合理配餐数学建模

1 20122012 济南大学大学生数学建模竞赛济南大学大学生数学建模竞赛 摘要 随着生活的发展 日常膳食营养结构的调整越来越受到人们的重视 没有 一种食物含有所有的营养素 而人体是需要多种营养素共同作用的有机体 如 何合理配餐来满足人体的需要成了最受关注的问题 合理营养可维持人体的正 常生理功能 促进健康和生长发育 提高机体的劳动能力 抵抗力和免疫力 有利 于某些疾病的预防和治疗 缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营 养过剩性疾病 肥胖症和动脉粥样硬化等 根据现代营养学的研究 人体所需的 各种营养素分为 6 类 即蛋白质 脂肪 糖类 碳水化合物 无机盐 包括微量 元素 维生素和膳食纤维 对这些营养素不仅有量的需求 而且各营养素之间 还应有合适的配比 本文对合理配餐问题进行了研究并建立了该问题的数学模型 以中国居民 膳食指南为科学依据 综合考虑中国人的生活饮食习惯 食物营养特点 营养 卫生需求以及大众经济水平 通过求解模型为不同年龄 不同性别人群制定出 具有可选择性和可执行性的一日三餐的平衡膳食方案 通过互联网我们获得了一些常见食物的营养成分 成分含量与近期价格的 资料 表 8 以及不同年龄不同性别的人均营养日需求量表 表 9 并且了解 到 从营养科学的角度来讲 能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态 热 能及各种营养素满足人体生长发育 生理及体力活动的需要 且各种营养素之 间保持适宜比例的膳食 叫平衡膳食 科学研究结果表明 营养素摄入量与其 需求量之间的偏差不超过 10 是合理的 因此 根据这种理念 我们先作出了 一些合理的假设 然后以天为基本周期 建立了以满足营养需求为约束条件 考虑到居民消费水平 以所花费用最低为目标函数的线性规划模型 代入一组 具体数据 求解这个模型 得出一组相应的食物摄入量 表 1 可以看出其中 干豆坚果类与油脂类摄入量均为 0 结果不太合理 同时实际情况中 人不可能每天摄入的营养量完全一样 有时甚至会出现 2 较大差异 因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件 平衡膳食宝塔 图 1 给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围 一份食谱中各类事物的 摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的 鉴于此 我们对模型 进 行了改进 定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差 的绝对值的平均值 以每日营养素摄入量至少满足最低需求 食物每日摄入量 在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束 以所需花费最少和营养摄入合理度 最高为目标函数 对这个多目标规划 我们采用熵值法将多个目标加权组合形 成一个新的目标 考虑到两个目标的量纲不同 我们定义消费合理度为实际花 费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值 以它和营养摄入合理度的加权组 合作为目标函数 以每日营养素摄入量至少满足最低需求 食物每日摄入量在 平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束 将模型 优化成一个线性规划模型 我们给定 3 组权值 得出 3 组饮食方案 表 5 通过与标准值的对比 能 够看出模型 的解已基本满足需求 再考虑地区饮食习惯和营养卫生需求 进一步优化模型 引入是否摄入食 物的 0 1 变量与 0 1 常量 对是否要吃 吃多少的问题根据地方特点进行约束 根据实际情况 考虑湖南地区孕妇 婴幼儿 0 2 岁 学龄前儿童 2 7 岁 青少年 8 16 岁 老年人 55 岁以上 成年 16 岁以上 55 岁下正常 人群 的六大人群 分别考虑不同性别的情况 这些值通过 0 1 常量进行约束 我们给出不同约束 就能得到适合湖南地区的不同人群的一天的饮食方案 要 使方案具有选择性 只需根据个人主观因素来调节相应的营养摄入合理度与消 费合理度的权值 对于新闻稿件 它的面向对象是广大居民 因此不能用太过专业的语言进 行描述 而且居民关心的是该吃什么 并不是为什么要吃这些 所以我们以 中国居民膳食指南 为主 以我们模型解得的方案为辅 给出了有选择性的 膳食建议 由于平衡膳食是一个极其复杂的问题 存在很多主观和客观的随机因素 所以 在建模过程中不可避免会忽视某些次要因素 本文所建立的模型可以推广应用于多资源分配的问题 其中 0 1 规划模型 3 在实际生活中有着广泛的使用空间 如人员分配问题 车辆运输问题等等 关键字 合理配餐 营养健康 节约用费 第一部分 问题的提出 合理营养是指适合各种情况 年龄 性别 健康状态等 的食物 营养素供 给量和配比 合理营养可维持人体的正常生理功能 促进健康和生长发育 提高 机体的劳动能力 抵抗力和免疫力 有利于某些疾病的预防和治疗 缺乏合理营 养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病 肥胖症和动脉粥样硬化等 根据现代营养学的研究 人体所需的各种营养素分为 6 类 即蛋白质 脂肪 糖 类 碳水化合物 无机盐 包括微量元素 维生素和膳食纤维 对这些营养素 不仅有量的需求 而且各营养素之间还应有合适的配比 