计算方法上机实验1 西安石油大学

计算方法计算方法 实验报告实验报告 实验一实验一 非线性方程的迭代数值解法非线性方程的迭代数值解法 二级学院 二级学院 计算机学院计算机学院 专专 业 业 计算机科学与技术计算机科学与技术 指导教师 指导教师 爨莹爨莹 班级学号 班级学号 201007010226201007010226 姓姓 名 名 张忠良张忠良 实验一实验一 非线性方程的迭代数值解法非线性方程的迭代数值解法 1 实验目的 实验目的 1 熟悉用牛顿法解非线性方程的过程 熟悉用弦截法求解非线性方程的过程 2 编程实现牛顿法 弦截法求非线性方程的根 2 实验要求 实验要求 1 认真分析题目的条件和要求 复习相关的理论知识 选择适当的解决方案和算法 2 编写上机实验程序 作好上机前的准备工作 3 实验内容 实验内容 1 用牛顿法求解的根 取初始值为 10 0155 3 x 2 用弦截法求解数学方程 010 15 1 10 4 181 9 002 0 255 15 xxxf 5 5 原理 原理 牛顿迭代法牛顿迭代法 是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法 设方程为是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法 设方程为 f x 0 用某种数 用某种数 学方法导出等价的形式学方法导出等价的形式 x n 1 x n f x n f x n 然后按以下步骤执行然后按以下步骤执行 1 选一个方程的近似根 赋给变量 x1 2 将 x0 的值保存于变量 x1 然后计算 g x1 并将结果存于变量 x0 3 当 x0 与 x1 的差的绝对值还小于指定的精度要求时 重复步骤 2 的计算 若方程有根 并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛 则按上述方法求得的 x0 就 认为是方程的根 弦截法 弦截法 弦截法求方程的根是一种解方程的基本方法 在计算机编程中常用 他的思路是这样 的 任取两个数 判断这两个数的函数值 如果函数值是同号 换两个数再试 直到两个 数 x1 x2 对应的函数值为异号时为止 这时方程的解肯定在这两个数 x1 x2 之间 连接 这两点所对应的函数值 连线与 x 轴的交点为新的 x 若 f x 与 f x1 同号 则把 x 当作新 的 x1 将新的 x1 与 x2 连接 如此循环 如果 f x 与 f x1 异号 则把把 x 当作新的 x2 将 x1 与新的 x2 连接 循环 本实验在操作之前对构造方程的函数 分别进行了一阶和二阶求导 二阶导数恒小于本实验在操作之前对构造方程的函数 分别进行了一阶和二阶求导 二阶导数恒小于 零 零 6 6 设计思想 设计思想 1 用牛顿法求解的根的基本思想是 将非线性方程 f x 0 逐步转化0155 3 x 为线性方程来求解 即是依次用切线代替曲线 用线性函数的零点作为函数 f x 0 的近似值 2 用弦截法求解根的基本思想是 依次用弦线代替曲线 用线性函数的零点作为函数零点的近似值 7 7 对应程序 对应程序 牛顿迭代法求解牛顿迭代法求解 include include double f1 double x return pow x 3 155 double f2 double x return 3 pow x 2 void main int i 1 double x0 10 x 0 printf X 的初始值为 5lf n n x0 for i 1 i 50 i x x0 f1 x0 f2 x0 if fabs x x0 1e 5 break x0 x printf 第 d 次迭代得数为 X d 5lf n i i x0 printf 故 X 5lf n x0 弦截法求解弦截法求解 求解数学方程的根求解数学方程的根 0 002 9 81 1 4 e 5 X1 5 1 15 e 5 X2 0 求解数学方程的隔根区间求解数学方程的隔根区间 f X 0 002 9 81 1 4 e 5 X1 5 1 15 e 5 X2 0 f X 1 4 e 5 1 5 X0 5 1 15 e 5 2 X 0 f X 1 4 e 5 1 5 0 5 X 0 5 1 15 e 5 2 0 include include define N 0 5 double f double x double f f 0 002 9 81 1 4 0 00001 pow x 1 5 1 15 0 00001 pow x 2 return f void main int i double Initial 36 double a b fa fb printf 求解根所在的隔根区间 n printf 选取初始值为 2f 步长为 2f 列表可知 n Initial N printf i ta t f a t tb t tf b tf a f b n for i 1 i a Initial N i b Initial N i fa f a fb f b printf d t lf lf t lf lf t lf n i a fa b fb fa fb if fa fb 0 break printf 最终确定的方程隔根区间为 n printf a lf nb lf n a b 用弦截法求解数学方程 用弦截法求解数学方程 f X 0 002 9 81 1 4 e 5 X1 5 1 15 e 5 X2 0 由上面的运行结果可以得到由上面的运行结果可以得到 f X 1 4 e 5 1 5 X0 5 1 15 e 5 2 X 0 成立成立 f X 1 4 e 5 1 5 0 5 X 0 5 1 15 e 5 2 0 所以在使用弦截法时右边的端点所以在使用弦截法时右边的端点 b 为不动点为不动点 include include define N 37 500000 define M 38 000000 define Boundary 1000 void main int count double b M double temp double x0 N x double f printf we choose two points a lf b lf n N M f 0 002 9 81 1 4 0 00001 pow b 1 5 1 15 0 00001 pow b 2 for count 0 count Boundary count temp 0 002 9 81 1 4 0 00001 pow x0 1 5 1 15 0 00001 pow x0 2 x b x0 b temp f if fabs x x0 1e 5 break x0 x printf 第 d 次弦截 tx 5lf n count x0 printf n 最终求得的方程根为 nx 5lf n x0 8 8 实验结果 实验结果 牛顿迭代法 牛顿迭代法 通过迭代公式 多次迭代 最后获得精度在 1e 5 结果数据 符合试验要求 弦截法求解 弦截法求解 上面第一个程序为了实现找到隔根区间 根据上面的程序运行结果得出以下结论 可以选用 a b 37 500000 38 000000 且 b 为不动点 采用单点弦截法 以 b 38 00000 为不动点 发现在 37 500000 38 000000 两个端点处函数值为异号 计算结 果表明 x 37 46739 在精确度上满足要求 该点处的函数值最接近零 得出结论实验结果符 合要求 9 9 图形 图形 如果可视化 牛顿迭代法截图 牛顿迭代法截图 弦截法截图 弦截法截图 1 1 求根所在的隔根区间 求根所在的隔根区间 2 用