 在处理上也有许多特殊性 也是近年来高考 中频频出现的试题类型 希望同学们在日常学习中注意积累 二 赋值型 二 赋值型 利用特殊值求解等式恒成立问题利用特殊值求解等式恒成立问题 等式中的恒成立问题 常常用赋值法求解 特别是对解决填空题 选择题能很快求得 例例 1 如果函数 y f x sin2x acos2x 的图象关于直线 x 对称 那么 a 8 A 1 B 1 C D 22 略解略解 取 x 0 及 x 则 f 0 f 即 a 1 故选 B 4 4 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想 例 备用 例 备用 由等式 x4 a1x3 a2x2 a3x a4 x 1 4 b1 x 1 3 b2 x 1 2 b3 x 1 b4 定义映射 f a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 则 f 4 3 2 1 A 10 B 7 C 1 D 0 略解略解 取 x 0 则 a4 1 b1 b2 b3 b4 又 a4 1 所以 b1 b2 b3 b4 0 故选 D 三 分清基本类型 运用相关基本知识 把握基本的解题策略 三 分清基本类型 运用相关基本知识 把握基本的解题策略 1 一次函数型 一次函数型 若原题可化为一次函数型 则由数形结合思想利用一次函数知识求解 十分简捷 给定一次函数 y f x ax b a 0 若 y f x 在 m n 内恒有 f x 0 则根据函数的图象 直线 可得上述结论等价于 同理 若在 m n 内恒有 f x 2a x 恒成立的 x 的取值范围 分析分析 在不等式中出现了两个字母 x 及 a 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另一 个作为常数 显然可将 a 视作自变量 则上述问题即可转化为在 2 2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题 解解 原不等式转化为 x 1 a x2 2x 1 0 在 a 2 时恒成立 设 f a x 1 a x2 2x 1 则 f a 在 2 2 上恒大于 0 故有 即解得 0 2 0 2 f f 01 034 2 2 x xx 11 13 xx xx 或 或 x3 即 x 1 3 此类题本质上是利用了一次函数在区间 m n 上的图象是一线段 故只需保证该线段两端点 均在 x 轴上方 或下方 即可 2 二次函数型 二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点 同学们要加强学习 归纳 总结 提炼出一些具体的方 法 在今后的解题中自觉运用 1 若二次函数 y ax2 bx c a 0 大于 0 恒成立 则有00 且a 2 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题 可以利用韦达定理以及根的分布知识求解 类型 1 设在 R 上恒成立 0 2 acbxaxxf 1 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 2 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 类型 2 设在区间上恒成立 0 2 acbxaxxf 1 当时 上恒成立 0 a 0 xxf在 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 nmo x y nmo x y 第 4 页 上恒成立 0 xxf在 0 0 f f 2 当时 上恒成立0 a 0 xxf在 0 0 f f 上恒成立 0 xxf在 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 类型 3 设在区间 上恒成立 0 2 acbxaxxf f x 0 a 0 且 且 f 0 f x 0 a 0 且 且 f 0 a 0 0 或 b 2a0 f x 0 a 0 0 或 b 2a 且 f g a 恒成立 则 g a f x min 若对于 x 取值范围内的任何一个数 都有 f x f x max 其中 f x max和 f x min分别为 f x 的最大值和最小值 例例 5 已知三个不等式 要034 2 xx086 2 xx092 2 mxx 使同时满足 的所有 x 的值满足 求 m 的取值范围 略解略解 由 得 2 x3 aaxxx恒成立 求实数 不等式对任意实数 21 构造函数 画出图象 得 a 3 aaxxx恒成立 求实数 不等式对任意实数 21 利用数形结合解决恒成立问题 应先构造函数 作出符合已知条件的图形 再考虑在给定 区间上函数与函数图象之间的关系 得出答案或列出条件 求出参数的范围 例例 8 设常数 a R 函数 f x 3 x 2x a g x 2 x 若函数 y f x 与 y g x 的图像有公共点 则 a 的取值范围为 解 1 a 0 x a 2 0 时 f x 3x 2x a 5x a a 2 x 0 时 f x 3x 