2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案

1 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 全国卷全国卷 I I 新课标新课标 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 已知集合A 1 2 3 4 B x x n2 n A 则A B A 1 4 B 2 3 C 9 16 D 1 2 2 2 12i 1 i A B C D 1 1i 2 1 1 i 2 1 1 i 2 1 1i 2 3 从 1 2 3 4 中任取 2 个不同的数 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 6 4 文 4 已知双曲线C a 0 b 0 的离心率为 则C的渐近线方程为 22 22 1 xy ab 5 2 A y B y C y D y x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 5 文 5 已知命题p x R R 2x 3x 命题q x R R x3 1 x2 则下列命题中为真命题的是 A p q B p q C p q D p q 6 文 6 设首项为 1 公比为的等比数列 an 的前n项和为Sn 则 2 3 A Sn 2an 1 B Sn 3an 2 C Sn 4 3an D Sn 3 2an 7 文 7 执行下面的程序框图 如果输入的t 1 3 则输出的s属于 A 3 4 B 5 2 C 4 3 D 2 5 8 文 8 O为坐标原点 F为抛物线C y2 的焦点 P为C上一点 4 2x 若 PF 则 POF的面积为 4 2 A 2 B C D 4 2 22 3 9 文 9 函数f x 1 cos x sin x在 的图像大致为 10 文 10 已知锐角 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 23cos2A cos 2A 0 a 7 c 6 则b A 10 B 9 C 8 D 5 11 文 11 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 2 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 12 文 12 已知函数f x 若 f x ax 2 2 0 ln 1 0 xx x xx 则a的取值范围是 A 0 B 1 C 2 1 D 2 0 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 文 13 已知两个单位向量a a b b的夹角为 60 c c ta a 1 t b b 若b b c c 0 则t 14 文 14 设x y满足约束条件则z 2x y的最大值为 13 10 x xy 15 文 15 已知H是球O的直径AB上一点 AH HB 1 2 AB 平面 H为垂足 截球O所得 截面的面积为 则球O的表面积为 16 文 16 设当x 时 函数f x sin x 2cos x取得最大值 则 cos 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 文 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 的前n项和Sn满足S3 0 S5 5 1 求 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 2121 1 nn aa 3 18 文 18 本小题满分 12 分 为了比较两种治疗失眠症的药 分别称为 A 药 B 药 的疗效 随机地 选取 20 位患者服用 A 药 20 位患者服用 B 药 这 40 位患者在服用一段时间后 记录他们日平均增加的 睡眠时间 单位 h 试验的观测结果如下 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间 0 6 1 2 2 7 1 5 2 8 1 8 2 2 2 3 3 2 3 5 2 5 2 6 1 2 2 7 1 5 2 9 3 0 3 1 2 3 2 4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间 3 2 1 7 1 9 0 8 0 9 2 4 1 2 2 6 1 3 1 4 1 6 0 5 1 8 0 6 2 1 1 1 2 5 1 2 2 7 0 5 1 分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的疗效更好 2 根据两组数据完成下面茎叶图 从茎叶图看 哪种药的疗效更好 19 文 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若AB CB 2 A1C 求三棱柱ABC A1B1C1的体积 6 4 20 文 20 本小题满分 12 分 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处 的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 21 文 21 本小题满分 12 分 已知圆M x 1 2 y2 1 圆N x 1 2 y2 9 动圆P与圆M外 切并且与圆N内切 圆心P的轨迹为曲线C 1 求C的方程 2 l是与圆P 圆M都相切的一条直线 l与曲线C交于A B两点 当圆P的半径最长时 求 AB 5 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 文 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线AB为圆的切线 切点为B 点C在圆上 ABC的角平分线BE交圆于点E DB垂直BE交圆 于点D 23 文 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C2的极坐标 45cos 55sin xt yt 方程为 2sin 1 把C1的参数方程化为极坐标方程 2 求C1与C2交点的极坐标 0 0 2 6 24 文 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2 时 求不等式f x g x 的解集 2 设a 1 且当x 时 f x g x 求a的取值范围 1 2 2 a 7 20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 全国卷全国卷 I I 新课标新课标 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 1 答案 答案 A 解析 解析 B x x n2 n A 1 4 9 16 A B 1 4 2 答案 答案 B 解析 解析 2 12i12i12i i2i 1 i2i22 1 1 i 2 3 答案 答案 B 解析 解析 由题意知总事件数为 6 且分别为 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 满足条件的事件 数是 2 所以所求的概率为 1 3 4 答案 答案 C 解析 解析 即 5 2 e 5 2 c a 2 2 5 4 c a c2 a2 b2 2 2 1 4 b a 1 2 b a 双曲线的渐近线方程为 b yx a 渐近线方程为 故选 C 1 2 yx 5 答案 答案 B 解析 解析 由 20 30知 p为假命题 