三角形中常用辅助线

全等三角形辅助线全等三角形辅助线 找全等三角形的方法 找全等三角形的方法 1 可以从结论出发 寻找要证明的相等的两条线段 或两个角 分别 在哪两个可能全等的三角形中 2 可以从已知条件出发 看已知条件可以确定哪两个三角形全等 3 可从条件和结论综合考虑 看它们能确定哪两个三角形全等 4 若上述方法均不可行 可考虑添加辅助线 构造全等三角形 三角形中常见辅助线的作法 三角形中常见辅助线的作法 延长中线构造全等三角形 利用翻折 构造全等三角形 引平行线构造全等三角形 作连线构造等腰三角形 常见辅助线的作法有以下几种 常见辅助线的作法有以下几种 1 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一三线合一 的性质解题 的性质解题 思维模式是全等变换中的思维模式是全等变换中的 对折对折 例例 1 1 如图 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于 点 D CE 垂直于 BD 交 BD 的延长线于点 E 求证 BD 2CE 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2 2 解题思路 解题思路 要求证 BD 2CE 可用加倍法 延长短边 又因为有 BD 平分 ABC 的条件 可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来 解答过程解答过程 证明 延长 BA CE 交于点 F 在 BEF 和 BEC 中 1 2 BE BE BEF BEC 90 BEF BEC EF EC 从而 CF 2CE 又 1 F 3 F 90 故 1 3 在 ABD 和 ACF 中 1 3 AB AC BAD CAF 90 ABD ACF BD CF BD 2CE 解题后的思考 解题后的思考 等腰三角形 三线合一 性质的逆命题在添加辅助线中的 应用不但可以提高解题的能力 而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联 系 为同学们开拓了一个广阔的探索空间 并且在添加辅助线的过程中也蕴含 着化归的数学思想 它是解决问题的关键 2 2 若遇到三角形的中线 可倍长中线 使延长线段与原中线长相等 若遇到三角形的中线 可倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 旋转旋转 例例 2 如图 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AD 又是 BC 边上的中线 求证 ABC 是等腰三角形 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查全等三角形常见辅助线的知识 2 解题 解题思路思路 在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点 中线 中位线等 条件 一般这些条件都是解题的突破口 本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件 而且要求证 AB AC 可倍长 AD 得全等三角形 从而问题得证 解答过程 解答过程 证明 延长证明 延长 AD 到到 E 使 使 DE AD 连接 连接 BE 又因为又因为 AD 是是 BC 边上的中线 边上的中线 BD DC 又又 BDE CDA BED CAD 故故 EB AC E 2 AD 是是 BAC 的平分线的平分线 1 2 1 E AB EB AB EB 从而 从而 AB ACAB AC 即 即 ABC ABC 是等腰三角形 是等腰三角形 解题后的思考 题目中如果出现了三角形的中线 常加倍延长此线段 再解题后的思考 题目中如果出现了三角形的中线 常加倍延长此线段 再 将端点连结 便可得到全等三角形 将端点连结 便可得到全等三角形 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利 用的思维模式是三角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的 性质定理或逆定理 例 3 已知 如图 AC 平分 BAD CD CB AB AD 求证 B ADC 180 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查角平分线定理的应用 2 2 解题思路 解题思路 因为 AC 是 BAD 的平分线 所以可过点 C 作 BAD 的两边 的垂线 构造直角三角形 通过证明三角形全等解决问题 解答过程解答过程 证明 作 CE AB 于 E CF AD 于 F AC 平分 BAD CE CF 在 Rt CBE 和 Rt CDF 中 CE CF CB CD Rt CBE Rt CDF B CDF CDF ADC 180 B ADC 180 解题后的思考 解题后的思考 关于角平行线的问题 常用两种辅助线 见中点即联想到中位线 4 4 过图形上某一点作特定的平行线 构造全等三角形 利用的思维模 过图形上某一点作特定的平行线 构造全等三角形 利用的思维模 式是全等变换中的式是全等变换中的 平移平移 或或 翻转折叠翻转折叠 例例 4 4 如图 ABC 中 AB AC E 是 AB 上一点 F 是 AC 延长线上一点 连 EF 交 BC 于 D 若 EB CF 求证 DE DF 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查全等三角形常见辅助线的知识 作平行线 2 解题思路解题思路 因为 DE DF 所在的两个三角形 DEB 与 DFC 不可能全等 又知 EB CF 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换 过 E 作 EG CF 构造中心对称 型全等三角形 再利用等腰三角形的性质 使问题得以解决 解答过程 解答过程 证明 过 E 作 EG AC 交 BC 于 G 则 EGB ACB 又 AB AC B ACB B EGB EGD DCF EB EG CF EDB CDF DGE DCF DE DF 解题后的思考 解题后的思考 此题的辅助线还可以有以下几种作法 例例 5 5 ABC 中 BAC 60 C 40 AP 平分 BAC 交 BC 于 P BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求证 AB BP BQ AQ 思路分析思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查全等三角形常见辅助线的知识 作平行线 2 2 解题思路 解题思路 本题要证明的是 AB BP BQ AQ 形势较为复杂 我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证 可过 O 作 BC 的平行线 得 ADO AQO 得到 OD OQ AD AQ 只要再证出 BD OD 就可 以了 解答过程解答过程 证明 如图 1 过 O 作 OD BC 交 AB 于 D ADO ABC 180 60 40 80 又 AQO C QBC 80 ADO AQO 又 DAO QAO