2x a 5x a 最小值为 a 2 则与 g x 有交点 即 2 a0 x 0 时 f x 3x 2x a 5x a 0 x a 2 时 f x 3x 2x a 5x a 最小值 a 2 时与 g x 有交点 即 0 a 2 综上所述 2 a 2 时 f x 3 x 2x a 与 g x 2 x 有交点 第 10 页 三 在恒成立问题中 主要是求参数的取值范围问题 是一种热点题型 介绍一些基本的解题三 在恒成立问题中 主要是求参数的取值范围问题 是一种热点题型 介绍一些基本的解题 策略 在学习中学会把问题分类 归类 熟练基本方法 策略 在学习中学会把问题分类 归类 熟练基本方法 一 换元引参 显露问题实质 一 换元引参 显露问题实质 1 对于所有实数 x 不等式 恒成立 求 a 的取值范围 解 解 因为的值随着参数 a 的变化而变化 若设 则上述问题实质是 当 t 为何值时 不等式恒成立 这是我们较为熟悉的二次函数问题 它等价于 求解关于 t 的不等式组 解得 即有 易得 2 设点 P x y 是圆上任意一点 若不等式 x y c0 恒成立 求实4 1 22 yx 数 c 的取值范围 二 分离参数 化归为求值域问题 二 分离参数 化归为求值域问题 3 若对于任意角总有成立 求 m 的范围 解 解 此式是可分离变量型 由原不等式得 又 则原不等式等价变形为恒成立 根据边界原理知 必须小于的最小值 这样问题化归为怎样求 2cos cos 2 f 的最小值 因为 2cos cos 2 f 第 11 页 即时 有最小值为 0 故 三 变更主元 简化解题过程 三 变更主元 简化解题过程 4 若对于 方程都有实根 求实根的范围 解解 此题一般思路是先求出方程含参数 m 的根 再由 m 的范围来确定根 x 的范围 但这样 会遇到很多麻烦 若以 m 为主元 则 由原方程知 得 又 即 解之得或 5 当时 若不等式恒成立 求的取值范围 1 a039 6 2 axaxx 四 图象解题 形象直观 四 图象解题 形象直观 6 设 若不等式恒成立 求 a 的取值范围 40 xaxxx 4 解 解 若设 则为上半圆 4 1 xxy 设 为过原点 a 为斜率的直线 在同一坐标系内 作出函数图象 依题意 半圆恒在直线上方时 只有时成立 即 a 的取值范围为 7 当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 求 a 的取值范围 解 设 y1 x 1 2 y2 logax 则 y1的图象为右图所示的抛物线 要使对一切 x 1 2 y11 并且必须也只需当 x 2 时 y2的函数值大于等于 y1的函数值 故 loga2 1 10 注意到若将等号两边看 成是二次函数 y x2 4x 及一次函数 y 2x 6a 4 则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有 唯一交点即可 解 令 y1 x2 4x x 2 2 4 y2 2x 6a 4 y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是 k 2 而截距不定的直线 要使 y1和 y2在 x 轴上 方有唯一交点 则直线必须位于 l1和 l2之间 包括 l1但不包括 l2 当直线为 l1时 直线过点 4 0 此时纵截距为 8 6a 4 0 a 2 当直线为 l2时 直线过点 0 0 纵截距为 6a 4 0 a a 的范围为 3 2 3 2 2 五 合理联想 运用平几性质 五 合理联想 运用平几性质 9 不论 k 为何实数 直线与曲线恒有交点 求 a 的范围 分析 因为题设中有两个参数 用解析几何中有交点的理论将二方程联立 用判别式来解题 是比较困难的 若考虑到直线过定点 A 0 1 而曲线为 圆 圆心 C a 0 要使直线恒与圆有交点 那么定点 A 0 1 必在圆上或圆内 解解 C a 0 当时 联想到直线与圆的位置关系 则有 点 A 0 1 必在圆上或圆内 即点 A 0 1 到圆心距离不大于半径 则有 得 六 分类讨论 避免重复遗漏 六 分类讨论 避免重复遗漏 10 当时 不等式恒成立 求 x 的范围 解解 使用的条件 必须将 m 分离出来 此时应对进行讨论 当时 要使不等式恒成立 只要 解得 当时 要使不等式恒成立 只要 解得 当时 要使恒成立 只有 综上 得 第 13 页 解法 2 可设 用一次函数知识来解较为简单 我们可以用 改变主元的办法改变主元的办法 将 m 视为主变元 即将元不等式化为 令0 12 1 2 xxm 则时 恒成立 所以只需即 12 1 2 xxmmf22 m0 mf 0 2 0 2 f f 所以 x 的范围是 此类题本质上是利用了 0 12 1 2 0 12 1 2 2 2 xx xx 2 31 2 71 x 一次函数在区间 m n 上的图象是一线段 故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方 或下方 即 可 11 当时 不等式恒成立 求实数的取值范围 31 x062 2 axxa 解 x x a 3 2 当时 当 即时等号成立 31 x6 2 3 2 3 2 x