我国营养学会在 2000 年推荐了合理膳食的构成指标 见附件一 请根据推 荐指标以及价格等其他因素 根据情况自己选择 问题一 请建立营养配餐模型 针对 3 4 岁的年龄孩子及 60 70 岁老人提 供合理的饮食配餐 问题二 对于特殊需要的人群 比方说糖尿病人又该如何配餐 请查阅相 关资料 建立营养配餐模型 问题三 请查阅食品的价格 从节约费用的角度重新给出上述问题的配餐 模型 说明 1 配餐时请从附录一中选择食物 2 可以考虑部分的营养素 第二部分 问题分析 问题 1 的分析 根据所提供的 2000 年中国居民膳食营养素参考日摄入量表格我们了解到不 同年龄段的人群对各种营养素的所需含量不同 通过对 3 4 岁的孩子及 60 70 岁老人提供合理的饮食配餐的研究 我们可以建立合理而且均衡的配餐模型 因此可以使人们更合理的膳食 该问题属于数学中的最优化问题 解决这个问题首先我们建立一个以所食用 食物的总量最少为目的的配餐模型一 一般数学方法是根据题目中所提供的各 种食物的名称 按照各食物所含营养素的百分比提供营养 即各种食物所提供 的营养素分别累加达到不同年龄阶段的人群所需营养素的标准值 这样就可以 根据所研究营养素的种数列出相应个数的方程 转化为数学问题 以所列出方 程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案 但是因为如果每 种营养素都考虑这太过于复杂 计算机条件有限 所以求解时我们只考虑蛋白 质 脂肪 碳水化合物 热量 无机盐这五种营养素的约束 其中方框内为求 解时未运用约束不等式及其解释 该问题我们还可以建立一个规划以所食用食 品的种类最少为目的的配餐模型二 所列营养成分种类的方程 即约束条件 同 模型一完全相同 只是目标函数为食品种类最少的配餐方案 预测结果模型一 4 中以食品总量最少为目地的方案所涉及到的食品种类比较多 而模型二中以食 品种类最少为目地 所得结果涉及到的食品种类比较少 两模型所得到的膳食 方案都能达到合理膳食的效果 利用 lingo 函数解出相应的食品摄入种类和摄 入量 问题 2 的分析 该问题同问题一都是属于数学中的最优化问题 通过资料 详见附录四 我 们了解到我国的糖尿病高发于 45 50 岁之间 因此我们可以以 45 岁的中劳动男 性为例建立数学模型 解决该问题我们可以建立一个以所食用食物的总量最少为 目的的配餐模型一 根据题目中所提供的各种食物的名称 按照所含营养物质的 百分比提供营养成分 即各种累加达到该年龄的中劳动男性所需营养成分的标准 值 根据所研究营养成分的种数列出相应个数的方程 同样转化为几何问题 以 所列出方程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案 因为糖尿 病人的特殊性因此求解时我们只考虑蛋白质 脂肪 碳水化合物 热量 这四种 营养素的约束 类比问题一我们还可以建立一个规划以所食用食物的总类最少为 目的的配餐模型二 所列营养成分种类的方程 即约束条件 同模型 I 完全相同 只是目标函数为食品种类种类最少的配餐方案 预测结果合理膳食的食物种类有 了一定程度的变化 例如 含糖成分高的水果及谷类食物会减少 含糖成分低的 蔬菜和干豆类会增加 模型一和模型二因为目标函数的变化而得到食物种类不同 的合理膳食方案 利用 lingo 函数解出相应的食物摄入量类和摄入种类 问题 3 的分析 问题引入了食品的价格 而且要求从节约费用的角度合理配餐 我们需要 通过市场调查收集一天之内所需食品的市场价格 详见附录二 此问题我们以 3 4 岁男孩为例 并且该问题同问题一和问题二一样是标准 线性规划中的最优化问题 解决这个问题我们只须以花费最少为目的建立最优 解模型 首先 建立目标函数 此问题就是建立所需食物用量的花费总和最少 为目标函数 然后 根据目标函数 我们罗列出受限制的约束条件 在约束条 件范围内 我们找到最优解 即得到了所研究的合理膳食的成分 同样求解时 我们只考虑蛋白质 脂肪 碳水化合物 热量 无机盐这五种营养素的约束不 等式及其解释 其中方框内为求解时未运用约束不等式及其解释 预测结果价 格便宜的谷类和豆类量会多一些 而价格稍高的走兽类和鱼类会相应的少一些 使用 lingo 函数求出结果比较 第三部基本的假设 假设一 问题一中各年龄段中人群的健康状况良好 所需营养均衡 对各种摄 入 的食物没有过敏反应 无偏食和挑食现象 5 假设二 各类食物全部新鲜 食物中所含营养成分及比例都相同 假设三 研究过程中所涉及到的一种人均代表该条件下的一类人 假设四 问题二中糖尿病人理想体重 理想体重 身高 cm 105 假设五 问题三中食物价格短时间内没有变化 各食物之间价格互相没有影响 假设六 各类食物在生和熟的状态下各营养素的含量不变 第四部分 定义与符号说明 根据问题中所要求的合理膳食成分 我们可以设 i 1 2 57 为各种食 物名称 j 1 2 8 为各种营养素名称 以百克为单位 为各种食物摄 xi 入量 i 1 2 57 为 0 1 变量吃或没吃 为第 i i 1 2 57 ciAij 种食物每百克中所含 第 j j 1 2 8 营养素的含量 为第 i 种食物每 bi 百克的价格 以下为详细定义 i 1 2 6 分别表示谷类中的 大米 小米 高粱米 玉署黍 大麦仁 面 粉 i 7 8 14 分别表示干豆类中的 黄豆 大豆 青豆 黑豆 赤小豆 绿 豆 花豇豆 豌豆 蚕豆 i 15 16 25 分别表示叶菜类中的 黄花菜 鲜金针菜 黄花 金针菜 菠菜 韭菜 苋菜油菜 胡菜 大白菜 小白菜 洋白菜 椰菜 香菜 芫荽 