令h x x3 1 x2 h 0 1 0 h 1 1 0 x3 1 x2 0 在 0 1 内有解 x R R x3 1 x2 即命题q为真命题 由此可知只有p q为真命题 故选 B 6 答案 答案 D 解析 解析 3 2an 故选 D 11 2 1 1 3 2 11 1 3 n n n n a aa qaq S qq 7 答案 答案 A 解析 解析 当 1 t 1 时 s 3t 则s 3 3 当 1 t 3 时 s 4t t2 该函数的对称轴为t 2 该函数在 1 2 上单调递增 在 2 3 上单调递减 smax 4 smin 3 s 3 4 综上知s 3 4 故选 A 8 8 答案 答案 C 解析 解析 利用 PF 可得xP 24 2 P x 3 2 yP S POF OF yP 2 6 1 2 2 3 故选 C 9 答案 答案 C 解析 解析 由f x 1 cos x sin x知其为奇函数 可排除 B 当x 时 f x 0 排除 A 0 2 当x 0 时 f x sin2x cos x 1 cos x 2cos2x cos x 1 令f x 0 得 2 3 x 故极值点为 可排除 D 故选 C 2 3 x 10 答案 答案 D 解析 解析 由 23cos2A cos 2A 0 得 cos2A 1 25 A cos A 0 2 1 5 cos A b 5 或 舍 2 3649 2 6 b b 13 5 b 故选 D 11 答案 答案 A 解析 解析 该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V半圆柱 22 4 8 1 2 V长方体 4 2 2 16 所以所求体积为 16 8 故选 A 12 答案 答案 D 解析 解析 可画出 f x 的图象如图所示 当a 0 时 y ax与y f x 恒有公共点 所以排除 B C 当a 0 时 若x 0 则 f x ax恒成立 若x 0 则以y ax与y x2 2x 相切为界限 由得x2 a 2 x 0 2 2 yax yxx a 2 2 0 a 2 a 2 0 故选 D 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 答案 答案 2 解析 解析 b b c c 0 a a b b 1 a a b b 60 a a b b 11 1 1 22 b b c c ta a 1 t b b b b 0 9 即ta a b b 1 t b b2 0 1 t 0 1 2 t t 2 14 答案 答案 3 解析 解析 画出可行域如图所示 画出直线 2x y 0 并平移 当直线经过点A 3 3 时 z取最大 值 且最大值为z 2 3 3 3 15 答案 答案 9 2 解析 解析 如图 设球O的半径为R 则AH 2 3 R OH 3 R 又 EH2 EH 1 在 Rt OEH中 R2 R2 2 2 1 3 R 9 8 S球 4 R2 9 2 16 答案 答案 2 5 5 解析 解析 f x sin x 2cos x sin x 5 其中 sin cos 2 5 5 5 5 当x 2k k Z Z 时 f x 取最大值 2 即 2k k Z Z 2k k Z Z 2 2 cos sin cos 2 2 5 5 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 设 an 的公差为d 则Sn 1 1 2 n n nad 由已知可得 1 1 330 5105 ad ad 解得a1 1 d 1 故 an 的通项公式为an 2 n 2 由 1 知 2121 1 nn aa 1111 321 22 2321nnnn 从而数列的前n项和为 2121 1 nn aa 10 1111111 211132321nn 1 2 n n 18 解 1 设 A 药观测数据的平均数为 B 药观测数据的平均数为 xy 由观测结果可得 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 x 1 20 3 1 3 2 3 5 2 3 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5y 1 20 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上计算结果可得 因此可看出 A 药的疗效更好 xy 2 由观测结果可绘制如下茎叶图 从以上茎叶图可以看出 A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2 3 上 而 B 药疗效的试验结果有的 7 10 7 10 叶集中在茎 0 1 上 由此可看出 A 药的疗效更好 19 1 证明 取AB的中点O 连结OC OA1 A1B 因为CA CB 所以OC AB 由于AB AA1 BAA1 60 故 AA1B为等边三角形 所以OA1 AB 因为OC OA1 O 所以 AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C 故AB A1C 2 解 由题设知 ABC与 AA1B都是边长为 2 的等边三角形 所以OC OA1 3 又A1C 则A1C2 OC2 6 2 1 OA 故OA1 OC 因为OC AB O 所以OA1 平面ABC OA1为三棱柱ABC A1B1C1的高 又 ABC的面积S ABC 故三棱柱ABC A1B1C1的体积V S ABC OA1 3 3 20 解 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 从而a 4 b 4 2 由 1 知 f x 4ex x 1 x2 4x 11 f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 1 e 2 x 令f x 0 得 x ln 2 或x 2 从而当x 2 ln 2 时 f x 0 当x 2 ln 2 时 f x 0 故f x 在 2 ln 2 上单调递增 在 2 ln 2 上单调递减 当x 2 时 函数f x 取得极大值 极大值为f 2 4 1 e 2 21 解 由已知得圆M的圆心为M 1 0 半径r1 1 圆N的圆心为N 1 0 半径r2 3 设圆P的圆心为 P x y 半径为R 1 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线C是以M N为左 右焦点 长半轴长为 2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 3 其方程为 x 2 22 1 43 xy 2 对于曲线C上任意一点P x y 由于 PM PN 2R 2 2 所以R 2 当且仅当圆P的圆心为 2 0 时 R 2 所以当圆P的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若l的倾斜角为 90 则l与y轴重合 可得 AB 2 3 若l的倾斜角不为 90 由r1 R知l不平行于x轴 设l与x轴的交点为Q 则 可求得 1 QPR QMr Q 4 0 所以可设l y k x 4 由l与圆M相切得 1 解得k 2 3 1 k k 2 4 当k 时 将代入 并整理得 7x2 8x 8 0 解得x1 2 2 4 2 2 4 yx 22 1 43 xy 46 2 7 所以 AB x2 x1 2 1k 18 7 当k 时 由图形的对称性可知 AB 2 4 18 7 综上 AB 或 AB 2 3 18 7 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 1 证明 连结DE 交BC于点G 由弦切角定理得 ABE