x x x3 2 6 x 故实数的取值范围 a6 a 七 构造函数 体现函数思想 七 构造函数 体现函数思想 12 1990 年全国高考题 设 其中 a 为实数 n 为任意给定的自然数 且 如果当时有意义 求 a 的取值 范围 解解 本题即为对于 有恒成立 这里有三种元素交织在一起 结构复杂 难以下手 若考虑到求 a 的范围 可先将 a 分离 出来 得 对于恒成立 构造函数 则问题转化为求函数在 第 14 页 上的值域 由于函数在上是单调增函数 则在上为单调增函数 于是有的最大值为 从而 可得 八 利用集合与集合间的关系 八 利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中 若能解出已知取值范围的变量 就可利用集合与集合之间的包含关系 来求解 即 则且 不等式的解即为实数的 m nf ag a f am g an a 取值范围 例 13 当时 恒成立 求实数的取值范围 1 3 3 x log1 a x a 解 1log1 a x 1 当时 则问题转化为 1a 1 xa a 11 3 3 a a 3 11 3 a a 3a 2 当时 则问题转化为01a 1 ax a 11 3 3 a a 1 3 1 3 a a 1 0 3 a 综上所得 或 1 0 3 a 3a 四 其它类型恒成立问题四 其它类型恒成立问题 能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的 1 已知函数 其中 12 2 axxxf x a xg 0 a0 x 对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 4 2 2 1 21 xx 21 xgxf a 分析 思路 对在不同区间内的两个函数和分别求最值 即只需满足 xf xg 即可 maxmin xgxf 简解 令n a gmax x a 2 令 m a fmin x f x x a 2 1 a2 第 15 页 故 1 对称轴 x a 1 即或 0 an a 解得 a 4 5 注意到 a 的范围 从而得 a 的范围 0 a2 时 m a fmin x f 2 5 4a 由 m a n a 解得 an a 解得或 4 171 a 注意到 a 的范围 从而得 a 的范围 4 171 a 21 a 综合 1 2 3 知实数的取值范围是 0 4 5 1 2 a 2 已知两函数 对任意 存在 使得 2 xxf mxg x 2 1 2 0 1 x 2 1 2 x 则实数 m 的取值范围为 21 xgxf 解析 对任意 存在 使得等价于在 2 0 1 x 2 1 2 x 21 xgxf mxg x 2 1 上的最小值不大于在上的最小值 0 既 2 1 m 4 1 2 xxf 2 0 0 4 1 m 4 1 m 题型二 主参换位法 已知某个参数的范围 整理成关于这个参数的函数 题型三 分离参数法 欲求某个参数的范围 就把这个参数分离出来 题型四 数形结合 恒成立问题与二次函数联系 零点 根的分布法 五 不等式能成立问题 有解 存在性 的处理方法五 不等式能成立问题 有解 存在性 的处理方法 若在区间 D 上存在实数使不等式成立 则等价于在区间 D 上 x f xA max f xA 若在区间 D 上存在实数使不等式成立 则等价于在区间 D 上的 x f xB minf xB 1 存在实数 使得不等式有解 则实数的取值范围为 x 2 313xxaa a 解 设 由有解 31f xxx 2 3f xaa 2 min 3aaf x 第 16 页 又 解得 31314xxxx 2 34aa 41aa 或 1 求使关于 p 的不等式在 p 2 2 有解的 x 的取值范围 xppxx21 2 解 即关于 p 的不等式有解 设 则012 1 2 xxpx 2 121fpxpxx 在 2 2 上的最小值小于 0 fp 1 当 x 1 时 f p 关于 p 单调增加 故 fmin p f 2 x2 4x 3 0 解得 1 x 3 2 当 x 1 时 f p 关于 p 单调减少 故 fmin p f 2 x2 1 0 解得 1 x 1 3 当 x 1 时 f p 0 故 fmin p f p 1 m 0 有解 若命题 P 和命题 Q 都是真命题 求 m 的值范围 解 解 1 由由 P 真得 真得 注意到 a 在区间 1 1 8 2 21 axx3 max21 xx 由于 m2 5m 3 x1 x2 对任意实数 a 1 1 恒成立 故有3 35 max21 2 xxmm 解得 m 1 或 m 6 或 0 m 5 1 由由 Q 真 真 不等式 x 2m x 1 m 0 有解 得 x 2m x max 2m 1 解得 m 1 2 由于 由于 1 2 都是相公命题 故 都是相公命题 故 m 的值范围 1 2 m 5 或 m 6 举例 举例 1 已知不等式0224 xx a对于 1 x 恒成立 求实数a的取值范围 2 若不等式0224 xx a对于 3 a恒成立 求实数x的取值范围 分析 分析 1 由0224 xx a得 x x a 2 2 2 对于 1 x 恒成立 因 2 1 2 x 所 以22 2 