芹菜茎 i 26 27 37 分别表示茄瓜果类中的 南瓜 西葫芦 瓠子 龙蛋瓜 茄 子 丝瓜 布瓜 茄子 冬瓜 西瓜 甜瓜 菜瓜 地黄瓜 黄瓜 西红柿 西红柿 i 38 39 46 分别表示水果类中的 柿 枣 苹果 香蕉 梨杏 李 桃 樱桃 葡萄 i 47 48 52 分别表示走兽类中的 牛肉 牛肝 羊肉 羊肝 猪肉 猪肝 i 53 54 57 分别表示鱼类中的 鲫鱼 鲤鱼 鳝鱼 带鱼 黄花鱼 石首 鱼 j 1 2 8 分别表示蛋白质 脂肪 碳水化合物 热量 无机盐 钙 磷 铁 第五部分 模型的建立与求解 5 1 问题一的模型建构 根据问题中的约束条件优化模型 设 为各种食物摄入量 为第 xiAij i i 1 2 57 种食物每百克中所含第 j j 1 2 8 营养素的含量 引入 0 6 1 变量 若选择吃食物 i 记 1 否则记 0 因为模型二与模型一类似 cicici 所以只对模型一求解 5 11 1 根据 3 4 岁的年龄男孩子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 11a 0 约束条件 45 1 57 1 cAx ii i i 11a 1 11a 2 45 5 37 2 57 1 cAx ii i i 11a 3 9375 2106625 188 3 57 1 cAx ii i i 11a 4 1350 4 57 1 cAx ii i i 11a 5 9309 2 5 57 1 cAx ii i i 11a 6 600 6 57 1 cAx ii i i 11a 7 450 7 57 1 cAx ii i i 11a 8 12 8 57 1 cAx ii i i 目标函数 11a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 11a 1 为满足 3 4 岁男孩对蛋白质摄入量的约束 约束条件 11a 2 为满足 3 4 岁男孩对脂肪摄入量的约束 因为脂肪能 量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百 度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除 以 9 即 1350 25 9 37 5 1350 30 9 45 约束条件 11a 3 为满足 3 4 岁男孩对碳水化合物摄入量的约束 因为 碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 62 5 55 9 其中每克碳水化合物产 7 热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳 水化合物占能量百分比再除以 4 即 1350 62 5 4 188 6625 1350 55 9 4 210 9375 约束条件 11a 4 为满足 3 4 岁男孩对能量摄入量的约束 约束条件 11a 5 为满足 3 4 岁男孩对无机盐摄入量的约束 因为无机 盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加和 约束条件 11a 6 为满足 3 4 岁男孩对钙摄入量的约束 约束条件 11a 7 为满足 3 4 岁男孩对磷摄入量的约束 约束条件 11a 8 为满足 3 4 岁男孩对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 11b 0 约束条件 45 1 57 1 cAx ii i i 11b 1 11b 2 45 5 37 2 57 1 cAx ii i i 11b 3 9375 2106625 188 3 57 1 cAx ii i i 11b 4 1350 4 57 1 cAx ii i i 11b 5 9309 2 5 57 1 cAx ii i i 11b 6 600 6 57 1 cAx ii i i 8 11b 7 450 7 57 1 cAx ii i i 11b 8 12 8 57 1 cAx ii i i 目标函数 11b 0 为满足摄入食物种类最少 约束条件 11b 1 为满足 3 4 岁男孩对蛋白质摄入量的约束 约束条件 11b 2 为满足 3 4 岁男孩对脂肪摄入量的约束 因为脂肪能 量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百 度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除 以 9 即 1350 25 9 37 5 1350 30 9 45 约束条件 11b 3 为满足 3 4 岁男孩对碳水化合物摄入量的约束 因为 碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 62 5 55 9 其中每克碳水化合物产 热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳 水化合物占能量百分比在除以 4 即 1350 62 5 4 188 6625 1350 55 9 4 210 9375 约束条件 11b 4 为满足 3 4 岁男孩对能量摄入量的约束 约束条件 11b 5 为满足 3 4 岁男孩对无机盐摄入量的约束 因为无机 盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加和 约束条件 11b 6 为满足 3 4 岁男孩对钙摄入量的约束 