OA AO ADO AQO OD OQ AD AQ 又 OD BP PBO DOB 又 PBO DBO DBO DOB BD OD 又 BPA C PAC 70 BOP OBA BAO 70 BOP BPO BP OB AB BP AD DB BP AQ OQ BO AQ BQ 解题后的思考 解题后的思考 1 本题也可以在 AB 上截取 AD AQ 连 OD 构造全等三角形 即 截长 法 2 本题利用 平行法 的解法也较多 举例如下 如图 2 过 O 作 OD BC 交 AC 于 D 则 ADO ABO 从而得以解决 如图 5 过 P 作 PD BQ 交 AC 于 D 则 ABP ADP 从而得以解决 小结 小结 通过一题的多种辅助线添加方法 体会添加辅助线的目的在于构造 全等三角形 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的 体会 构造的全等三角形在转移线段中的作用 从变换的观点可以看到 不论是作平 行线还是倍长中线 实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换 构造了全等三角形 5 5 截长法与补短法 具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线 截长法与补短法 具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线 段相等 或是将某条线段延长 使之与特定线段相等 再利用三角形全等的有段相等 或是将某条线段延长 使之与特定线段相等 再利用三角形全等的有 关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 例例 6 6 如图甲 AD BC 点E在线段AB上 ADE CDE DCE ECB 求证 CD AD BC 思路分析 思路分析 1 1 题意分析 题意分析 本题考查全等三角形常见辅助线的知识 截长法或补短法 2 2 解题思路 解题思路 结论是CD AD BC 可考虑用 截长补短法 中的 截长 即在CD上截取CF CB 只要再证DF DA即可 这就转化为证明两线段相等的问 题 从而达到简化问题的目的 解答过程解答过程 证明 在CD上截取CF BC 如图乙 FCE BCE SAS 2 1 又 AD BC ADC BCD 180 DCE CDE 90 2 3 90 1 4 90 3 4 在 FDE与 ADE中 FDE ADE ASA DF DA CD DF CF CD AD BC 解题后的思考 解题后的思考 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截 长法或补短法 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等于 另一条 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线段 等于长线段 1 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边 之 差小于第三边 故可想办法将其放在一个三角形中证明 2 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证明不出来 可连 接两点或延长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明 小结小结 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角形 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 同步练习同步练习 答题时间 90 分钟 这几道题一定要认真思考啊 都是要添加辅助线的 开动脑筋好好想一想吧 加油 你一 定行 1 已知 如图 1 在四边形ABCD中 BC AB AD DC BD平分 ABC 求证 BAD BCD 180 2 已知 如图 2 1 2 P为BN上一点 且PD BC于点 D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180 3 已知 如图 3 在 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 试题答案试题答案 1 分析 因为平角等于 180 因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角 图中缺少全等的三角形 因而解题的关键在于构造直角三角形 可通过 截长法或补短法 来实现 证明 过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E 作DF BC于点F 如图 1 2 Rt ADE Rt CDF HL DAE DCF 又 BAD DAE 180 BAD DCF 180 即 BAD BCD 180 2 分析 与 1 相类似 证两个角的和是 180 可把它们移到一起 让它们 成为邻补角 即证明 BCP EAP 因而此题适用 补短 进行全等三角形的 构造 证明 过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E 如图 2 2 Rt APE Rt CPD SAS PAE PCD 又 BAP PAE 180 BAP BCP 180 3 分析 从结论分析 截长 或 补短 都可实现问题的转化 即延长 AC至E使CE CD 或在AB上截取AF AC 证明 方法一 补短法 延长AC到E 使DC CE 则 CDE CED 如图 3 2 AFD ACD SAS DF DC AFD ACD 又 ACB 2 B FDB B FD FB AB AF FB AC FD AB AC CD 4 证明 方法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 在 BDM 中 MB MD BD 在 CEN 中 CN NE CE 由 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 方法二 图 4 2 延长 BD 交 AC 于 F 延长 CE 交 BF 于 G 在 ABF GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF GF FC GE CE DG GE DE 由 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 5 分析 要证 AB AC 2AD 由图想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而 由 2AD 想到要构造 2AD 即加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中 去 ACD EBD SAS BE CA 全等三角形对应边相等 在 ABE 中有 AB BE AE 三角形两边之和大于第三边 AB AC 2AD 6 分析 欲证 AC BF 只需证 AC BF 所在两个三角形全等 显然图中没有 含有 AC BF 的两个全等三角形 而根据题目条件去构造两个含有 AC