2 2 x x 当22 x 时等号成立 所以有22 a 2 注意到0224 xx a对于 3 a恒成立是关于a的一次不等式 不妨设 24 2 xx aaf 则 af在 3 a上单调递减 则问题等价于0 3 f 所以 2202234 xxx 或12 x 则x取值范围为 1 0 小结 恒成立与有解的区别 恒成立和有解是有明显区别的 以下充要条件应细心思考 甄别差异 恰当使用 等价转化 切不可混为一体 不等式对时恒成立 即的上界小于或等于 f xM xI max fxM xI f x M 不等式对时有解 或的下界小于或等于 f xM xI min fxM xI f x M 不等式对时恒成立 即的下界大于或等于 f xM xI min fxM xI f x M 第 17 页 不等式对时有解 或的上界大于或等于 f xM xI max fxM xI f x M 高中数学难点强化班第四讲 课后练习答案 高中数学难点强化班第四讲 课后练习答案 一 填空选择题 每小题 6 分 共 60 分 1 对任意的实数 若不等式恒成立 那么实数的取值范围 xaxx 21a 答案 x 1 x 2 x 1 x 2 3 故实数的取值范围 a 3a 2 不等式有解 则的取值范围是 2 sin4sin10 xxa a 解 原不等式有解有解 而 2 2 sin4sin1sin231sin1axxxx 2 min sin232x 所以 2a 3 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是 xR xax a A B C D 1a 1a 1a 1a 解析解析 对 不等式恒成立 xR xax 则由一次函数性质及图像知 即 11a 1a 答案 选答案 选 B B 4 4 当时 不等式恒成立 则的取值范围是 1 2 x 2 40 xmx m 解析解析 当时 由得 令 则易知 1 2 x 2 40 xmx 2 4x m x 2 44 x f xx xx 在上是减函数 所以时 则 f x 1 2 1 2 x 1 5 max f xf 2 min 4 5 x x 5m 5 5 已知不等式对任意都成立 那么实数的取 22 3 1 1axxaxxa 0 a x 值范围为 分析 分析 已知参数的范围 要求自变量的范围 转换主参元和的位置 构造以为axxaa 自变量作为参数的一次函数 转换成 恒成立再求解 x g a 0 a 0g a yx yx yax yax x y O 第 18 页 解析解析 由题设知 对都成立 即 22 3 1 1axxaxxa 0 a 对都成立 设 22 2 20a xxx 0 a 22 2 2g axaxx aR 则是一个以为自变量的一次函数 恒成立 则对 为上的 g aa 2 20 x xR g aR 单调递增函数 所以对 恒成立的充分必要条件是 0 a 0g a 0 0g 于是的取值范围是 2 20 xx 20 x x 20 xx 6 已知函数 若对于任一实数 与的 2 22 41 f xmxm xg xmx x f x g x 值至少有一个为正数 则实数的取值范围是 m A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 分析 分析 与的函数类型 直接受参数的影响 所以首先要对参 f x g xm 数进行分类讨论 然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题 解析解析 当时 在上恒成立 而0m 810f xx 1 8 0g x 在上恒成立 显然不满足题意 如图 1 R 当时 在上递减且只在上恒成立 0m g xR 0g xmx 0 而是一个开口向下且恒过定点 0 1 的二次函数 显然不满足题意 f x 当时 在上递增且在上恒成立 0m g xR 0g xmx 0 而是一个开口向上且恒过定点 0 1 的二次函数 要使对任一实 f x 数 x 与的值至少有一个为正数则只需在上 f x g x 0f x 0 恒成立 如图 3 则有或解得或 2 4 0 2 4 4 80 m m mm 4 0 2 m m 48m 04m 综上可得即 故选 B 08m 0 8 m 已知两函数 g x 6x2 24x 21 2 728f xxxc 1 对任意 都有成立 那么实数 的取值范围 c 0 3 3x f xg x c 图 3 1 o x y g x f x 图 1 0g x 1 81f xx x y 0 f x 1 g xmx x y 0 图 2 第 19 页 2 存在 使成立 那么实数 的取值范围 c 25 3 3x f xg x c 3 对任意 都有 那么实数 的取值范围 c 150 12 3 3xx 12 f xg x c 4 存在 都有 那么实数 的取值范围 c 175 12 3 3xx 12 f xg x c 解析 1 设 问题转化为时 恒成立 故 32 2312h xg xf xxxxc 3 3x 0h x 令 得或 由导数知识 可知在 min 0hx 2 66126120h xxxxx 1x 2 h x 单调递增 在单调递减 在单调递增 且 3 1 1 2 2 3 345hc 由 17h xhc 极大值