约束条件 11b 7 为满足 3 4 岁男孩对磷摄入量的约束 约束条件 11b 8 为满足 3 4 岁男孩对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 5 11 2 模型的求解 5 11 21 对模型一求解 模型一为优化模型并且是一个线性规划模型 约束条件是线性不等式 所以 采用 lingo 编程求解 得到最优值 minZ 3 百克 具体的所摄入食物种类以及质量如表 11 21 所示 表 11 21 模型一下所摄入食物种类以及质量表 所需食品种类所需食品的量 高粱米 1 青豆 1 总共需要两种食品 总量为 3 百克 5 12 1 根据 3 4 岁年龄女孩膳食营养参考日摄入量的原则下建立模型 9 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 12a 0 约束条件 45 1 57 1 cAx ii i i 12a 1 333 43111 36 2 57 1 cAx ii i i 12a 2 125 203675 181 3 57 1 cAx ii i i 12a 3 1300 4 57 1 cAx ii i i 12a 4 9309 2 5 57 1 cAx ii i i 12a 5 600 6 57 1 cAx ii i i 12a 6 500 7 57 1 cAx ii i i 12a 7 12 8 57 1 cAx ii i i 12a 8 目标函数 12a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 12a 1 为满足 3 4 岁女孩对蛋白质摄入量的约束 10 约束条件 12a 2 为满足 3 4 岁女 孩对脂肪摄入量的约束 因为脂肪能 量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百 度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除 以 9 即 1300 25 9 36 111 1300 30 9 43 333 约束条件 12a 3 为满足 3 4 岁女孩对碳水化合物摄入量的约束 因为 碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 62 5 55 9 其中每克碳水化合物产 热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳 水化合物占能量百分比在除以 4 即 1300 62 5 4 181 675 1300 55 9 4 203 125 约束条件 12a 4 为满足 3 4 岁女孩对能量摄入量的约束 约束条件 12a 5 为满足 3 4 岁女孩对无机盐摄入量的约束 因为无机 盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加和 约束条件 12a 6 为满足 3 4 岁女孩对钙摄入量的约束 约束条件 12a 7 为满足 3 4 岁女孩对磷摄入量的约束 约束条件 12a 8 为满足 3 4 岁女孩对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 12b 0 约束条件 45 1 57 1 cAx ii i i 12b 1 333 43111 36 2 57 1 cAx ii i i 12b 2 125 203675 181 3 57 1 cAx ii i i 12b 3 1300 4 57 1 cAx ii i i 11 12b 4 9309 2 5 57 1 cAx ii i i 12b 5 600 6 57 1 cAx ii i i 12b 6 500 7 57 1 cAx ii i i 12b 7 12 8 57 1 cAx ii i i 12b 8 目标函数 12b 0 为满足摄入种类总量最少 约束条件 12b 1 为满足 3 4 岁女孩对蛋白质摄入量的约束 约束条件 12b 2 为满足 3 4 岁女 孩对脂肪摄入量的约束 因为脂肪能 量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百 度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除 以 9 即 1300 25 9 36 111 1300 30 9 43 333 约束条件 12b 3 为满足 3 4 岁女孩对碳水化合物摄入量的约束 因为 碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 62 5 55 9 其中每克碳水化合物产 热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳 水化合物占能量百分比在除以 4 即 1300 62 5 4 181 675 1300 55 9 4 203 125 约束条件 12b 4 为满足 3 4 岁女孩对能量摄入量的约束 约束条件 12b 5 为满足 3 4 岁女孩对无机盐摄入量的约束 因为无机 盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加和 约束条件 12b 6 为满足 3 4 岁女孩对钙摄入量的约束 约束条件 12b 7 为满足 3 4 岁女孩对磷摄入量的约束 约束条件 12b 8 为满足 3 4 