相似三角形专题(动点问题)

1 相似三角形应用专题 二 相似三角形应用专题 二 动态几何中的相似三角形动态几何中的相似三角形 例题讲解一 例题讲解一 如图 在梯形中 梯形的高为 动ABCDADBC 3AD 5DC 10BC 4 点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点同时从点出发沿线MBBCCNC 段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动 设运动的时间为 秒 CDDt 1 当时 求 的值 MNAB t 2 试探究 为何值时 为直角三角形 tMNC 变式练习变式练习 1 1 如图所示 在 ABC 中 BA BC 20cm AC 30cm 点 P 从 A 点出发 沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动 同时点 Q 从 C 点出发 沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动 设运动时间为 x 1 当 x 为何值时 PQ BC 2 当 求的值 3 APQ 能否与 CQB 相 3 1 ABC BCQ S S ABC BPQ S S 似 若能 求出 AP 的长 若不能 请说明理由 D N CMB A 2 变式练习变式练习 1 2 如图 已知直线 的函数表达式为 且 与轴 轴分别交于两点 l 4 8 3 yx lxyAB 动点从点开始在线段上以每秒 2 个单位长度的速度向点移动 同时动点从点开始在线QBBAAPA 段上以每秒 1 个单位长度的速度向点移动 设点移动的时间为 秒 AOOQP t 1 求出点的坐标 AB 2 当 为何值时 与相似 tAPQ AOB 3 求出 2 中当与相似时 线段所在直线的APQ AOB PQ 函数表达式 OPA Q B y x OPA Q B y x 3 图 2 A D O B C 2 1 M N 图 1 A D B M N 1 2 图 3 A D O B C 2 1 M N O 例题讲解二 例题讲解二 在图 1 至图 3 中 直线 MN 与线段 AB 相交 于点 O 1 2 45 1 如图 1 若 AO OB 请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系 2 将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到 图 2 其中 AO OB 求证 AC BD AC BD 3 将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到 图 3 求 AC BD 的值 4 变式练习变式练习 2 1 已知在 Rt ABC 中 ABC 90 A 30 点 P 在 AC 上 且 MPN 90 当点 P 为线段 AC 的中点 点 M N 分别在线段 AB BC 上时 如图 1 过点 P 作 PE AB 于点 E PF BC 于点 F 可证 Rt PME Rt PNF 得出 PN PM 不需证明 3 当 PC PA 点 M N 分别在线段 AB BC 或其延长线上 如图 2 图 3 这两种情况时 请写 2 出线段 PN PM 之间的数量关系 并任选取一给予证明 5 变式练习变式练习 2 22 2 如图 1 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起 A为公 共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC固定不动 AFG绕点A旋转 AF AG与边 BC的交点分别为D E 点 D 不与点 B 重合 点 E 不与点 C 重合 设BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m 与 n 的函数关系式 直接写出自变量 n 的取值范围 3 以 ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴 BC边上的高所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 如 图 12 在边BC上找一点D 使BD CE 求出D点的坐标 并通过计算验证BD CE DE 222 4 在旋转过程中 3 中的等量关系BD CE DE是否始终成立 若成立 请证明 若不成立 请说 222 明理由 G y x 图 2 O F EDCB A G 图 1 F EDCB A G 图 1 F EDCB A G y x 图 2 O F EDCB A 6 例题讲解三 例题讲解三 如图 中 cm 矩形的长和宽PMNR t 90P PMPN 8MN ABCD 分别为 8cm 和 2cm 点和点重合 和在一条直线上 令不动 矩形CMBCMNPMNR t 沿所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动 如图 直到点与点重合为止 设移动ABCDMNCN 秒后 矩形与重叠部分的面积为 求与之间的函数关系式 xABCDPMN y 2 cmyx A B D P N C M 图 图 A B D P N C M 图 图 7 变式练习变式练习 3 1 如图 在等腰梯形中 ABCD 等腰直角三角形的斜边 ABDC 45A 10cmAB 4cmCD PMN10cmMN 点与点重合 和在一条直线上 设等腰梯形不动 等腰直角三角形沿ANMNABABCDPMN 所在直线以的速度向右移动 直到点与点重合为止 AB1cm s NB 1 等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状 由 PMNABCD 形变化为 形 2 设当等腰直角三角形移动时 等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的PMN s xPMNABCD 面积为 求与之间的函数关系式 2 cm yyx 3 当时 求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积 4 s x PMNABCD A N M P D C B ANM P DC B A N M P D C B ANM P DC B 8 例题讲解四 例题讲解四 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分 别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度 是 2cm s 当点 Q 到达点 C 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 2 设 BPQ 的面积为 S cm2 求 S 与 t 的函数关系式 3 作 QR BA 交 AC 于点 R 连结 PR 当 t 为何值时 APR PRQ 9 变式练习变式练习 4 1 如图 在梯形 ABCD 中 点由 B 出发沿 BD 方向匀速运动 ADBC 6cmAD 4cmCD 10cmBCBD P 速度为 1cm s 同时 线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动 速度为 1cm s 交于 Q 连接BD PE 若设运动时间为 s 解答下列问题 t05t 1 当 为何值时 tPEAB 2 设的面积为 cm2 求与 之间的函数关系式 PEQ yyt 3 是否存在某一时刻 使 t 2 25 PEQBCD SS A ED Q P B F C A ED Q P B F C 10 变式练习变式练习 4 2 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长 的速度向点 A 匀速运动 到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 伴随着 P Q 的运动 DE 保持垂直平分 PQ 且交 PQ 于点 D 交 折线 QB BC CP 于点 E 点 P Q 同时出发 当点 Q 到达点 B 时停止运动 点 P 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 1 当 t 2 时 AP 点 Q 到 AC 的距离是 2 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中 求 A