岁女孩对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 12 量 5 12 2 模型的求解 5 12 21 对模型一求解 模型一为优化模型并且是一个线性规划模型 约束条件是线性不等式 所以 采用 lingo 编程求解 得到最优值 minZ 3 3 百克 具体的所摄入食物种类以及质量如表 12 21 所示 表 12 21 模型一下所摄入食物种类以及质量表 所需食品种类所需食品的量 高粱米 1 1 青豆 1 1 总共需要两种食品 总量为 3 3 百 克 5 13 1 根据 60 70 岁极轻劳动男子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 13a 0 约束条件 70 1 57 1 cAx ii i i 13a 1 555 55444 44 2 57 1 cAx ii i i 13a 2 5 336303 3 57 1 cAx ii i i 13a 3 2000 4 57 1 cAx ii i i 13a 4 597 6 5 57 1 cAx ii i i 13a 5 1000 6 57 1 cAx ii i i 13 13a 6 700 7 57 1 cAx ii i i 13a 7 13a 8 15 8 57 1 cAx ii i i 目标 函数 13a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 13a 1 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 13a 2 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束 因 为脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 2000 25 9 44 444 2000 30 9 55 555 约束条件 13a 3 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约 束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2000 62 5 4 303 2000 55 9 4 336 5 约束条件 13a 4 为满足 60 70 岁极轻劳动男子能量摄入量的约束 约束条件 13a 5 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束 因为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 13a 6 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对钙摄入量的约束 约束条件 13a 7 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对磷摄入量的约束 约束条件 13a 8 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 13b 0 约束条件 14 70 1 57 1 cAx ii i i 13b 1 555 55444 44 2 57 1 cAx ii i i 13b 2 5 336303 3 57 1 cAx ii i i 13b 3 2000 4 57 1 cAx ii i i 13b 4 597 6 5 57 1 cAx ii i i 13b 5 1000 6 57 1 cAx ii i i 13b 6 700 7 57 1 cAx ii i i 13b 7 15 8 57 1 cAx ii i i 13b 8 目标 函数 13b 0 为满足摄入食物种类最少 约束条件 13b 1 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 13b 2 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束 因 为脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 2000 25 9 44 444 2000 30 9 55 555 约束条件 13b 3 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约 束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 15 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2000 62 5 4 303 2000 55 9 4 336 5 约束条件 13b 4 为满足 60 70 岁极轻劳动男子能量摄入量的约束 约束条件 13b 5 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束 因为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 13b 6 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对钙摄入量的约束 约束条件 13b 7 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对磷摄入量的约束 约束条件 13b 8 为满足 60 70 岁极轻劳动男子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 5 13 2 模型的求解 5 13 21 对模型一求解 模型一为优化模型并且是一个线性规划模型 约束条件是线性不等式 所以 采用 lingo 编程求解 得到最优值 minZ 5 百克 具体的所摄入食物种类以及质量如表 13 21 所示 表 13 21 模型一下所摄入食物种类以及质量表 所需食品种类所需食品的量 高粱米 3 青豆 0 黑豆 0 总共需要两种食品 总量为 5 百 克 5 14 根据 60 70 岁极轻劳动女子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 14a 0 约束条件 60 1 57 1 cAx ii i i 14a 1 16 222 47777 37 2 57 1 cAx ii i i 14a 2 025 28655 257 3 57 1 cAx ii i i 14a 3 1700 4 57 1 cAx ii i i 14a 4 597 6 5 57 1 cAx ii i i 14a 5 1000 6 57 1 cAx ii i i 14a 6 700 7 57 1 cAx ii i i 14a 7 15 8 57 1 cAx ii i i 14a 8 目标 函数 14a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 14a 1 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 14a 2 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对脂肪摄入量的约束 因 为脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 1700 25 9 37 777 1700 30 9 47 222 约束条件 14a 3 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约 束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 1700 62 5 4 257 55 1700 55 9 4 286 025 约束条件 14a 4 为满足 60 70 岁极轻劳动女子能量摄入量的约束 约束条件 14a 5 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对无机盐摄入量的约束 17 因为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 14a 6 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对钙摄入量的约束 约束条件 14a 7 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对磷摄入量的约束 约束条件 14a 8 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 14b 0 约束条件 60 1 57 1 cAx ii i i 14b 1 222 47777 37 2 57 1 cAx ii i i 14b 2 025 28655 257 3 57 1 cAx ii i i 14b 3 1700 4 57 1 cAx ii i i 14b 4 597 6 5 57 1 cAx ii i i 14b 5 1000 6 57 1 cAx ii i i 14b 6 18 700 7 57 1 cAx ii i i 14b 7 15 8 57 1 cAx ii i i 14b 8 目标 函数 14b 0 为满足摄入食物种类最少 约束条件 14b 1 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 14b 2 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对脂肪摄入量的约束 因 为脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 1700 25 9 37 777 1700 30 9 47 222 约束条件 14b 3 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约 束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2000 62 5 4 257 55 2000 55 9 4 286 025 约束条件 14b 4 为满足 60 70 岁极轻劳动女子能量摄入量的约束 约束条件 14b 5 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对无机盐摄入量的约束 因为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 14b 6 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对钙摄入量的约束 约束条件 14b 7 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对磷摄入量的约束 约束条件 14b 8 为满足 60 70 岁极轻劳动女子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日 摄入量 5 14 2 模型的求解 5 14 21 对模型一求解 模型一为优化模型并且是一个线性规划模型 约束条件是线性不等式 所以 采用 lingo 编程求解 得到最优值 minZ 4 百克 具体的所摄入食物种类以及质量如表 14 21 所示 表 14 21 模型一下所摄入食物种类以及质量表 所需食品种类所需食品的量 高粱米 3 19 青豆 0 黑豆 0 E 01 豌豆 0 总共需要四种食品 总量为 4 百克 5 15 根据 60 70 岁极轻劳动男子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 15a 0 约束条件 75 1 57 1 cAx ii i i 15a 1 111 61889 48 2 57 1 cAx ii i i 15a 2 15 370 3 333 3 57 1 cAx ii i i 15a 3 2200 4 57 1 cAx ii i i 15a 4 15a 5 597 6 5 57 1 cAx ii i i 15a 6 1000 6 57 1 cAx ii i i 15a 7 700 7 57 1 cAx ii i i 15a 8 15 8 57 1 cAx ii i i 20 目标 函数 15a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 15a 1 为满足 60 70 岁轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 15a 2 为满足 60 70 岁轻劳动男子对脂肪摄入量的约束 因为 脂肪能量占总能量 以千卡路里为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千 卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量 百分比再除以 9 即 2200 25 9 48 889 2200 30 9 61 111 约束条件 15a 3 为满足 60 70 岁轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束 因为碳水化合物占能量 以千卡路里为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2200 62 5 4 333 3 2200 55 9 4 370 15 约束条件 15a 4 为满足 60 70 岁轻劳动男子能量摄入量的约束 约束条件 15a 5 为满足 60 70 岁轻劳动男子对无机盐摄入量的约束 因 为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 15a 6 为满足 60 70 岁轻劳动男子对钙摄入量的约束 约束条件 15a 7 为满足 60 70 岁轻劳动男子对磷摄入量的约束 约束条件 15a 8 为满足 60 70 岁轻劳动男子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 15b 0 约束条件 75 1 57 1 cAx ii i i 15b 1 111 61889 48 2 57 1 cAx ii i i 15b 2 15 370 3 333 3 57 1 cAx ii i i 21 15b 3 2200 4 57 1 cAx ii i i 15b 4 15b 5 597 6 5 57 1 cAx ii i i 15b 6 1000 6 57 1 cAx ii i i 15b 7 700 7 57 1 cAx ii i i 15b 8 15 8 57 1 cAx ii i i 目标 函数 15b 0 为满足摄入食物种类最少 约束条件 15b 1 为满足 60 70 岁轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 15b 2 为满足 60 70 岁轻劳动男子对脂肪摄入量的约束 因为 脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 2200 25 9 48 889 2200 30 9 61 111 约束条件 15b 3 为满足 60 70 岁轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水化合 物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘 以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2200 62 5 4 333 3 2200 55 9 4 370 15 约束条件 15b 4 为满足 60 70 岁极轻劳动女子能量摄入量的约束 约束条件 15b 5 为满足 60 70 岁轻劳动男子对无机盐摄入量的约束 因 为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 15b 6 为满足 60 70 岁轻劳动男子对钙摄入量的约束 约束条件 15b 7 为满足 60 70 岁轻劳动男子对磷摄入量的约束 约束条件 15b 8 为满足 60 70 岁轻劳动男子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 5 15 2 模型的求解 22 5 15 21 对模型一求解 模型一为优化模型并且是一个线性规划模型 约束条件是线性不等式 所以 采用 lingo 编程求解 得到最优值 minZ 5 百克 具体的所摄入食物种类以及质量如表 15 21 所示 表 15 21 模型一下所摄入食物种类以及质量表 所需食品种类所需食品的量 高粱米 4 黑豆 1 豌豆 0 总共需要三种食品 总量为 5 百 克 5 16 根据 60 70 岁轻劳动女子膳食营养参考日摄入量原则下的模型 模型一 依据摄入食物总量最少建立模型 目标函数 minZ cx i i i 57 1 16a 0 约束条件 16a 1 65 1 57 1 cAx ii i i 16a 2 778 52222 42 2 57 1 cAx ii i i 16a 3 675 31985 287 3 57 1 cAx ii i i 16a 4 2200 4 57 1 cAx ii i i 16a 5 597 6 5 57 1 cAx ii i i 16a 6 1000 6 57 1 cAx ii i i 16a 7 700 7 57 1 cAx ii i i 23 16a 8 15 8 57 1 cAx ii i i 目标 函数 16a 0 为满足摄入食物总量最少 约束条件 16a 1 为满足 60 70 岁轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 16a 2 为满足 60 70 岁轻劳动女子对脂肪摄入量的约束 因为 脂肪能量占总能量 以千卡为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百 分比再除以 9 即 2200 25 9 42 222 2200 30 9 52 778 约束条件 16a 3 为满足 60 70 岁轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约束 因为碳水化合物占能量 以千卡为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水化合 物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘 以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2200 62 5 4 287 85 2200 55 9 4 319 675 约束条件 16a 4 为满足 60 70 岁轻劳动女子能量摄入量的约束 约束条件 16a 5 为满足 60 70 岁轻劳动女子对无机盐摄入量的约束 因 为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 16a 6 为满足 60 70 岁轻劳动女子对钙摄入量的约束 约束条件 16a 7 为满足 60 70 岁轻劳动女子对磷摄入量的约束 约束条件 16a 8 为满足 60 70 岁轻劳动女子对铁摄入量的约束 其中各种营养素的摄入量的数据来自附件 1 中国居民膳食营养素参考日摄入 量 模型二 依据摄入食物种类的量最少建立模型 目标函数 minZ ci i 57 1 16b 0 约束条件 16b 1 65 1 57 1 cAx ii i i 16b 2 778 52222 42 2 57 1 cAx ii i i 24 16b 3 675 31985 287 3 57 1 cAx ii i i 16b 4 2200 4 57 1 cAx ii i i 16b 5 597 6 5 57 1 cAx ii i i 16b 6 1000 6 57 1 cAx ii i i 16b 7 700 7 57 1 cAx ii i i 16b 8 15 8 57 1 cAx ii i i 目标 函数 16b 0 为满足摄入食物种类最少 约束条件 16b 1 为满足 60 70 岁轻劳动女子对蛋白质摄入量的约束 约束条件 16b 2 为满足 60 70 岁轻劳动女子对脂肪摄入量的约束 因为 脂肪能量占总能量 以千卡路里为单位 的 25 30 其中每克脂肪产热 9 千 卡 来自百度百科 所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量 百分比再除以 9 即 2200 25 9 42 222 2200 30 9 52 778 约束条件 16b 3 为满足 60 70 岁轻劳动女子对碳水化合物摄入量的约束 因为碳水化合物占能量 以千卡路里为单位 的 67 3 60 6 其中每克碳水 化合物产热 4 千卡 来自百度百科 所以碳水化合物的需求量等于能量的需求 量乘以碳水化合物占能量百分比在除以 4 即 2200 62 5 4 287 85 2200 55 9 4 319 675 约束条件 16b 4 为满足 60 70 岁轻劳动女子能量摄入量的约束 约束条件 16b 5 为满足 60 70 岁轻劳动女子对无机盐摄入量的约束 因 为无机盐是无机化合物中的盐类 其中大量元素有钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼等 来自百度百科 所以无机盐的需求摄入 量为钙 磷 钾 钠 铁 镁 锌 硒 碘 铜 氟 铬 锰 钼摄入量的加 和 约束条件 16b 6 为满足 60 70 岁轻劳动女子对钙摄入量的约束 约束条件 16b 7 为满足 60 70 岁轻劳动女子对磷摄